J. Sebastião e Silva, Compêndio de Matemática, 3º Volume

Transcrição

1 J. SEBASTAO E SLVA. 3. ntepetação geomética da multiplicação de númeos compleos. Comecemos pelo seguinte caso paticula: Poduto do númeo i po um númeo compleo qualque, z = + iy (, y e R)., *' "-- p.,, : -y o ,,, " p Basta considea o caso em que z =1= O. Temos: iz = - y + i Seja = z, a O agumento pincipal de z e e' o agumento pincipal de iz. Viá, então: y COS a' = - - = - sen e, sen e' = - = COS a, Po conseguinte: a opeação z ~ iz (multiplicação po i) taduz-se geometicamente pela otação de 90 no sentido positivo. (No caso da figua o sentido positivo é, como habitualmente, o sentido anti-hoáio.) 66

2 COMPtNDO DE MATEMATCA Podemos, agoa, passa ao caso geal: Poduto de um númeo compleo z = + iy po outo númeo compleo, w = u + iv (V, y, u, ve R). y P' o Basta considea o caso em que z =1= O e w =1= O. Suponhamos que se tem, na foma tigonomética: (1 ) z = E(a} w = pe(f3} (a, f3 agumentos pincipais) Sejam M, P, P', Q os pontos que epesentam z, w, zw, iw, espectivamente, e ponhamos u = OP v = OQ Então v esulta de u po uma otação de 90 0 positivo. Oa no sentido zw = ( + iy) w = w + y(iw} (poquê?) 67

3 J. SEBASTÃO E SLVA Logo, segundo o estabelecido no n.o 1: (2) --- OP' = u + y v Além disso (3) ~=~=~ Consideemos agoa o efeencial cujo 1. eio é a ecta OP oientada de O paa P, cujo 2. eio é a ecta OQ oientada de O paa Q e cuja unidade de compimento é igual à do pimeio efeencial. Então de (2) e (3) esulta que a abcissa e a odenada de P' no novo efeencial são, espectivamente, ' = p, y' = y p ou seja OP' = v' ( p)2 + (y p)2 = p v' 2 + y2 = P zw = p Po outo lado, se fo a' a medida pincipal do ângulo oientado PÔP', tem-se cos Oa Xp X a' = - = -= cos p a, a' = a sen a' = - YP p Y = - = sen a (4) XÔP' = XÔP + PÔP' (ângulos oientados) Como o segundo efeencial está oientado no mesmo sentido que o pimeio (sentido anti-hoáio na figua), deduz-se de (4) que um dos agumentos de zw - medida do ângulo oientado XÔP' - seá o númeo 68 {3 + a' = a: + {3

4 COMPltNDO DE MATEMATCA Assim, em conclusão: (5) zw = ( p) E (a + fi) Compaando (1) e (5), chegamos à seguinte REGRA. O poduto de dois númeos compleos tem po módulo o poduto dos módulos dos factoes e po agumento (ente outos) a soma dos agumentos dos factoes. É clao que esta ega também é vãlida se um dos factoes é O (agumento abitãio). Em paticula, mantém-se a PROPREDADE DO MóDULO DO PRODUTO: ' zw = z. w 'i z, w e C que jã se veificava em R, tal como a PROPREDADE DO MóDULO DA SOMA (n. o 2). ~ Geometicamente, vimos que se passa do vecto OP, epe- ~ sentativo de w, paa o vecto OP', epesentativo de zw, efectuando a otação de amplitude a e em seguida a homotetia de azão (ou vice-vesa). Assim: A aplicação w ~zw (multiplicação pelo númeo compleo z) taduz-se po uma tansfomação de semelhança: poduto da otação de amplitude a (agumento de z) pela homotetia de azão (módulo de z). EXERCTCOS -. Desenhe o tiângulo cujos vétices são as imagens dos númeos i 1 V3 -+i e, em seguida, o tiângulo cujos vétices coespondem aos podutos destes númeos po -V2(1 + i) (dados a azul e esultados a vemelho). 69

5 J. SEBASTÃO E SLVA 11. Moste que os númeos compleos z tais que z = 1 fomam um gupo multiplicativo isomofo ao gupo multiplicativo das otações do plano e ao gupo aditivo das classes de conguência de númeos eais paa o módulo 271" Mostá que os conjuntos { 1, i, - 1, - i } e + ~ 1, + i V 2 3, _ + i V : ' - 1, + 3 i \11, 2 _ i V; ~ são subgupos multiplicativos do gupo anteio. (Sugestão: nestes tês eecícios convém usa a foma tigonomética. ) NOTA MPORTANTE. Os factos anteioes mostam que os númeos compleos podem se intepetados como opeadoes sobe vectoes do plano. Nesta odem de ide ias, o símbolo E{a} epesenta o opeado otação de amplitude a. Em paticula, o númeo i é a otação de 90 (no sentido positivo) e potanto o númeo i = 2 i i é a otação de 180 : i 2 u = i(i u} = - u = (-1) u ~. iu j2u= -u 4 U Assim obtemos uma intepetação intuitiva da fómula: i 2 = -1 70