Vetores Cartesianos. Marcio Varela

Transcrição

1 Vetoes Catesianos Macio Vaela

2 Sistemas de Coodenadas Utilizando a Rega da Mão Dieita. Esse sistema seá usado paa desenvolve a teoia da álgeba vetoial.

3 Componentes Retangulaes de um Veto Um veto pode te um, dois ou tês componentes ao longo dos eixos de coodenadas x, y, z dependendo de como está oientado em elação aos eixos. z y x y x z assim : ' ' (I)

4 Vetoes Unitáios dieção de é especificada usando-se o veto unitáio. Se é um veto com intensidade 0, então o veto unitáio que tem a mesma dieção de é epesentado po: u (II)

5 Vetoes Catesianos Unitáios Em tês dimensões, o conjunto de vetoes unitáios, i, j, k é usado paa designa as dieções dos eixos x, y, z, espectivamente. Esses vetoes seão descitos analiticamente po um sinal positivo ou negativo dependendo da oientação do veto. Os vetoes catesianos unitáios positivos estão epesentados abaixo.

6 Repesentação de um Veto Catesiano Como as tês componentes de, figua abaixo, atuam nas dieções positivas i, j, k pode-se esceve sob a foma de veto catesiano como: x i y j k z (III) Dessa foma cada componente do veto estão sepaadas e, como esultado, simplifica as opeações de álgeba vetoial, paticulamente em tês dimensões.

7 Intensidade de um Veto Catesiano É sempe possível obte a intensidade de, desde que ele esteja expesso sob a foma vetoial catesiana. Pela figua abaixo temos: z y x y x z assim ' ' : Potanto, a intensidade de éigual a aiz quadada positiva da soma dos quadados de seus componentes. (IV)

8 Dieção de um Veto catesiano dieção de é definida pelos ângulos dietoes coodenados α (alfa), β (beta) e γ (gama), medidos ente a oigem de e os eixos positivos x, y, z localizados na oigem de. Obseve que cada um desses ângulos está ente 0º e 180º, Independentemente da oientação de.

9 Paa deteminamos α (alfa), β (beta) e γ (gama), vamos considea a pojeção de sobe os eixos x, y, z. Com efeência aos tiângulos etângulos sombeados mostados em cada uma das figuas temos: cosα x cos β y cos γ z (V.I) (V.II) (V.III)

10 Uma maneia fácil de se obte os cossenos dietoes de é cia um veto unitáio na dieção de, equação (II). Desde que seja expesso sob a foma de veto catesiano, equação III: u (II) x i y j k z (III) u x y i j z k (VI) Onde: X Y z (IV)

11 Po compaação com as equações (V), vemos que os componentes de u(i, j, k), epesentam os cossenos dietoes de, isto é: x y z cos α ; cos β ; cos γ (V) u cos α i cos β j cos γk (VII) Como a Intensidade de é igual a aiz quadada positiva da soma dos quadados da intensidade dos componentes e u tem intensidade 1, então: cos α cos β cos γ 1 (VIII)

12 inalmente, se a intensidade e os ângulos da coodenada de dieção de são dados, pode se expesso sob foma vetoial catesiana como: u cos α i cos β j cos γk (IX)

13 dição e Subtação de Vetoes Catesianos Essas opeações são simplificadas se os vetoes são expessos em função de seus componentes catesianos. Po exemplo, se: x i y j zk e B B i B j B k, então o veto esultante R tem componentes x y que epesentam as somas escalaes de i, j, k de e B. Ou seja: z R ± B ( x ± B x ) i ( y ± B y ) j ( z ± B z ) k Genealizando; Σ Σ i j k (X) R X Y Z

14 Execícios: Expesse a foça, mostada na igua abaixo, como um veto catesiano. Solução: cos cos α α cos cos β cos 60º cos γ 1 45º 1 cos α 1 (0,5) (0,707 ) cos α ± 0,5 Dessa foma α pode se: α accos( 0,5) 60 º α accos( 0,5) 10 º

15 Paa expessa a foça 00 N, como veto catesiano usa-se a equação (IX): u cos α i cos β j cos γk cos α i cos β j cos γk ( 00.cos 60 º ) i ( 00.cos 60 º { 100 i 100 j 141,4 k }N ) j ( 00.cos 45 º ) k plicando a equação (IV): X Y z (100 00N ) (100 ) (141,4)

16 Detemine a intensidade e os ângulos dietoes coodenados da foça esultante que atua sobe o anel, confome a figua abaixo.

17 Expesse a foça 1, mostada na figua abaixo, como veto catesiano.

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19 Duas foças atuam sobe o gancho mostado abaixo. Especifique os ângulos dietoes coodenados de, de modo que a foça esultante atue ao longo do eixo positivo y e tenha intensidade de 800 N.

20 k j i k j i k j i u k j i Z Y X R z y x z y x z Y X z y x Σ Σ γ β α γ β α γ β α cos cos cos 1 cos cos cos cos ; cos ; cos

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22 O veto posição édefinido como um veto fixo que localiza um ponto no espaço em elação a outo ponto. Po exemplo, se estende-se da oigem de coodenadas, O, paa o ponto P(x, y, z), figua abaixo, então pode se expesso na foma de veto catesiano como: xi yj zk

23 Obseve que a adição de veto da oigem paa a extemidade dos tês componentes esulta do veto, figua abaixo. Começando na oigem, O, desloca-se sobe x na dieção i, depois sobe yna dieção je finalmente sobe zna dieção kpaa atingi o ponto P(x, y, z).

24 Em geal, o veto posição éoientado do ponto paa o ponto Bno espaço, figua abaixo. Como uma questão de convenção esse veto édesignado pelo símbolo, algumas vezes seão utilizados índices subscitospaa indica o ponto de oigem e o ponto paa o qual estáoientado. ssim, também seádesignado B, Obseve também que e B, são escitos com apenas um índice, visto que se estendem a pati da oigem das coodenadas.

25 Da figua anteio, pela adição de vetoes ponta-cauda, é necessáio que: B Resolvendo-se em e expessando-se e B na foma vetoial catesiana, temse: k z z j y y i x x k z j y i x k z j y i x B B B B B B B ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

26 Na Pática: O compimento e a dieção do cabo B usado paa supota a chaminésão deteminados medindo-se as coodenadas dos pontos e B e usando-se os eixos x, y, z. O veto posição ao longo do cabo éentão estabelecido. intensidade epesenta o compimento do cabo e a dieção dele é definida po α, β, γ, que são deteminados pelos Componentes do veto unitáio calculados a Pati do veto unitáio u.

27 Exemplo: Uma fita elástico estápesa aos pontos e B, como mosta a igua abaixo. Detemine seu compimento e sua dieção, medidos de paa B.

28 Solução: 1º-estabelece um veto posição de paa B, igua abaixo. º- detemina as coodenadas dos pontos de oigem e de extemidade do veto: (1, 0, -3)m e B(-,, 3)m, espectivamente; Calcula-se o veto : m k j i k j i k z j y i x k z j y i x B B B B ) 6 3 ( 3)) ( (3 0) ( 1) ( ) ( ) (

29 intensidade de epesenta o compimento da fita elástica: Definindo um veto unitáio na dieção, temos: Os componentes desse veto unitáio dão os ângulos dietoes coodenados: m 7 (6) () 3) ( k j i u

30 Cálculo dos ângulos dietoes coodenados: 3 α accos 7 β accos γ accos Esses ângulos são medidos a pati dos eixos positivos de um sistema de coodenadas catesianas localizado na oigem de, ponto, como mostado na figua acima º 73,4º 31º

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32 Pode-se defini, como sendo um veto catesiano pessupondo que ele tenha mesma dieção e sentidoque o veto posição oientado do ponto paa o ponto B da coda, igua abaixo. Essa dieção comum éespecificada pelo veto unitáio u, então: u, unidade de foça;, unidade de compimento.

33 Na Pática: foça que atua ao longo da coente pode se epesentada como um veto catesiano definindo-se pimeio os eixos x, y, z, fomando-se um veto posição ao longo do compimento da coente e deteminando-se depois o veto unitáio ucoespondente que define a dieção tanto da coente quanto da foça. inalmente, a intensidade da foça écombinada com sua dieção, u.

34 Exemplo: O homem mostado na igua abaixo puxa a coda com uma foça de 70 lb. Repesente essa foça, que atua sobe o supote, como veto catesiano e detemine sua dieção.

35 Solução: 1º-estabelece um veto posição de paa B, igua abaixo. º- detemina as coodenadas dos pontos de oigem e de extemidade do veto: (0, 0, 30)pés e B(1,-8,6)pés, espectivamente; Calcula-se o veto : pés k j i k j i k z j y i x k z j y i x B B B B ) 4 8 (1 30)) (6 0) 8 ( 0) (1 ) ( ) (

36 intensidade de epesenta o compimento da coda B: (1) ( 8) ( 4) 8pés Definindo-se o veto unitáio que detemina a dieção e o sentido de e, temos: u 1 8 i 8 8 j 4 8 k Como tem intensidade de 70 lbe dieção especificada po u, temos: i 8 8 { 30i 0 j 60k}lb j 4 8 k

37 Os componentes desse veto unitáio dão os ângulos dietoes coodenados: α accos β accos 8 4 γ accos 8 64,6º 107º 149º

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39 O poduto de vetoes e B, escito.b e lido como escala B, é definido como o poduto das intensidades de e de B e do Cosseno do ângulo θ ente suas oigens. Expesso na foma de equação:.b B.cos θ Onde 0º θ 180º.

40 Leis das Opeações Lei Comutativa:.B B. Multiplicação po Escala: a.(.b) (a.).b.(a.b) (.B).a Lei Distibutiva:.(B D) (.B) (.D)

41 Definição de Veto Catesiano.B x.bx y.by z.bz plicações: O poduto escala tem duas aplicações impotantes: 1 - Detemina o ângulo ente dois vetoes ou eta que se inteceptam. O ângulo θ ente as oigens pode se deteminado pela equação: θ. B B 0 accos ; 0 θ 180 0

42 Detemina os componentes paalelo e pependicula de veto a uma eta..1 - Componente Paalelo:.cos θ.u Potanto, a pojeção escala de ao longo de uma eta é deteminada pelo poduto escala de e o veto unitáio uque define a dieção da eta. Dessa foma o componente epesentado como um veto é:.cos θ u (.u)u

43 . Componente Pependicula: O componente pependicula a eta aa pode se obtido de duas maneias: θ accos u ; então :. senθ; Da mesma foma se fo conhecido, então, pelo teoema de Pitágoas, pode-se esceve: ;

44 Na Pática: O ângulo θente a coda e a viga pode se deteminado usando-se 0 poduto escala. Definem-se os vetoes posição ou vetoes unitáios ao longo da viga, e ao longo da coda, como θédefinido ente as caudas desses vetoes, pode-se esolve em θ usando-se: ; u ; u ;. accos.. accos u u θ

45 Na Pática: Se a coda exece uma foça sobe a junta, a pojeção dessa foça ao longo da viga pode se deteminada definindo-se pimeio a dieção da viga, usando-se u ; um veto unitáio e depois definindo-se a foça como um veto. u. catesiano, plicando-se o poduto escala, a pojeção seá:. u

46 Exemplos: estutua mostada abaixo está submetida a uma foça hoizontal {300j}N. Detemine a intensidade dos componentes da foça paalela e pependicula ao elemento B. 1º-Detemina-se o veto posição B. Com base na figua temos: B {i 6j 3k}

47 º- intensidade do componente de ao longo de B éigual ao poduto escala de pelo veto unitáio u B, que define a dieção de B, como: B i 6 j 3k ub B () (6) (3) u então : cosθ B B B B B 0,86i 0,857 j 0,49k;. u (300 j).(0,86i 0,857 j 0,49k) (0).(0,86i) (300 j).(0,857 57,1N B j) (0).(0,49k)

48 Como o esultado éum escala positivo, B tem o mesmo sentido de dieção de u B. Expessando B na foma vetoial catesiana, temos: B B B cosθ. u B B. u (57,1N ).(0,86i 0,857 {73,5i 0 j 110k} B j 0,49k) O componente pependicula é potanto: B 300 j (73,5i 0 j 110k) { 73,5i 80 j 110k} N

49 Sua intensidade é deteminada tanto po meio desse veto como po Pitágoas: B (300) 155N (57,1)

50 O tubo da igua abaixo estásujeito a foça 80 lb. Detemine o ângulo θente e o seguimento B do tubo e as gandezas dos componentes de, que são paalelos e pependiculaes a B.

51 Solução: Ângulo θ: Pimeio define-se os vetoes posição de B paa e de B paa C. (0, 1, 0); B (, 3, -1); C (, 0, 0); B ( B) [(0-)i (1-3)j (0-(-))] B {-i -j 1k}pés BC (C-B)[(-)i (0-3)j (0-(-1))k] BC {-3j 1k}pés

52 Solução: Ângulo θ- continuação: Em seguida, calcula-se o ângulo θ ente as caudas desses dois vetoes. B. BC cosθ. cosθ B BC ( ) ( )(0) ( )( 3) (1)(1) ( ) (1) x ( 3) (1) cosθ ,7379 θ 4,5º

53 Solução: Componentes de : foça édecomposta duas componentes,figua, desta foma calcula-se B cos θe.sen θ. B B B cosθ 80.cos 4,5º 59lb senθ 80. sen4,5º 54lb

54 Solução Tivial: Componentes de continuação: Detemina-se os unitáios u B e u BC: u u u u u u B B B BC BC BC ( ) i 3 B B BC BC ( i j 1k ) ( 3 j 1k ) ( 3) j 3 ( ) 1k 3 (1) 3 j 1k (1)

55 Solução Tivial: Componentes de continuação: Detemina-se como Veto Catesiano e B. 80. BC BC 3 j 1k ( 75,89 j 5,3k ) lb então : B B B B. u B ( 75,89 j 5,3k ). 0 50,60 8,43 59lb i 3 j 3 1k 3

56 Solução Tivial: Componentes de continuação:com B e detemina-se : B (80) 54lb (59)