Fenômenos de Transporte III. Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

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1 Fenômenos de Tanspote III Pof. D. Gilbeto Gacia otez 1

2 7..- Difusão com eação química heteogênea na supefície de uma patícula não-catalítica e não-poosa. este item admite-se que a supefície do sólido seja uma etapa da eação, sendo consumida ao longo do pocesso difusivo em egime pseudoestacionáio. Um fenômeno que isso acontece é a combustão: o solutoeagente difunde po uma camada gasosa inete I, e eage quando em contato com a supefície do sólido. O poduto da eação contadifunde em elação ao fluxo do eagente. elação ente os fluxos do eagente e poduto obedece a estequiometia da eação. a (g) ss (s) bb (g) S 0 ; B b a

3 Em t = 0 = eagente gasoso S = eagente sólido I = inete B = Poduto Em t + t i t I S I f S B y 0 y a (g) ss (s) bb (g) 3

4 Exemplo 1: Uma patícula de cabono em foma de esfea queima no a atavés da seguinte eação química: (S) O O ( 1 ) (g) (g) (g) (g) eação na supefície do cabono é descita como sendo ievesível e de pimeia odem: " k. ( ) O O, S O O, 4

5 onsideando que o pocesso de tansfeência de massa ocoa em egime pemanente e a T e P constante, detemine o pefil de fação mola do oxigênio ( y O ) em função do aio da patícula esféica ( ) e o fluxo mola do oxigênio na supefície da patícula de cabono. Solução: 1- onsideando que a patícula tem geometia esféica, a equação da continuidade de tansfeência de massa em coodenadas esféicas é: t 1 (, ) 1 senθ (senθ θ,θ ) 1 senθ, ''' ( 3 ) - egime pemanente; 3- Fluxo adial (unidiecional); 4- O meio difusivo não é eacional. equação ( 3 ) tona-se: 1, 0 ( 4 ) 5

6 Seja a seguinte equação eacional: O O (S) (g) (g) (g) B (g) ( 5 ) D B Onde:, B, eagente 0 0, (sólido) (estagnado) D, poduto ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) equação do fluxo total de ( O ) no meio gasoso é: dy.dd y, D, ( 9 ), plicando a equação ( 8 ) na equação ( 9 ), temos:,.d D dy y,, 0 dy,.dd ( 10 ) 6

7 Substituindo a equação ( 10 ) na equação ( 4 ), temos: 1.D D dy 0 ( 11 ) onsideando T e P constantes (gás ideal) e D,D são constantes. equação ( 11 ) fica: d dy ondições de contono: 1: Paa, y = 0,1 ( 1% mola de O ) 0 ( 1 ) : Paa =, =, = -k s y y = -, /k s. O sinal negativo paa o fluxo indica a contadifusão do O (eagente ) em elação ao poduto fomado (O ). Paa obte o pefil da distibuição do eagente no a, devemos intega e esolve a equação difeencial ( 1 ). d dy dy 1 0 dy 1 1 y ( 13 ) 7

8 plicando as condições de contono na equação ( 13 ), temos: 1: Paa,y = 0,1 ( 1% mola de O ) 1 0,1 0 0,1 ( 14 ) : Paa =, =, = -k s y y = -, /k s., 1 1 ks. 0,1.,.0,1 ( 15 ) k. 1 s Substituindo ( 14 ) e ( 15 ) em ( 13 ), temos: y 0,1, k. s 0,1 Solução pacial y, 0,1 0,1 ( 16 ) k. s 8

9 equação ( 16 ) é uma solução pacial, pois o fluxo, é função do aio da patícula. onsideando que o fluxo total seja constante em =, temos que:,, constante ( x Áea da esfea ) 4π., 4π., constante Multiplicando a equação ( 10 ) pela áea da esfea:, 4π.D...,, D, dy ( x 4π 4π., constante.d D.D dy ) 4π.D, y ks. D dy y 0,1 D dy ( 17 )., 1.D D, y ks. y y 0,1 9

10 ., 1 1.D D, k S. 0,1., 1.D D, k S. 0,1., D D. k, S.D D.0,1, D k D s.d D.0,1,.D D.0,1 D,D k s ( 18 ) 10

11 Substituindo ( 18 ) em ( 16 ), fica: y y y y 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1. k k s s DD.0,1 D. ks 1.DD.0,1 DD. ks 0,1.D k D s D D D 1 ks. 1 DD 0,1 0,1 y 0, ks. 1 DD ( Solução final ) ( 19 ) k S em cm/s (1 0 odem); D D em cm /s; em cm 11

12 7..3- Difusão intapaticula com eação química heteogênea Quando um sólido pooso apesenta sua áea intena (na odem de 30m /g ou supeio) maio ou da mesma magnitude do que a sua supefície extena, considea-se que o soluto, depois de atingi a supefície da patícula, difunda no inteio desta paa depois se adsovido e sofe eação química nas paedes dos sítios ativos do catalisado, confome ilusta a figua a segui: Difusão extena - Difusão intena 3 - dsoção química eação catalítica 5 - Dessoção química 6 - Difusão intena 7 - Difusão extena 1

13 pesa de se tata de eação química heteogênea descita pela equação (1), o temo eacional iá apaece como, em que a elaciona a a " supefície do poo po unidade de volume da matiz poosa na equação da continuidade de, caacteizando um sistema pseudo-homogêneo. a " "' ( sistema pseudo - homogêneo ) a (g) ss bb ( 1 ) (s) (g) S 0 ; B b a 13

14 Exemplo : Uma coente gasosa contendo um eagente enta em contato com um catalisado de geometia esféica de aio. Esta patícula está dento de um eato catalítico. as imediações da patícula catalítica, a concentação do eagente é S (moles/cm 3 ). espécie difunde atavés dos poos existentes no catalisado e convete no poduto B atavés de uma eação ievesível e de pimeia odem no sítio ativo do mesmo. O poduto B difunde no sentido contáio do eagente. Detemine o pefil de concentação do eagente em função do aio da patícula consideando que o pocesso de tansfeência de massa ocoa em egime pemanente e a tempeatua e pessão constante. 14

15 eagente ( ) Poduto ( B ) B B "' k s.a. Poo do catalisado a = áea da supefície catalítica po unidade de volume do catalisado ( cm /cm 3 ) k S = constante de velocidade ( cm/s ) = concentação do eagente ( mol/cm 3 ) 15

16 Solução: 1- onsideando que a patícula catalítica apesenta geometia esféica, a equação da continuidade mola do eagente em coodenadas esféicas é: t 1 (, ) 1 (senθ,θ ) 1, senθ θ senθ. ''' ( 1 ) - onsideando egime pemanente: t 3- onsideando o fluxo unidiecional atavés do aio da patícula: 0. 1 (, ) 4- onsideando que a eação ocoe dento do poo do catalisado: ''' k s.a. equação ( 1 ) eduz-se a: 1 (, ) k s.a. ( ) 16

17 O fluxo mola do soluto no inteio da matiz poosa é dado po: dy.def y, B, ( 3 ), Onde: D ef = coeficiente de difusão efetiva D ef p DB ( 4 ) Onde: D B = coeficiente de difusão de em B; p = poosidade do catalisado; = totuosidade do catalisado k s B ( 5 ) B,, Substituindo ( 5 ) em ( 3 ), temos: 17

18 ou:,,.d D ef ef d dy ( 6 ) Substituindo ( 6 ) em ( ), temos: 1 d d D ef k s.a. ( 7 ) onsideando T e P constantes D ef é constante. d d ks.a. D ef ( 8 ) Denominando: ks.a D ( 9 ) ef 18

19 Substituindo ( 9 ) em ( 8 ), temos: d d ( 10 ) ondições de contono: 1: Paa =, = S ( na entada do poo ) : Paa = 0, = * ( no cento da patícula catalítica ) hamando: ( 11 ) Psi ( 1 ) d ' ' d d d d ( 13 ) 19

20 Substituindo ( 1) e ( 13 ) em ( 10 ), temos: d d d d d d d d d 0 d ( 14 ) 0

21 solução da equação difeencial ( 14 ), de ᵃ odem e homogênea, é: 1cosh( ) senh( ) ( 15 ) ks.a ( 16 ) D ef Substituindo a equação ( 11 ) na equação ( 15 ), temos: 1cosh( ) senh( ) ( 17 ) 1: Paa =, = S ( na entada do poo ) S 1cosh( ) senh( ) ( 18 ) : Paa = 0, = * ( no cento da patícula catalítica ) * cosh(.0) 1 senh(.0) ( 19 ) 1

22 Substituindo ( 19 ) em ( 18 ), temos: S senh( ) S senh( ) ( 0 ) Substituindo ( 19 ) e ( 0 ) em ( 16 ), temos: 0 1 S senh( ) senh( ) ( solução final ) S senh( ) senh( ) ( 1 )

23 7.3- Difusão em egime pemanente com eação química homogênea Seja a equação da continuidade mola: t. ''' Paa egime pemanente, fluxo unidiecional na dieção z e eação química homogênea a equação da continuidade é:. ''' d,z ''' ( 1 ) Iemos considea o fenômeno da absoção química, confome o desenho a segui: 3

24 Gás Z = 0, = 0 Líquido B,Z + B L Z =, = 0 Esse fenômeno tata do tanspote de um soluto da fase gasosa à fase líquida, acompanhado de eação química na fase líquida. Vamos supo que o gás dissolve ao atingi a inteface gás/líquido e difunde em um líquido eacional estagnado. o tempo de difundi-se, a espécie sofe uma eação química ievesível na foma: + B L. 4

25 O poduto da eação não intefee na absoção de po B. Paa modela o fenômeno, admite-se como hipóteses: 1- espécie difunde desde a inteface gás/líquido até o seu desapaecimento total ao atingi uma pofundidade z = na fase líquida. - concentação do gás dissolvido é pequena quando compaada ao líquido B, ou seja, B está em excesso. 3- Pelo fato de se tata de uma solução líquida diluída e estagnada, admite-se a contibuição convectiva despezível em face à difusiva. 4- O poduto da eação L é altamente solúvel no líquido, o que leva a não influencia no cuso do pocesso difusivo. Das hipóteses e 3, o fluxo mola de é dado pela equação:,z.d B dx x,z B,z,z.D B d,z B,z 5

26 ,z D B d,z B,z despezível d DB ( ), z De posse da hipótese e da eação, + B L, tem-se uma eação química homogênea ievesível de pseudopimeia odem ( B ): ''' k ( 3 ) v Levando as equações () e (3) em (1), bem como consideando a tempeatua e pessão constantes: d D B d k v 6

27 d k v 0 ( 4 ) D B solução da equação (4) é da foma: (z) 1cosh( z) senh( z) ( 5 ) k D v B ( 6 ) Fi ondições de contono: 1: em z = 0; = 0 : em z = ; = = 0 7

28 plicando as condições de contono na equação (5), obtêm-se: 1 0 ( 7 ) 0 tgh( δ) ( 8 ) Substituindo as equações (7) e (8) na equação (5), obtêm-se: (z) 0 cosh( z) senh( z) tgh( δ) ( 9 ) (z) 0 tgh( δ)cosh( z) senh( z) tgh( δ) 8

29 δ) senh( z) δ)senh( cosh( z) δ)cosh( senh( (z) δ) cosh( δ) senh( δ) cosh( z) δ)senh( cosh( z) δ)cosh( senh( (z) δ) tgh( δ) cosh( z) δ)senh( cosh( z) δ)cosh( senh( (z) δ) tgh( z) senh( z) cosh( δ) cosh( δ) senh( (z)

30 senh[ (δ z)] senh( δ)cosh( z) cosh( δ)senh( z) ( Solução final ) (z) 0 senh[ (δ z)] senh( δ) ( 10 ) Paa a situação em que a eação química é lenta, tem-se k v 0, potanto pela equação (6), 0. plicando o teoema de L Hopital na equação (10) paa esta condição, temos: (z) lim senh[ (δ z)] lim 0 senh( δ) 0 0 (δ z)cosh[0] lim 0 δcosh(0) ( Solução final paa k v 0 ) (z) 0 (δ δ z) 1 z δ ( 11 ) 30

31 Exemplo 3: Um ceto gás é dissolvido em um líquido B contido em uma poveta. a medida em que difunde ele sofe eação química na foma + B L, até desapaece completamente depois de peneta a uma distância desde a inteface gás/líquido. onsideando: (a) a cinética de eação é de odem zeo com espeito a ; (b) eação química lenta ( k V 0 ); (c) a concentação do gás dissolvido é pequena se compaada ao do líquido B; (d) o poduto da eação L é altamente solúvel no líquido, o que leva a não influencia na difusão do soluto ; obtenha expessões paa: distibuição da concentação mola de; O fluxo global mola de na inteface gás/líquido; concentação média mola de. 31

32 Gás Z = 0, = 0 Líquido B,Z + B L Z =, = 0 3

33 a) álculo da concentação mola em função de z. t x, x y, y z,z ''' ( 1 ) onsidea: egime pemanente: Fluxo de somente na dieção de z: t. 0 z,z eação homogênea ievesível de odem zeo: ''' k v Potanto, a equação ( 1 ) fica: d,z k v ( ) 33

34 O fluxo total do eagente até na supefície do catalisado é:,z.d B dx x,z B,z,z.D B d,z B,z d DB,z B, z ( 3 ), z onsideando que a concentação do eagente é muito pequena em elação ao eagente B no meio eacional, podemos despeza a contibuição convectiva no fluxo mola de. ssim, a equação ( 3 ) fica: d DB ( 4 ), z 34

35 Substituindo a equação ( 4 ) na equação ( ), temos: d D B d k v d D B d k v onsideando T e P constantes, temos: d d k D v B k D v ( 5 ) B Beta d ( 6 ) 35

36 Integando a equação ( 6 ) duas vezes, temos: d d d d d z 1 d z 1 z 1z ( 7 ) 36

37 ondições de contono: 1: Paa z = 0, = 0 ( na inteface gás/líquido ) ( 8 ) 0 : Paa z =, = 0 ( o soluto é totalmente consumido ) δ 0 β 1δ ( 9 ) Substituindo ( 8 ) na ( 9 ), temos: δ 0 β 1δ 0 1 δ 1 0 δ ( 10 ) 37

38 Substituindo as equações ( 8 ) e ( 10 ) na ( 7 ), temos: z 1 δ 0 z 0 ( 11 ) δ omo se tata de eação química lenta, k v 0, como conseqüência 0 e a equação ( 11 ) tona-se: z 0 1 ( 1 ) δ b) álculo do fluxo mola,z na supefície gás/líquido ( z = 0 ). O fluxo mola de é obtido pela equação ( 4 ): d DB ( 4 ), z ( solução final ) 38

39 Deivando a equação ( 11 ) em elação a z, temos: d 1 δ z 0 δ ( 13 ) omo se deseja conhece o fluxo de na inteface gás/líquido, ou seja, em z = 0, temos: d z 0 1 δ 0 δ ( 14 ) Substituindo a equação ( 14 ) na ( 4 ) paa o fluxo de em z = 0, temos: DB 1, z 0 δ z 0 δ ( 15 ) omo se tata de eação química lenta, k v 0, como conseqüência 0 e a equação ( 15 ) tona-se: DB0 0 ( 16 ) δ, z z 39

40 c) álculo da concentação mola média de. z 0 z z 0 z ( 17 ) Substituindo a equação ( 11 ) na ( 17 ), temos: z δ δ 1 z z 0 z z 0 z 0 0 z δ δ z 6 z δ 1 δ z 0 z δ 1 0 ( 18 ) omo se tata de eação química lenta, k v 0, como conseqüência 0 e a equação ( 18 ) tona-se: 0 ( 19 ) 40