PME 2200 Mecânica B 1ª Prova 31/3/2009 Duração: 100 minutos (Não é permitido o uso de calculadoras)

Transcrição

1 PME Mecânica B ª Pova 3/3/9 Duação: minutos (Não é pemitido o uso de calculadoas) ª Questão (3, pontos) O eixo esbelto de compimento 3L e massa m é apoiado na aticulação e no anel B e possui discos de aio e massa 3m em cada uma de suas extemidades. esfea de aio = L/4 e massa m está unida ao eixo po um segmento esbelto eto vetical de compimento L e massa m. O conjunto gia em tono do eixo z com velocidade angula constante ω. Consideando o sistema de coodenadas xz solidáio ao eixo, pede-se detemina: a) a posição do baicento do conjunto; b) o momento de inécia do conjunto em elação ao eixo z e os seus podutos de inécia; c) a localização e os valoes de duas massas compensadoas m e m fixadas na pate extena dos discos, suficientes paa balancea o sistema. x ω L m L 3L B g z 3m Dados: i) momento de inécia de uma esfea de massa m e aio em elação a um eixo que passa pelo seu baicento: J = m 5 ii) esolução: a) massa total: M = m x G = ( m( L / ) + m( L + ))/ m = L / 4 + / 5 = 3L / ; G = 7 z G = ( 3m () + m (3L / ) + m( L) + m( L) + 3m(3L)) /m = L ( G ) = (3L /,, 7L / ) (,5) b) J z = 3m / + ml / 3 + (4m / 5 + m( L + ) ) + 3m / = m(3 + 7L / 3+ 4 / 5 + 4L) J z = m(3 + 4L /) (,5) 5 J xz = m( L)( L / ) + m( L)( L + ) = ml + ml J xz = 3mL ; J = J = (,5) x z

2 c) Posições das massas: m (-,, ); m (-,, 3L); J xz = J xz + m (-)() + m (-)(3L) = (,5) M x G + m (-) + m (-) = (,5) ml m = em (-,, 3L); m ml = em (-,, ). (,5) ª Questão (3,5 pontos) No mecanismo da figua, o disco de massa m e aio gia com veto de otação ω = ω i constante elativo ao eixo O de compimento 4 e massa despezível. O eixo O, po sua vez, está ligado a um pino em O que pemite apenas a sua otação em tono de k. Pede-se detemina: a) a aceleação angula α& & ; b) a velocidade angula α&, sabendo que α = & α = ; c) a aceleação do ponto ; d) as eações vinculaes em O. i g ω j α 4 O esolução: DCL F α 4 O F x M a) TM adotando O como pólo: d ext M O = ( J xω i + J & zα k ) = J & xωα j + J && zα k (,5) dt M j + 4 cosα mgk = m ωα& j + m + m( 4) && α k 4 6 g & α& = cos α (,5) i j mg c) = & α 4i + && α 4j a a b) Integando a expessão de α& & em elação ao tempo e consideando que = α = α & : 3 g 3 g & α = senα & α = senα (,5) (o mesmo esultado pode se obtido usando o TEC) 8 64 = g sen α i + g cos α j (,5)

3 8 64 = sen x + cos = sen + (,5) 93 Fx = mg senα F = mg cosα (,5) ext d) T: ma ( mg α F ) i ( mg α F ) j mg α i mg cosα j de (a) M = ω & α 3 g m M = m ω senα (,5)

4 Questão 3 (3,5 pontos) figua mosta um disco homogêneo de massa M e aio supotado po um mancal em O ; uma pequena esfea de massa m está pesa na peifeia do disco. Uma mola linea de constante elástica K e compimento natual L O está aticulada ao ponto C do disco e ao ponto situado sobe o eixo, O = e de modo que ( ) D ( C O) = e. O sistema pode se acionado po um moto que aplica um toque que vaia em função da velocidade angula do disco segundo a expessão ( ϕ& T = T ), onde T é o toque de patida do moto e ω velocidade de opeação quando desconectado do disco. Pede-se: a) Deduza a expessão da foça que a mola aplica no disco. (.) op ϕ m C e O T g x ω op é a sua foça elástica é calculada pela expessão F el = K( L L )u, onde L = ( C ), ( C ) = e sinϕ i + ( ecosϕ D) j e Como ( C ) = e + D e D cosϕ, esulta u = ( C ). ( C ) F el = K ( e D e D cosϕ) L + ( e sinϕ i ( ecosϕ D) j ) ( e + D e D cosϕ ). b) Foam feitas simulações nas quais se adotou e =. 5 e g = ; esboce um gáfico descevendo como vaiou a feqüência de oscilação do disco em função do valo de ϕ (). O gáfico solicitado é constuído a pati dos esultados obtidos do item b do Execício de Modelagem e Simulação Computacional #: sistema sem acionamento, com ϕ () vaiando desde

5 π 9π ϕ ( ) = até ϕ () =. Po exemplo, a figua a segui mosta o gáfico de ϕ (t) 5π coespondente a ϕ ( ) = :.5.5 fi (ad) O gáfico mosta que o disco executa oscilações em apoximadamente 3 segundos, de modo que a sua feqüência de oscilação é ω 3ad / s. Pocedendo de modo análogo paa os demais valoes de ϕ (), obtém-se o gáfico mostado abaixo: (.5) 4 3 W (ad/s) FI (ad) b) Foam feitas simulações nas quais se adotou e = e g = 9. 85m / s² ; esboce um gáfico descevendo como vaiou a feqüência de oscilação do disco em função do valo de ϕ (). Pocedendo de modo análogo ao anteio, obtém- se o gáfico a segui: (.5)

6 W (ad/s) FI (ad) b3) Identifique a situação na qual foam obtidos os gáficos de ϕ (t) e de ϕ& (t) mostados a segui: fi (ad) Gáfico de ϕ (t) fip (ad/s) Gáfico de ϕ& (t) Os gáficos mostam esultados típicos dos casos coespondentes a. 5 e <. 7, com π g = 9. 85m / s² e ϕ ( ) = ; os demais dados são fonecidos no item e do EMSC. (.5) c) Sistema com acionamento: faça gáficos de ϕ (t) e de ϕ& (t) que descevam os casos consideados nas simulações e intepete os esultados Ocoem duas situações distintas: em uma delas, o toque acionado não é suficiente paa que o disco pata com um deteminado valo de ϕ () e acelee até atingi ω op ; na outa situação, o disco acelea, atinge ω op e a pati daí mantém uma velocidade de otação paticamente constante. Os gáficos abaixo ilustam os esultados coespondentes a essas situações.

7 ((.5) paa cada pa de gáficos) fi (ad) π ϕ ) = 5 5 Gáfico de ϕ (t) na situação em que o toque é insuficiente; o disco patiu com ( e estabilizou em um valo póximo de.4 ad. O gáfico de ϕ& (t) coespondente é 4 3 fip (ad/s) segui são mostados os gáficos coespondentes à ª situação descita.

8 3 5 fi (ad) Gáfico de ϕ (t), mostando que o disco gia sempe no mesmo sentido fip (ad/s) Gáfico de ϕ& (t), mostando que a velocidade angula do disco aumenta até estabiliza com valoes muito póximos de ω op.