b) A área sombreada (S) é igual à área do setor AOM subtraída da área do triângulo ODC e da área do setor DCM do círculo de centro C.

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1 13 Geometia I - GRITO VLIÇÃO - 01/ Questão 1. (pontuação: ) o seto O de cento O, aio O = 3 e ângulo O = 60 o está inscita uma cicunfeência como mosta a figua. a) alcule o aio dessa cicunfeência. b) alcule a áea da egião sombeada. O a) Seja o ponto médio do aco. O aio O passa pelo cento da cicunfeência inscita no seto. Seja pependicula a O como mosta a figua acima e seja = = o aio da cicunfeência. omo O = 30 o então, no tiângulo O tem-se O = e, potanto, O = 3 = 3, ou seja, = 1. b) áea sombeada (S) é igual à áea do seto O subtaída da áea do tiângulo O e da áea do seto do cículo de cento. áea do seto O é π3 1 = 3π 4. omo = 1 e O =, então O = 3 e a áea do tiângulo O é O.O = 3. o outo lado, o ângulo mede 10 o e, potanto, o seto do cículo de cento tem áea igual à teça pate da áea do cículo de cento, ou seja, π 3. ssim, a áea sombeada é S = 3π 4 3 π 3, ou seja, S = 5π Questão. (pontuação: ) O Teoema das Tês ependiculaes tem o seguinte enunciado: eta é pependicula ao plano α no ponto. eta s está contida em α e não passa po. O ponto da eta s é tal que é pependicula a s. Então, se é qualque ponto de, é pependicula a s. a) Faça uma figua que desceva o enunciado do Teoema. b) emonste o Teoema.

2 a) s b) omo é pependicula a α então é otogonal a qualque eta de α, potanto é otogonal a s. oém, é pependicula a s. ssim, s é otogonal a duas etas concoentes: e. Logo s é pependicula ao plano deteminado po e, que chamaemos de plano β. omo e são pontos de β então s é pependicula a, como queíamos demonsta. Questão 3. (pontuação: ) Em um cubo, e EF GH são faces opostas e E, F, G e H são aestas paalelas. Sejam e os pontos médios das aestas e H, espectivamente. a) Se a aesta do cubo mede, calcule a distância ente os pontos e. b) alcule o cosseno do ângulo ente as etas e. H G E O F a) Obseve a figua acima. o tiângulo, etângulo em, = e = 1. onsequentemente, = 5. omo a aesta é pependicula à face GH, o tiângulo é etângulo em. aí, = + = = 6, ou seja = 6. b) Façamos uma tanslação do segmento de foma que o ponto concida com o ponto. essa tanslação, o ponto coincidiá com o ponto O, cento da face HE. O ângulo ente as etas evesas e é o ângulo ente as concoentes e O, ou seja, o ângulo O = θ.

3 o tiângulo O, temos =, O = = 6 e O é a metade da diagonal do quadado HE, ou seja, O =. lei dos cossenos no tiângulo O fonece: ( ) = + ( 6).. 6.cos θ aí, encontamos cos θ = 6 3. Isto também pode se obtido notando-se que o tiângulo O é etângulo em e usando-se dietamente a definição de cosseno. Questão 4. (pontuação: ) O tapézio tem bases e. altua do tapézio mede 8. s bases medem = 10 e = 6. s diagonais e do tapézio dividiam o tapézio em quato tiângulos. alcule as áeas dos quato tiângulos em que o tapézio ficou dividido. 6 x 8 8 x 10 otação: (Y Z) epesenta a áea do tiângulo de vétices, Y e Z. Seja o ponto de inteseção das diagonais e seja x a distância de à base meno do tapézio. omo os tiângulos e são semelhantes temos 6 10 = x x, o que dá x = 3. ssim, ( ) = = 9 e () = = 5. ( ) = () ( ) = = 40 5 = 15 s áeas dos quato tiângulos estão na figua abaixo: ( ) = () ( ) = 40 5 =

4 Questão 5. (pontuação: ) o cubo de aesta a, os pontos,, e Q são médios das aestas,, e, espectivamente. Foam feitas as seções pelos planos Q,, e Q. Retiando-se os quato tetaedos fomados, esultou o poliedo ilustado na Figua 1. O poliedo possui duas bases paalelas e faces lateais tiangulaes. Ele é um pismatóide. a) alcule o volume do poliedo. ' Q ' ' ' Figua 1 Obseve agoa a Figua ; pelo ponto médio da aesta foi taçado um plano paalelo à face que deteminou em uma seção octogonal. foma dessa seção equidistante das bases do poliedo, que é chamada se seção média, está ilustada na Figua 3. o poliedo, epesentaemos a áea da base po S, a áea da base Q po s, a áea da seção média po S m e a distância ente as bases po h. b) alcule a áea da seção média e calcule o volume de usando a fómula do volume dos pismatóides: V = h 6 (S + s + 4S m). ' Q ' ' ' Figua Figua 3

5 a) Um dos tetaedos etiados é Q. Sua base é o tiângulo etângulo Q de catetos = Q = a e altua = a. O volume desse tetaedo é 1 3. (a/)(a/).a = a3 4. omo quato desses tetaedos foam etiados, o volume do poliedo é V = a 3 4. a3 4 = a3 a3 6 = 5a3 6. b) seção média é obtida de um quadado Y ZW, conguente com etiando-se quato tiângulos etângulos isósceles conguentes. O plano da seção média cota a aesta do cubo em Y e cota as aestas e do poliedo em E e F, espectivamente. E a/ F Y Temos EF = = a (já que a eta Y une pontos médios de lados do tiângulo ) e, consequentemente, E = F Y = a 4. ssim, cada um dos pequenos tiângulos etângulos tem áea 1. a 4. a 4 = a 3 e a áea da seção média é S m = a 4. a 3 = 7a 8. plicando a fómula do volume do pismatóide temos: o que coincide com o esultado do item a). V = a 6 (a + a + 4.7a 8 ) = a 6 (a + a + 7a ) = a 6.10a = 5a3 6