Volume. Resoluções. Matemática. e suas Tecnologias

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1 Volume temátic e sus Tecnologis temátic

2 temátic 0. O obô pecoeá o peímeto de um polígono egul de n ldos, cujo ângulo eteno seá: 60 º = n = 5 n Logo, ele pecoeá 5 ( m) = 60 m. 0. Os códigos que fonecem os lgismos têm quto dígitos. Devemos, então, gup s bs de quto em quto. ssim, temos: III) No tiângulo equiláteo JI: i = 60 ssim, sendo JÎH =, devemos te: = 60 = 7 R 05. função logítmic R = log R é logítmic cescente 0 R (bse 0 > ) e qundo R = R 0, temos R = log 0 R = log = 0 0, 0 ou sej, seu gáfico pss no ponto (R 0, 0). Potnto, o gáfico que melho epesent Rend omptiv de um hbitnte desse pís em função de su end é o d ltentiv (D) De codo com tbel, os códigos 00, 000, 00 e 00 coespondem, espectivmente, os lgismos 6, 8,, 5. Potnto, este código de bs coesponde o númeo 685. Respost coet: Item 0. Nº de pizzs potugues = 8 + = + 6 = 8 Nº de pizzs mussel = = 0 + = 06. scolhendo-se s quto seleções que jogão no Rio de Jneio, s outs quto seleções que jogão em São Pulo já estão deteminds. Dí, temos: I) Totl de mneis de dividi s oito seleções: 8! , = = =!! 70 II) onsidendo s tês seleções sul-meicns num mesmo gupo, bst escolhe out seleção p complet gupo. Dí, els podeão fic junts jogndo no Rio ou em São Pulo de 5, + 5, = = 0 mneis difeentes. Logo, o númeo de mneis desss seleções não ficem tods junts seá: 70-0 = 60 Sendo que os homens comem + 0 = pizzs e s mulhees, 6 + = 0 pizzs D 9m b F b D m J H 0º 60º I 08º F Obsevndo que + b = 90, temos que os tiângulos e FD. São semelhntes. Dí: 9 = = 6 = 6 m Logo, fente totl mede = = 9 m G Temos: I) No heágono egul DI: i = ( n ) 80 ( 6 ) 80 = = 0 n 6 II) No pentágono egul FGHI: i = ( n ) 80 ( 5 ) 80 = = 08 n Temos s seguintes quntiddes de mneis de se escolhe s dus questões com gbito: : 0, = 0! 8! = 5 :! 8! 8, = = 8 6!! 6!! : 6, = = 5 D:!!, = = 6!! :, =

3 09. ssim, pelo pincípio fundmentl d contgem, temos: = 00 mneis difeentes de distibui s ltentivs coets ( 00 folhs esposts difeentes) odelo mtemático O O R 60º 0º R 60º I) co = (0 ) = 60 II) O tiângulo O é equiláteo. Dí, = R 0. De codo com tbel, o númeo n de cdenos é tl que: n = X + n + = (X + ) n = 0Y + 9 n + = 0(Y + ) n = 8Z + 7 n + = 8(Z + ) omo X, Y e Z são númeos inteios positivos, (n +) é múltiplo comum de: = = = 5 0 ssim, 07/set/05 ciá, n semn, 6 dis pós segund-fei, ou sej, ciá num domingo.. I) N infânci, temos mss m e áe copol I, tis que: l = k m II) N mioidde, temos mss (8m) e áe copol, tis que: =k (8m) =k ( m) =k () m =k m = (k m) = Logo, áe ficá multiplicd po.. N notção científic, o pimeio fto deve se mio ou igul e meno que 0. Dí, devemos te: 0, kg = 67, kg =. =, kg omo kg = 0 g, obtemos:, kg =, g =,67 0 g I 0 7 omo mmc(, 0, 8) = 5 = 80, devemos te (n + ) igul 80 ou igul um múltiplo de 80, ou sej: n + = k 80, onde k é inteio 58º 58º 56º 56º Obseve que: n < 00 n + < 0 k 80 < 0 k < 6,6 Logo, o mio vlo possível p k é 6. Dí, o mio vlo p n seá tl que: n + = 6 80 n = 080 = 079, cuj som dos lgismos é igul : = 7 = = c //b//c b. Sendo o di 07/set/05 (segund-fei) o di zeo, qundo se pss um quntidde de dis múltipl de 7, teemos novmente o mesmo di d semn do di zeo (segund- fei). Seg Te Qu Qui Se Sb Dom omo pti de 07/set/05 té 07/set/05 ião se pss = 65 dis dividindo-se ess quntidde de dis po 7, obtemos quociente 5 e esto 6, ou sej: 65 = ZRO 5. Sendo o compimento do Rio mzons, de codo com o enuncido, devemos te: 7mm nm = m Obsevndo go que: nm = bilionésimo de meto = 0 9 m 7 mm = 7 0 m, obtemos: 9 70 m 0 m 9 =. 0 = 70 m m 70 = m= Logo, = m ( 9) m

4 6. Os piels são os quddinhos e o totl de quddinhos que cbem n tel etngul é áe do etângulo. Dí, devemos te: Áe d tel etngul = ( + 00) = = 0 ssim, temos: = = = 96 0 = 00 ± 00 X = 800 (não convém) ou = 600 Logo, s dimensões d tel são = 600 piels e + 00 = 800 piels. 7. P cet os espectivos elógios com ho cet, de codo com os pensmentos ds espectivs dons: I) mnd dintá o seu elógio em 5 minutos, ficndo, n elidde = 5 minutos dintdos. II) etiz tsá o seu elógio em 5 minutos, ficndo, n elidde = 5 minutos tsdos. III) mil dintá o seu elógio em 5 minutos, ficndo, n elidde = 0 minutos dintdos. Potnto, odem de chegd seá: mnd (5 minutos ntes ds 5 h); mil (0 minutos ntes ds 5 h) e etiz (5 minutos pós s 5 h). 8. m um tiângulo isósceles, os ângulos d bse são iguis e em um tiângulo qulque, um ângulo eteno é igul à som dos intenos não djcentes. Dí, sendo  =, temos: D I) No tiângulo isósceles D: D ˆ = + (ângulo eteno do D) D ˆ = D ˆ = ( D é isósceles) 9. Sendo eis o vlo que pesso dá mis p fcilit o toco, esse toco deveá se: Toco = (00 + ) - (vlo d comp) Toco = Toco = + omo o ci só tem nots de 0 eis, o toco deveá se 0 ou 0 ou 0 ou... (múltiplo de 0). ssim, o meno vlo possível seá: + = 0 = (não convém) ou + = 0 = (não convém) ou + = 0 = 7 Logo, o meno vlo que o cliente deveá epss o ci é = 07 eis. 0. P = 5 8 ( ) 6 P = 5 8 P = (5 8 8 ) 6 P = Logo, P = (0 dígitos). 8 zeos. Sendo medid do io, devemos te: m m II) No tiângulo : ˆ = + (ângulo eteno do ) ˆ = ˆ = ( é isósceles) (digonl do quddo de ldo ) + = Digonl do quddo de ldo m.( ) + = III) No tiângulo isósceles : ˆ = ˆ = e + + = 80 = 80 7,8 + = 5,6 6,8 = 5,6 0,8 m = 8 cm. Sendo Repete se = 0, um dízim peiódic, ª semn ª semn ª semn ª semn s senhs de Dniel ião se epeti de tês em tês semns; e sendo π =, um númeo icionl (pesent infinits css decimis, sem epetição peiódic), s senhs de Rfel não se epetião peiodicmente.

5 . 0 cm 0 cm 0 cm 0 cm 7. Do gáfico, temos que (0) = 6 e (50) =. Dente s funções pesentds ns ltentivs, únic que stisfz esss t 0 condições é t ()= 75 (Item ). Vej: ( 0) 75 = = = e ( 50) = = =. Respost coet: Item 0 cm (odelo mtemático dos pneus) Sendo =, usndo o teoem de Pitágos, temos: = = 6900 = 0 cm Respost coet: Item. posição do máio de númeo 0, po eemplo, é lted pens pels pessos cujos númeos são divisoes de 0: (be), (fech), 5 (be) e 0 (fech). Obseve que, tendo 0 um quntidde p de divisoes positivos, o máio de númeo 0 teminá fechdo. P um máio temin beto, ele deveá te um númeo ímp de divisoes positivos, ou sej, deveá se um quddo pefeito. Somente que têm um quntidde ímp de divisoes positivos são os quddos pefeitos. Vej: 50 = 5 Nº de divisoes positivo = ( + ) ( + ) = p 6 = Nº de divisoes positivo = ( + ) ( + ) = ímp Obseve que um quddo pefeito pesent, qundo ftodo em ftoes pimos distintos, pens epoentes pes e, com isso, pel eg dos epoentes, teemos: Nº de divisoes positivos = (epoente + ) (epoente + )... (epoente + ) = (ímp).(ímp)..... (ímp) = ímp Logo, ficão betos os máios cujos númeos são quddos pefeitos. São eles: = ; = ; = 9; = 6; 5 = 5; 6 = 6; 7 = 9; 8 = 6; 9 = 8 e 0 = 00 Potnto, 0 máios ficão com s pots bets. 5. É fácil ve que os númeos do último qudo são: ( 0 - ), 0 e ( 0 +). ssim, o poduto pocudo é: ( 0 ) ( 0 +) = ( 0 ) = Sendo d distânci ente dois pontos destcdos consecutivos, temos: Y = X+ 0d = + d 6 0 9= + 60d 8 d = = ssim, obtemos: D= X+ d D = D = D = = 0 0. ei m 0 m Rio m m Teoem de Tles: + = + 0 = 0 = 8 metos s T 56 m 0. onsidee o digm seguinte eltivo à situção-poblem. U 6. omo 8 = 9 9 +, seão utilizdos 9 vis, cd vl de 9 lençóis e mis vl com lençóis. Sendo n o númeo de pegdoes utilizdos qundo se tem n lençóis em um vl, temos P de zão : (, 7, 0,..., n,...) 6% % % % % % % T Potnto, seão = 6 pegdoes. Dí, obtemos: 9 = + (9 ) = 8 e = + ( ) = 0 O totl de dultos pesquisdos coesponde 00%. ssim, devemos te: % + % + % + % + = 00% = 8%

6 Potnto, 8% dos dultos pesquisdos não usm nenhum ds tocs mencionds, ou sej: 8 % = =.. Se queemos mio pontução, devemos evit gupo com tês fichs de coes difeentes, pois su pontução é etemmente bi. Sendo, b, m, v e p fichs mel, bnc, mom, vede e pet, espectivmente, podemos te: vvv; ; bbv; vm = (não é mio pontução). Um possível distibuição com pontução máim (sem pontução mínim ): vvv; v; p; bbm = 6 nhã n( T) = n() + n(t) - n( T) 0 = n( T) n( T) = 5 Tde ssim, de um totl de 0 pessos, 5 tblhm os dois tunos. Dí: Pobbilidde = = = = 5% De codo com o enuncido, temos: I) Despes totl igul R$ 67,00: 5 + 5y + = 67 + y = y = II) 89 uniddes de futs: 6 + y + = y = Substituindo (I) em (II): 6 + ( ) = = 6 Potnto, fom compds 6 6 = 6 mçãs.. omo cd petbyte equivle 0 gigbytes, então petbytes equivlem 0. P deteminmos númeo (n) de DVDs devemos efetu divisão 0, vej n = 0 = 0 = omo 9 = 8 e 0 = 8, então 8 9 = 8 < 8 < 8 = 0 9 < n < Sendo o númeo de belhs no enme, devemos te: = = = 5 = 5 = 5 Logo, há 5 belhs no enme. 6. et D é pependicul o plno (F). ssim, et D fom 90 com qulque et desse plno, inclusive com et F. 7. Sendo o númeo de senhoes que pgm ingesso, o númeo de senhos seá (560 - ). Dí, devemos te: ecdção = + (560 - ) 0 = = 670 = 670 = 5 (nº de senhoes) ssim, = 5 (nº de senhos). Logo, 5-5 = 0 senhoes mis que senhos. 8. omo s velociddes dos nvios são constntes, se com mei ho eles pecoem y e quilômetos, com um ho eles ndão o dobo, y e quilômetos. omo os tiângulos são semelhntes, temos: =.(5 km) = 0 km. 9. y I) 8 = y = 8 05, = 9 km 05, II) + 9 = 5 = km ssim, o nvio pecoe, em um ho, = km. Logo, su velocidde é de km/h. 0. cinç gnhou dois picolés de cd sbo, que podem se epesentds po:,,,,, Qulque pemutção desses seis elementos com epetição de,, e, é um mnei difeente de consumi os seis picolés. Logo, o númeo totl de modos distintos de consumi os picolés seá: (,, ) 6! P 6 = = 90.!!! 5

7 . Sendo o númeo de vétices com ests, temos: I) = = 6 + II) V = + + V = 6 + III) V + F = + V + F = = = = Logo, = 6 +.() = + 8 = 7. O volume d ci é ddo po V = ( 8 ) ( 0 ) V = ( ) V = Respost coet: Item 8. Sendo, y e z s medids do compimento, lgu e ltu, o volume inicil é V =.y.z. P dob esse volume, ou sej, p obte v = yz, bst dob um ds dimensões. Vej: V = () yz = (y) z = y (z) 9. onsidee o gáfico seguinte eltivo à situção-poblem, no qul é ponto de lnçmento.. Temos um função d fom Q(t) = t + b, n qul temos: I) P t = 0 (no 00): Q(0) = 9 (0) + b = 9 b = 9 II) P t = 0 ( no 00): Q(0) = = = Logo, Qt () = t + 9. y 00. Sendo f() e g() os volumes em litos nos esevtóios e, espectivmente, pós hos, temos: f() = 70 0 g() = 60 + = 0 ocoeá qundo: f() = g() 70 0 = = = 0. Logo, 0 = 0 hos. O tetedo é o poliedo de quto fces, quele que, n tbel, está ssocido o fogo. Respost coet: Item 5. O octedo egul (oito fces) está ssocido o. le pesent, em tono de um mesmo vétice, fces em fom de tingulo equiláteo (vej figu dd). Dí, som pocud seá: Som = (60 ) = 0 6. O cubo tem 6 fces e 8 vétices. ssim, de codo com o teto, o seu conjugdo (ou dul) deveá te 6 vétices e 8 fces (octedo) Queemos clcul ltu f( 0). P isso, sbemos que f() = ( ) ( ), em que = 0 e = 0 são s ízes, ou sej f() = ( + 0 ) ( 0). Dí, temos: I) O gáfico pss no ponto (0, 00): f(0) = 00 (0 + 0) (0 0) = = 00 = / II) f() = / ( + 0) ( - 0) f(0) = / (0) ( 0) f(0) = 50 metos 50. bse é um heágono egul de m de ldo e ltu mede 0 m. ssim, temos: Áe d bse = 6 = m Volume = 0 = 0 m 5. onsidee figu seguinte eltiv o poblem, em que = 80 m e = 60 m. P D Octedo Respost coet: Item F 6

8 5. Sendo D = y e F =, d semelhnç dos tiângulos e D, obtemos: D D 80 y = 80 = 80 y = y = Logo, áe do teeno destindo à constução d cs seá: ( ) = F D ( ) = 80 ( ) = + 80 Potnto, áe máim ocoeá qundo fo bsciss do vétice, ou sej: b = = 80 = 0. Dí, áe máim seá: ( ) ( 0) m = + = + = I) O gáfico de pss nos pontos (0, 00), (z, 75) e ( t, 0): oeficiente ngul = = 0 z 0 t t = z II) O gáfico de pss pelos pontos (0, 90), (z, 75) e (t +, 0): oeficiente ngul = = t 6z 0 z 0 t+ ( ) = ssim, temos: 6z = z z = e t = () = hos. 5. Rol (,, 5, 5, 6, 0, 0, 0) édi itmétic: = = 8, od: 5 e 0 (espço bimodl) edin: = 5, 5 Respost coet: Item 55. compnhe figu bio. 50 m 0 m 0,5 m 0 m 0, m 0 m Podemos estbelece, tvés d semelhnç ente os tiângulos, seguinte popoção: 50 cm 0 cm = h= 6 m 0 m h H h 5. I) Veddei. fequênci cdíc, em segundos, é o inveso do peíodo: = =, (btimentos po segundos) π 8π Logo, em minuto (60 segundos), temos 60 (/) = 80 btimentos po minuto. II) Veddei. Vej: 8π P( ) = 00 0 cos = 6 = 00 0 cos π = = 00 0 cos + π = 00 0 = = 0mmHg. π = III) Fls. mplitude d função é de 0 mmhg. 56. De codo com o teto leitu: do mês nteio foi: 876 kwh do mês tul: 5 kwh ssim, o consumo do mês foi: = 78 kwh 57. omo o cone e o cilindo têm mesm cpcidde, o volume d pte vzi do cone (V ) coesponde o volume d pte chei do cilindo; e o volume d pte chei do cone (V ) coesponde o volume d pte vzi do cilindo. Usndo semelhnç do cone mio (funil todo) com o cone meno (pte do funil ind com óleo), devemos te: V + V V H = H V V V + = ( ) 8V = V+ V V = 7V ssim, pte chei do cilindo (V ) seá 7 vezes su pte vzi (V ). Vej como fic no cilindo: Pte vzi: V Pte chei: V Respost coet: Item 7

9 58. Devemos te po bse s ts de povção de cd fiscl, isto desct os itens e D. Pobbilidde de povção com : 50% Pobbilidde de povção com : 5% ( tenttiv) + 50% de 50% ( tenttiv com como fiscl definitivo) = 5% + 5% =70% Pobbilidde de povção com : 60% ( tenttiv) + 50% de 0% ( tenttiv com como fiscl definitivo) = 60% + 5% = 65% 59. Totl de esultdos possíveis p 0 lnçmentos: 0... = = 0 Númeo de csos fvoáveis: 0 vezes 8 cs e coos: 9 cs e coo: ou 0 cs: 0,0 = 0! 8 0 = = 9 = 5!! 0, 8, 0! = 9!! = 0 0, 9, ssim, temos = 56 csos fvoáveis, num totl de 0 csos possíveis. Logo, pobbilidde pedid seá: pobbilidde = 56 7 = Sejm u, c e I os custos espectivos dos psseios de ultleve, cvlo e lnch. ssim, podemos esceve o sistem: I u+ c+ = 58 { II u+ c+ 5 = 5 Queemos detemin o vlo de: u + c + 5 Se fizemos 5 I II, teemos: 5I 5u+ 0c+ 0 = 790 { II u 9c 5 = 675 u+ c+ 5 = 5 8