Matemática D Extensivo V. 3

Transcrição

1 GRITO Mtemátic tensivo V. ecícios 1) β 5 7º ) Note que.. o 8 o. Logo o. omo Δ é isósceles, 8 o ; po som dos ângulos intenos do, temos que α o. 18º Note que 7 o e 18 o. otnto o meno co 5 o. Logo β 5 15o. ) o F º º 1º 8 omo são conhecidos os ios ds cicunfeêncis, é possível encont s ptes que fltm dos ldos e do tiângulo, confome figu ) ) Note que F 1 o. Logo F e F o, pois ΔF é isósceles. otnto o. 5' 66 15' O co. 5' 7 '. omo 18, temos que o co meno 18 7 ' 1 '. 1 otnto 66 15'. Mtemátic 1

2 GRITO 6) Q 1º 66º 7º º 1º 19º t Q 9 Obseve que os cos menoes e vlem: ( + ) otnto os ângulos e vlem: e omo Q 9 e 7, então Q 8. o som dos ângulos intenos ΔQ, temos que: 18 ( + Q) ) α 18 β β α α onsidee α e β. omo, então α. omo α e são opostos o mesmo co, temos que: α o som dos ângulos intenos Δ e Δ, temos espectivmente que: α+ β 18 α 6 α 6, e α+ β 9 α 1 α 8) 16º 5º 16º O 9º 11º omo 5, temos que 9. como 11, o co (meno) é igul Se considemos O o cento d cicunfeênci, O 16. omo e tngencim cicunfeênci, O O 9 Os ângulos intenos do qudiláteo O somm 6. ntão: O + O + O Mtemátic

3 GRITO 9) O co oposto o ângulo de 5 mede:. 5 9 O co oposto o ângulo de 65 mede: otnto o co mede: ess fom m + n ) O 18º 18º Tome-se O como o cento d cicunfeênci. omo e são tngentes à cicunfeênci, então: OÊ O 9 omo o pentágono é egul, os ângulos intenos medem 18. Sbendo-se que som dos ângulos intenos do pentágono O vle 5, então: O ) O 15 otnto ) omo é diâmeto, 9. el som dos ângulos intenos do tiângulos : otnto Mtemátic

4 GRITO 1) 5 5º onfome o desenho, o co meno vle:. 5 9 ntão o ângulo 9 5 O 5º 5 om o mesmo ciocínio, 5. el som dos ângulos intenos do tiângulo O: O ess fom: o 1) ) cm b) N cm y N y ) Note que e M são tngentes à cicunfeênci; potnto, M 1. elo mesmo ciocínio, M N 8. Logo: M + M cm 1 M 8 b) omo N. (tome N y), então: y N y 15) 7 o Note que, como O O, o ângulo O 5. ssim o ângulo O 7. om isso, o co 7. otnto α ) Sbendo-se que O 11, então: O , pois é diâmeto. otnto 7 5. omo O e O são ios, 5. omo é diâmeto, 9. otnto: + y 9 y 9 (. 5 ) y Mtemátic

5 GRITO 17) 5 α 7º st tç s ets O e O confome o desenho. ess fom:. 7 omo é diâmeto d cicunfeênci, o co mede: otnto α vle metde do co coespondente. α º 18) 5º 7 15º 5 5º Sbendo-se que o co coespondente 7, temos: Ê 5 e Ê o ângulos opostos pelo vétice, temos que: ) O co coespondente.. omo é diâmeto, otnto: 1 7 o ângulos opostos pelo vétice, temos: Ê 85 e α ) α Q onsidee o ângulo β. Sbendo-se que 18 α, temos: (18 α) + β + 18 β α (I) omo β + α, então: α + β 8 (II) Substituindo (I) em (II), temos: α + (α ) 8 α 1 α 6 Mtemátic 5

6 GRITO 1) 1 Tenh-se o co. α elo desenho 1, concluímos que: α 9 (I) tvés do desenho, concluímos que: 18 6 (II) Substituindo (II) em (I), temos: α 9 6 α 6 ) ) 8 m b) R$ 96, ) omo é diâmeto, então 9. o itágos e tomndo-se : m Áe d egião etngul (): m b) st substitui áe do quddo d áe do cículo e multiplic o esultdo pelo peço do meto quddo d gm. Áe do cículo (c): c π.,. 5 8 m Áe sombed (s): s c 8 8 m Vlo gsto (V): V. 96 ) 6 1. Flso. um tiângulo se isósceles, bst que pens dois de seus ldos sejm iguis, enqunto que, p se equiláteo, todos os seus ldos devem se iguis.. Veddeio. O suplemento de um ângulo α é: 18 α. otnto nesse cso: Flso. som dos ldos que medem 17 e 1 é igul, que coesponde o teceio ldo. 8. Veddeio. O númeo de vétices de um polígono é ddo po: nn ( ) Veddeio c. π. π π π 6 Mtemátic

7 GRITO ) R q R R st veific que s únics mneis de um cicunfeênci tngenci s dus cicunfeênci concêntics o mesmo tempo são: 1. Um cicunfeênci de io R com cento em.. Um cicunfeênci de io R com cento em q. 5) Q t Obseve que os tiângulos R e Q são semelhntes. otnto podemos cheg à seguinte elção: otnto: s Q ) el figu vemos que o io d cicunfeênci inscit é. o itágos, temos: R + R R otnto zão seá: 1. 7) Tçndo-se et, tem-se o tiângulo. 6º º omo é tngente, o ângulo 9. omo, é possível us função tigonométic tg( ). ssim: Mtemátic 7

8 GRITO 8) l l st coloc o io () em função do ldo (l) do quddo. o itágos: l + l l l eímeto do quddo (): l ompimento d cicunfeênci (): π. l πl Rzão: πl l π 9) áe d figu coesponde à som ds áes ds cicunfeêncis mio e intemediái dividid po dois. f π. 6 π. 6 π π,5 π cm O peímeto é igul à som d metde dos peímetos ds quto cicunfeêncis. f π., 15 π., 15 π. π f π + π + 6π 1π ) Sbendo-se que o ângulo π coesponde um co de 5 8π m, então mei cicunfeênci tem compimento: m 5. 8π m m π m omo mei cicunfeênci é m π π, então: π πm m 1) onfome figu, é possível pecebe que o 5 otnto medid do ângulo mede: Mtemátic

9 GRITO ) imeio encontmos o vlo de, sbendo que o compimento d cicunfeênci meno é π: π π 16 9 R ess fom podemos ch R: R 9 R 5 go, po itágos, é possível encont : (R + ) 9 + () ) onfome figu, bst utiliz itágos p descobi : otnto cod tem compimento igul 8. ) el eção métic ente dus cods, temos que (I) omo 1, então (II). Igulndo (I) e (II) temos: , ) 6 cm,5 T O,5. (T) (5 + ) ' 9 ou " Logo Mtemátic 9

10 GRITO 6) 9) 7) (). () el elção métic ente secnte e tngente, temos. 8. () 6 ) 8) ( + 7) cm cm 8cm α α α α o potênci de um ponto eteio, concluímos que: ( + ) otnto ) imeimente dotemos o ângulo α. osteiomente, tocndo O O, concluímos que O O α. o último tem-se que O 18 α e O 18 α. omo O O O, temos: O 18 α (18 α) O α Mtemátic

11 GRITO el figu note que os ldos do tpézio vlem 1 cm. otnto, p descobi o io, bst esolve itágos no tiângulo : 1 () ) b) el elção de potênci de um ponto eteio, temos: (8 + ) Obs: Note que o gbito está edo. c) st tç et e encont os ângulos e Ê: Ê otnto: ) ) 1 b) 6 c) 5 ) o potênci de um ponto eteno, temos: 6 ( + ) ) o potênci de um ponto inteio, temos: Note pel figu que, tomndo-se e Q y; F + y 6 e + y 5. onclui-se que: F + y 5 ( + y 6) F Mtemátic 11

12 GRITO 5) + b Tçndo-se et O fom-se o tiângulo etângulo O. o cosseno do ângulo O : cos b 8) o potênci de um ponto inteio:. b ( + b) b b b b,5,5,5 6 d Q 6) S 9) el elção de potênci de um ponto eteio, temos: 6 (d + 5). d d + 5d 6 S 5 e 6 ou d ou d 9 omo d é distânci, então ecluímos d 9. st som s metdes dos compimentos ds quto cicunfeêncis. π+ π+ 6 π+ 8 π π 1π m Sbendo-se o compimento totl d espil (), bst dividi-lo pelo tmnho do tijolo. N 1 tijolos, 7) O compimento d semi cicunfeênci () é ddo po: π π. 67 Tome π,1; então 1,8 km omo o vião fz 8 km em um ho, bst dividi "" pel velocidde: T 1, / º 6º 5) o enuncido veific-se que o tiângulo O é equiláteo; logo O otnto o co 6 e o ângulo. 1 Mtemátic

13 GRITO 51) ) d. F é som do compimento do cículo fomdo pel som dos dois semicículos com et. F. π. R m b) d. é som do semicículo +. πr m c) d. πr d) et. volt complet () é som: + F + + F, ( πr) + 1 m o potênci de um ponto inteio, temos: 7(7 + ) ) elo desenho é possível ve que e 18 o. 56 o omo 6 o 1. ntão: 1 5 5) o potênci de um ponto inteio, temos: 1 6,6 5) 55) Idem o eecício. o potênci de um ponto eteio, temos: () ( + 18) Mtemátic 1

14 GRITO 56) + 1 st tç s ets M, e. omo é diâmeto, então o tiângulo é etângulo e ptilh o ângulo com o tiângulo etângulo M. otnto, po semelhnç de tiângulos, o ângulo M M. omo os tiângulos M e M são etângulos e ptilhm o ângulo M e o ldo M, po semelhnç de tiângulos, temos: M M 57) Sbendo-se que médi itimétic ente os ldos opostos de um tpézio são iguis, então: otnto: F otnto po semelhnç de tiângulos: 8 59) Logo, o io (): 1 5 O compimento ():. π. R 1π Idem o eecício ). ( + π) 5 9 el figu note que F 9 e F H G o itágos, no tiângulo etângulo F, temos: () F 58) M el figu note que o compimento d coei é π, ou sej, oito vezes o io mis quto vezes um quto do compimento d cicunfeênci π 8 + π. ( + π) 1 Mtemátic

15 GRITO 61) 6) O el figu notemos que N e QM QN. otnto o peímeto do tiângulo é:. 16 N Q M elo desenho temos: + ( ) + ( ) ' 1 e " 6) Note que não podemos te, pois os ldos do jdim ficim com medids negtivs. ntão F 1 st us itágos p ch. 1 st cont s digonis. Ms note que F e. F F 6) Sej d digonl de cd quddo. ntão, po itágos, temos: d ( ) + ( ) d 6 d 8 Logo: d. d Logo ( + + F) e F + F otnto som dos compimentos ds digonis é igul ) Os ângulos intenos de um pentágono medem 18. omo o pentágono é egul, s ets e estão dividindo em tês. otnto: α 18 6 Mtemátic 15

16 GRITO 66) 6 º omo o heágono é egul, os ângulos intenos medem 1. otnto o ângulo 1 6. Tome. ntão pode se encontdo po tg( ). tg( ) otnto o peímeto () é: el figu temos que pode se encontdo usndo função cosseno em. cos 69) V F V V V 5º 67) 68) R º elo desenho note que e R podem se encontdos pel tg ( ) e cos ( ) espectivmente. tg ( ) cos ( ) R R. R 6 otnto zão R é: R 6 6º 6º 6º º 5cm ) Veddeio. pode se clculdo usndo. otnto o ldo do qud- cos 5 do vle:. b) Flso. elo desenho note que o ldo do quddo cicunscito vle. otnto zão (R) vle: R. c) Veddeio. elo desenho temos que o pótem do quddo cicunscito é e o do inscito é. otnto difeenç (d) vle: d 1 d) Veddeio. eímeto dos quddos: c. 8 i. Rzão dos peímetos (Rp): 8 Rp. Rzão dos pótems (R): R e) Veddeio. Áe dos quddos: c. i. Rzão ente s áes (R): R 16 Mtemátic

17 GRITO 7) 5º 6º st fom os tiângulos Q, e R. omo o heágono é equiângulo, os tiângulos são equiláteos e, po consequênci, o tiângulo RQ tmbém é equiláteo. otnto: y 8 y 18 Logo: el figu concluímos que o ldo do quddo é ddo po: cos 5 R, l. R e do heágono po: 71) cos 6 y R y R, L y R difeenç é dd po: d 1R 7) 1 º el figu note que, como é equiláteo, o ângulo O vle. otnto po cosseno de é possível encont : cos 6 6 otnto o ldo (l) vle: l ) F Sendo os pentágonos egules, então α 18. otnto: θ 6. α 6 6 7) 99 F y Q H el figu note que o tiângulo O é isósceles e Ê O O 5. otnto: cos 5 O O G 15 R Mtemátic 17

18 GRITO 75) Logo ) L l 5º º o el figu vemos que O é um tiângulo etângulo, com ângulo O. otnto: cos el figu note que o ldo do quddo cicunscito pode se encontdo po: cos 5 l l l. otnto zão (R): 78) R l L 76) 5º el figu vemos que o pótem é igul à metde do ldo do quddo. otnto: cos 5 6 Logo o ldo do quddo vle 6 e o pótem vle. 79) omo o heágono é egul, temos que: w 1 v 9 y 6 z 9 Sejm e o io d cicunfeênci e o ldo do quddo espectivmente, então: () Mtemátic

19 GRITO otnto, o peímeto... Logo compimento peímeto π 8) 5 5º π. Sej F F. ntão: 1 + Note que são semelhntes os tiângulos ΔF e ΔF. ntão temos que: F F ( + 1) ) 1± eceb que tem de se mio que zeo, pois tt-se de um distânci, que é sempe positiv. Logo otnto: , e ess é íz positiv d equção 1. Note que. (áe ) Sej. el lei dos cossenos plicd o tiângulo Δ, temos que: +.. cos 5 + ( ) ( 1) 5 81) 1 p + b+ c p 1 8) Semipeímeto p ntão: S pp ( )( p b)( p c) S 1( 5.. ) ( ) S F 1 1 R Mtemátic 19

20 GRITO R cm π π 5 π. 5 5 π cm áe hchud ( ) é difeenç ente áe do quddo ( ) e áe d cicunfeênci ( ) dividid po : 5 5 π 1 5π 5. ( π) 8 8) π 87) I. 85) π() π. 1 p + b+ c p 16 S 1 pp ( )( p b)( p c) S ) Note que F 9. ssim: F S. S.. 6 II. p + b+ c p S pp ( )( p b)( p c) S S 1 S 18 Mtemátic

21 GRITO 88) 5 6 ~ 9) 5 α S ) Note que se, 9. ntão: o fto de que O 6, Δ é equiláteo, pois é pependicul. Logo.. Vmos dei em função de α. Note que + + α α + α ( ) 8+ 91) α + + α α α Logo α ( ) ( + ) ( ). + α demis: cos sen 6. otnto: Q.. ssim: 9 Q Δ é equiláteo Mtemátic 1

22 GRITO 9) 95) Note que 1 (imgine folh dobd). Logo, do tiângulo pitgóico Δbc, temos que 8. Fç h. ntão 8 h. Logo h (8 h) + (itágos no Δ) h 6 16h + h + 16 h 5 otnto cm h 1( h+ ) 7h h + 18 h 96) º 6º 6º 1 º 9) 6 6º cos tg I I ntão ( + ) + ( ). 15 Note que: ) 9) otnto: (h + h) 6 h h 1 ntão 1.. Note que são tiângulos conguentes. ntão S' 5. Logo S S 5 S Mtemátic

23 GRITO 98) ( ) ) 99) O tiângulo é pitgóico. Logo ) F G Note que G G. ssim o ΔF é dividido em quto tiângulos com áes iguis (mesm bse e mesm ltu). Logo áe pocud é: F ( ) ,5 1) 1) 1 F 1 G 5 1 Sej F F F. ntão, do F G, temos: 1 + (1 ) e G F: G F Mtemátic

24 GRITO e : Logo: ) 15) 1 16 O tiângulo é pitgóico. Logo ssim 96 cm. 16) omo 8 e O, temos que O 5 e, ssim, os tiângulos O e FO são os pitgóicos ( 5). o outo ldo, OF. ssim 8 1. Logo F 6. 5 F Flso. ltu é 8.. Veddeio.. Veddeio. 8. Flso. bse mede Flso. O cento dist mis que 6.. Flso. O cento dist 6,5. 6. Veddeio cm. 17) y 5 Note que y 5 y e + y. 5 ntão: ,5 y 1,5 Logo: 1 5., 5. 15, R ) Mtemátic

25 GRITO ( + ) ( + ) ) Logo: 6.( + 6 ) 8 R 19) F b + h π π π bh cm Mtemátic 5