ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

Transcrição

1 ª Questão ( pontos. Um caetel de massa M cento e aios (exteno e (inteno está aticulado a uma baa de massa m e compimento L confome indicado na figua. Mediante a aplicação de uma foça (constante a um cabo inextensível e de massa despezível enolado ao caetel faz-se com que este ole sem desliza sobe um plano hoizontal aastando consigo a baa. polia de cento D tem massa despezível e o coeficiente de atito ente as supefícies da baa e a do plano hoizontal é µ. é o ponto de contato do caetel z. Pede- com o plano hoizontal. O momento de inécia do caetel em elação ao eixo z é dado: se: (a desenha os diagamas de copo live do caetel e da baa; (b detemina o momento de inécia do caetel em elação ao eixo z ; (c expessa as aceleações do baicento da baa e do baicento do caetel em função da aceleação angula do caetel; (d esceve as equações dos teoemas do movimento do baicento (TM e do momento da quantidade de movimento (TMQM ou TQM se se utiliza a teminologia Teoema da Quantidade de Movimento ngula paa o caetel e paa a baa. Os diagamas de copo live do caetel e da baa são apesentados nas figuas abaixo. ω & L ( m ( M j i D a a O momento de inécia do caetel em elação ao eixo z é: z z M M O sistema caetelbaa está sujeito aos seguintes vínculos cinemáticos: a a a ω& ( s equações que govenam o movimento do disco são:

2 Ma ( (4 ( ( M ω& ( Notando que a foça de atito no contato baa/plano hoizontal é µ as equações que govenam o movimento da baa são: ma µ (6 (7 ( M µ µ (8 s incógnitas do sistema de equações algébicas a (8 são: ω& a a Substituindo-se e ( nas equações ( a (8 chega-se ao seguinte sistema deteminado de equações lineaes: ( ( m M M ω µ µ &

3 ª Questão ( pontos. Um disco de massa m aio e cento ola sem desliza sobe um plano inclinado sendo I o ponto de contato. O disco é tacionado po um cabo inextensível de massa despezível ligado po meio de uma polia a um bloco de massa m. No instante inicial o sistema está em epouso e h. Sabendo que a polia de cento tem massa despezível pede-se paa o instante ilustado na figua: (a a enegia cinética do sistema; (b a velocidade v e a aceleação a do bloco em função de h ; (c a tação T no cabo e as componentes nomal e tangencial da foça de contato no disco. Paa um instante abitáio a enegia cinética do sistema é dada po: m T Izω mv m ω mv m ω mv 4 onsideando que o disco ola sem escoega e que o cabo é inextensível os movimentos do bloco e do baicento do disco estão vinculados po: v ω ( v I h Substituindo-se ( em esulta: T m ω m 4 4 ( ω m ω Paa o sistema consideado as únicas foças que ealizam tabalho não nulo são o peso do bloco e a componente do peso do disco paalela ao plano inclinado. ssim ente os instantes inicial e o indicado na figua o Teoema da Enegia inética fonece: T ( t gh( sin T ( m ω h h sin ω ( 4 Deivando-se a expessão 4 gh gh sin ω esulta: 4 sin ωω& g h& Logo tem-se: 4 sin g ω

4 sin & ω g (4 onsideando o vínculo cinemático ( a velocidade do bloco é dada po v gh( sin ωj j gh( sin j ( e a sua aceleação é dada po: a d dt ( ωj & ωj ( sin gj (6 Na figua abaixo apesenta-se o diagama de copo live do disco: ω& T a I N plicando-se ao disco o Teoema do Momento da Quantidade de Movimento tem-se: m m z & ω & ω & ω (7 Substituindo-se (4 em (7 tem-se: ( sin (8 plicando-se o Teoema do Movimento do aicento ao disco esulta: T sin θ ma T sin (9 ma Substituindo-se em (8 e (6 em (9 esulta: T ( sin (

5 ª Questão ( pontos. Um pequeno anel de massa m move-se sem atito sobe um aame cuja foma é definida pela equação vetoial P O a( θ sinθ i a( cosθ j No instante t o anel pate com velocidade v( vi da posição mais elevada da cuva ou seja ( x π a y a coespondente a θ π. Pede-se: (a desenha o diagama de copo live do anel em uma posição genéica π < θ < π indicando as componentes tangencial e nomal da sua aceleação; (b utilizando o diagama de copo live do item (a esceve as equações do movimento do anel pojetadas nas dieções nomal e tangencial; (c detemina a velocidade do anel no instante em instante em que se enconta na posição coespondente a θ π. a j O y i P m π a v i x a n N a t Na figua ao lado apesenta-se o diagama de copo live do anel paa uma posição genéica π < θ < π. s equações difeenciais do movimento do anel pojetadas nas dieções tangente e nomal à tajetóia paa uma posição genéica π < θ < π indicada no diagama anteio são: Dieção τ : cos ( θ ( t mat ( θ ( t a t ( θ ( t g cos( θ ( t Dieção n : sin ( θ ( t N( θ ( t man ( θ( t ( ( ( ( [ v( θ ( t ] N θ t sin θ t m ( ( θ ( t onde os paâmetos geométicos ( θ e ( θ dependem tão somente da foma do aame ao qual o anel está vinculado ou seja: d( θ cos ( θ j τ ( θ j d θ e ( θ d( θ d d ( θ d ( θ plicando-se o Teoema da Enegia inética ente as posições θ π e θ π tem-se: mv a mv a cos π mv a v v ga (