3. Estática dos Corpos Rígidos. Sistemas de vectores

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1 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 3. Estática dos Copos ígidos. Sistemas de vectoes 3.1 Genealidades Conceito de Copo ígido (ponto mateial). Situações em que se tona necessáio considea as defomações intenas (sistemas estaticamente indeteminados, poblemas de dimensionamento, efeitos geometicamente não lineaes, etc.). As condições de epouso ou movimento de um copo ígido não são unicamente descitas pela esultante (esta nada diz sobe a tendência do sistema de foças comunica um movimento de otação ao copo). O objectivo do capítulo consiste na intodução do conceito do sistema foça-conjugado equivalente que desceve univocamente as condições de epouso ou de movimento do copo ígido sob a acção dum deteminado sistema de foças. 3.2 Pincípio da Tansmissibilidade. Foças equivalentes Enunciado:.. as condições de equilíbio ou de movimento de um copo ígido pemanecem inalteadas se a foça F, aplicada num dado ponto do copo ígido, fo substituída po uma foça F com a mesma intensidade, a mesma diecção e o mesmo sentido, aplicada num outo ponto, desde que estas duas foças tenham a mesma linha de acção.

2 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 As duas foças F e F poduzem o mesmo efeito sobe o copo ígido e dizem-se foças equivalentes. As foças aplicadas em copos ígidos constituem vectoes deslizantes. Limitações do pincípio da tansmissibilidade. Avaliação das defomações e das foças inteioes. 3.3 Momento de uma foça em elação a um ponto Definição. M F O = OA F = F Tata-se de um vecto com as seguintes caacteísticas: Diecção Pependicula ao plano definido po OA e F Sentido de acodo com a ega da mão dieita, ou, equivalentemente, de tal foma que OA, F e M F O constituam, po essa odem, um tiedo diecto Intensidade = OA F sen( θ ) = F d M F O

3 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 Significado físico O momento de uma foça (aplicada num copo ígido) elativamente a um ponto dá uma indicação sobe a tendência que a foça tem de povoca a otação ao copo em tono de um eixo. Esse eixo contem o ponto, sendo pependicula ao plano definido pela foça e pelo seu vecto de posição. Teoema de Vaignon = s ( F1 + F FN ) = F1 + F FN Ou seja, o momento esultante de um sistema de foças concoentes pode se obtido somando vectoialmente os momentos povocados isoladamente po cada uma dessas foças. Este teoema pemite detemina o momento de uma foça mediante a soma vectoial dos momentos povocados isoladamente pelas suas componentes catesianas. Componentes catesianas do momento de uma foça. Nota: eve o conceito de poduto exteno (ou vectoial) de dois vectoes. M F O i = x F x j y F y k z F z = ( y F z F ) i ( x F z F ) j + ( x F y F )k z y z x y x

4 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 Poblema 3.6 (Bee e al., 7ª Edição, 2006) Soluções: a) M=80 Nm b) P=205,3 N c) P min =177,8 N

5 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/ Momento de uma foça em elação a um eixo Em muitas aplicações páticas os copos estão constangidos a oda em tono de um eixo deteminado (ex: pota). Nesses casos intoduz-se o conceito de momento de foça elativamente a eixo. Definição F M OL = F λ M O = ( OA F ) λ Nota: o momento de uma foça elativamente a um eixo é independente do ponto (sobe o eixo) no qual é deteminado o momento da foça (elativamente a um ponto). Demonsta. Significado físico. Taduz a tendência da foça povoca um movimento de otação ao copo em tono desse eixo. Notas: (1) eve conceito de poduto inteno ente dois vectoes P Q = P Q cos( θ ) (2) eve conceito de poduto misto (ou poduto tiplo) ente tês vectoes ( P ) S Q Sx = Px Q x S P Q y y y S P Q z z z Componentes catesianas de o momento de uma foça.

6 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 Poblema 3.59 (Bee e al., 7ª Edição, 2006) Bee, Pob Coodenadas dos pontos elevantes (m) A F E D EF Noma 2.7 lambda EF Noma 1 AD Noma lambda AD Noma 1 MAF Lambda AD MAF Nm AF FEF MA MAF Nm ex ey ez lambda AD

7 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/ Momento de um conjugado Um conjugado é um sistema de foças cuja esultante é nula mas cujo momento, deteminado em qualque ponto (Momento do conjugado), é não nulo. Tata-se de um sistema de foças que tende a povoca um movimento de otação ao copo ígido no qual está aplicado. Conjugado (bináio) duas foças, F e F =-F, com a mesma intensidade, linhas de acção paalelas e sentidos opostos. Momento de um conjugado M O = A F + B ( F ) = ( ) F = F A B Diecção pependicula ao plano definido pelas duas l.a. Sentido de acodo com a ega da mão dieita Intensidade F senθ = F d

8 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 Nota: O momento de um conjugado é independente do ponto no qual é deteminado. Dado se independente do ponto O no qual é deteminado diz-se constitui um vecto live (desvinculado que do ponto de aplicação que da linha de acção). Exemplo de conjugado Dois conjugados dizem-se equivalentes se e só se têm o mesmo momento o efeito dum conjugado aplicado num copo ígido é univocamente descito pelo seu momento do conjugado. O efeito de dois conjugados é ainda um conjugado cujo momento se obtém somando vectoialmente os momentos dos conjugados Os momentos dos conjugados constituem vectoes.

9 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 Poblema 3.69 (Bee et al., 7ª Edição, 2006) esolução: Bee, Pob M=13.5 Nm Foças em A e D distância 0.25 m Foças 54 N Foças em A e D delta x 0.25 m distância m delta y 0.15 m Foças N Foças em A e C delta x 0.25 m distância m delta y 0.4 m Foças N

10 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/ Equação de popagação do momento de uma foça Substituição duma foça aplicada num ponto (A) po uma foça aplicada em outo ponto (O) e po um conjugado. M F O = OA F = F..qualque foça F aplicada num copo ígido pode se deslocada paa um ponto O, exteio à sua linha de acção, desde que seja acescentado um conjugado de momento igual ao momento de F em elação a O... caso se tivesse deslocado a foça F paa outo ponto O, te-se-ia M F Ó = ÓA F = F ( ÓO + OA) F = ÓO F + M O que constitui a equação de popagação do momento de uma foça num copo ígido.

11 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/ Elementos de edução de um sistema de foças Considee-se um copo ígido sujeito à acção de um conjunto de foças F i (i=1,2,..n) aplicadas em pontos distintos A i. Pode-se, de acodo com os esultados anteioes, substitui a acção individual de cada foça pelo sistema foça-conjugado aplicado em O. As foças podem se somadas obtendo-se a esultante, e os momentos dos conjugados podem se somados obtendo-se o momento esultante M o. F = N i = 1 i = F 1 + F F N M O OA = N i = 1 i F i = OA 1 F 1 + OA 2 F OA N F N Estes dois vectoes (esultante e momento esultante) constituem os designados elementos de edução, em O, do sistema de foças. Taduzem, duma foma mais sintética, as condições de movimento que o sistema de foças tende a povoca no copo ígido.

12 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 Uma vez deteminados num ponto O, os elementos de edução estes podem se extapolados paa qualque outo ponto. Com efeito, num outo ponto O, os elementos de edução são: F = F + F F M = N i = 1 Ó i = M O ÓO N A segunda equação, que desceve o campo vectoial de momentos esultantes num copo ígido, é designada po equação de popagação do momento esultante. Tata-se duma equação que faz coesponde a cada ponto P do espaço, descito pelas suas coodenadas (x p, y p, z p ), o momento esultante M P, descito pelas suas componentes catesianas.

13 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/ Sistemas estaticamente equivalentes de foças Dois sistemas de foças dizem-se estaticamente equivalentes quando tendem a povoca o mesmo tipo de movimento (ou epouso) ao copo em que se encontam aplicados. Uma vez que os elementos de edução (deteminados num ponto) sintetizam o tipo de movimento que o sistema de foças tende a comunica ao copo, pode afima-se que dois sistemas de foças são estaticamente equivalentes se, e só se, apesentaem os mesmos elementos de edução num mesmo ponto. 1 = 2 M P = M 1 2 P P Nota: Demonste que sendo os elementos de edução de dois sistemas de foças iguais num deteminado ponto, estes sê-lo-ão iguais em quaisque outos pontos. Poblema 3.80 (Bee et al., 7ª Edição, 2006)

14 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/ Invaiantes de um sistema de foças Invaiantes de um sistema de foças. No caso geal, emboa os elementos de edução vaiem consoante o ponto de edução, existem deteminadas gandezas que pemanecem inalteadas. Tatam-se dos invaiantes do sistema de foças. Estes são: 1º invaiante (invaiante vectoial) esultante. 2º invaiante (invaiante escala) Pojecção do momento esultante segundo a diecção da esultante. M. = M. Ó O O,Ó Nota: demonste que é invaiante a componente do momento esultante segundo a diecção da esultante.

15 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/ Classificação de sistemas de foças Consideem-se os elementos de edução deteminados num ponto genéico O (caso geal). Decomponha-se o momento esultante M O em duas componentes: (1) paalela à esultante; e (2) pependicula à esultante. Deteminem-se os elementos de edução num outo ponto Q. ( = s) M = M Q O + QO ou, gaficamente,

16 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 Da análise do pocedimento anteio conclui-se: A popagação de momentos não altea a componente paalela, ou seja a componente paalela é invaiante (paa um deteminado sistema de foças). A popagação de momentos afecta a componente pependicula, sendo conceptualmente possível eliminá-la em cetos pontos. Nestes pontos (em que a componente pependicula é nula o momento esultante eduz-se á sua componente paalela (invaiante). O momento esultante é mínimo nos mesmos pontos. O aciocínio anteio foi elaboado no caso geal dum sistema de foças. Existem, contudo, casos paticulaes que se distinguem com base nos seus invaiantes. Os invaiantes pemitem a classificação do sistema de foças com base no quado seguinte.

17 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 1. Sistema equivalente a vecto (foça mais conjugado). Caso mais geal. M O 0 A componente paalela é não nula. O sistema de foças na sua foma mais simples eduz-se a uma foça (esultante) e um conjugado cujo momento tem a diecção da esultante. 2. Sistema equivalente a vecto único (ou foça única). M O = 0 = 0 A componente paalela é nula mas a esultante é não nula. O momento esultante é sempe pependicula à esultante. Na sua foma mais simples o sistema de foças eduz-se à esultante aplicada numa deteminada linha de acção (sem momento). 3. Sistema equivalente a conjugado (campo unifome de momentos). = 0 M O 0 A esultante é nula, pelo que o momento esultante é constante, mas não nulo. A acção do sistema de foças é um conjugado cujo momento é o momento esultante (deteminado em qq ponto). 4. Sistema equivalente a zeo (equilíbio). = 0 M O = 0

18 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/ Sistemas edutíveis a foça única. Linha de acção da esultante. Sistemas de foças complanaes Sistemas de foças paalelas

19 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 A Linha de Acção (l.a.) da esultante é deteminada po foma a que esta (esultante) quando aí colocada poduza o momento esultante deteminado no ponto de edução. Consideando-se os pontos O (ponto de edução) e Q (ponto sobe a linha de acção da esultante). QO = M O Poblema: Aplicam-se quato foças a uma teliça como indicado. Detemine a intensidade e a diecção da esultante. Assim como a distância da sua linha de acção ao ponto A.

20 Secção de Mecânica Estutual e Estutuas Depatamento de Engenhaia Civil e Aquitectua ESTÁTICA Aquitectua 2006/07 (Outo) Poblema: Uma placa hoizontal enconta-se sujeita a um sistema constituído po seis foças veticais. Detemine a intensidade das foças F 1 a F 3 tal que o sistema seja equivalente ao conjugado M =200i+350j (Nm). Figuas extaídas de Engineeing Mechanics: Statics. ILEY, William F.; STUGES, Leoy. John Wiley and Sons, 1996.