Geometria Espacial 01 Prof. Valdir
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- Davi di Azevedo Domingues
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1 Geometi Espcil 01 Pof. ldi I. PLIES 1. EFINIÇÃ São sólidos eométicos com fces plns e polionis.. elção de Eule + F + : númeo de vétices F: númeo de fces : númeo de ests Eemplo: N fiu seui, obseve elção: 10 F 7 15 ssim: Númeo de fces e de ests po fce F n n: númeo de ests po fce F: númeo de fces : númeo de ests Eemplo: fiu o ldo ubo: 6 fces qudds F 6 n 4 ests po fce F n ests Genelizndo, teemos: F 1 n 1 +F n +F n L F 1, F, F,... númeo de fces de cd tipo n 1, n, n,... númeo de ests po fce : númeo de ests Eemplo: Sej o poliedo que possui: 5 fces qudnules fces pentonis F: númeo de fces : númeo de ests Eemplo: fiu o ldo ubo: 8 vétices tiédicos F 8 n ests po vétice ssim: m 8 1 ests. Genelizndo, teemos: 1,,,... númeo de vétices de cd tipo m 1, m, m,... númeo de vétice po fce : númeo de ests Eemplo: Sej o poliedo que possui: 1 vétice pentédico 5 vétices tetédicos 5 vétices tiédicos ssim ests 4. Som dos ânulos intenos ds fces S ( ).60 : númeo de vétices do poliedo S: Som dos ânulos intenos de tods s fces Eemplo: lcule som dos ânulos ds fces do poliedo d fiu. esolução: 1 m 1+ m + m L S ( ).60 (10 ) ssim: ests. Númeo de vétices e de ests po vétice m m: númeo de ests po vétice 1
2 5. Poliedos de Pltão São poliedos que stisfzem s dus condições seui: 1) Fces do mesmo tipo ) étices do mesmo tipo bs.: Poliedos eules São poliedos de Pltão cujs fces são políonos eules. São cinco os tipos de Poliedos de Pltão: T Tetedo - 4 fces tinules H Heedo - 6 fces qudnules ctedo - 8 fces tinules odecedo - 1 fces pentonis I Icosedo - 0 fces tinules 1º) Tetedo de Pltão 4 fces tinules º) Heedo de Pltão 6 fces qudnules 6. bol de futebol ) ctedo de Pltão 8 fces tinules 4º) odecedo de Pltão 1 fces pentonis bol de futebol é obtid pti d secção de piâmides pentonis nos vétices de um icosedo eul. omo o icosedo possui 1 vétices, então, pós seccion um piâmide em cd vétice, teemos 1 fces pentonis. bsevndo que cd fce tinul do icosedo se tonou um eáono pós secção, então teemos 0 fces eonis. ssim, o totl de ests d bol de futebol seá: ests ssim, o númeo de vétice seá: 5º) Icosedo de Pltão 0 fces tinules + F 60 vétices 7. álculo do númeo de dionis de um poliedo, + d fces + d poliedo, númeo de sementos lindo todos os vétices sementos que são ests d fces sementos que são dionis ds fces d poliedo sementos que são dionis do poliedo
3 Eemplo: lcule o númeo de dionis do dodecedo de Pltão: bsevções: ) Um pism é dito eto qundo sus ests lteis são pependicules o plno d bse. Neste cso, medid d ltu do pism é o compimento de um est ltel. b) Um pism é dito eul qundo fo eto e bse fo um políono eul. c) Um pism é dito oblíquo qundo s ests lteis foem oblíqus os plnos ds bses. esolução:. ÁES E LUE E U PIS ET omo o dodecedo de Pltão tem 1 fces pentonis, então: F n ests + F + 0 vétices, +d fces +d poliedo 0, d poliedo SUPEFÍIE LTEL SE ssim, o númeo de dionis do dodecedo de Pltão é iul 100. b c d e II PISS 1. ELEENTS E LSSIFIÇÃ E.1. ÁE LTEL PIS L p. emonstção: L ( + b + c +...). L p. p + b + c +... o peímeto d bse do pism : ltu do pism. ELEENTS: E E... e E bses do pism são políonos conuentes e plelos,,,...,,,... ests d bse, sendo,,...,,,... ests lteis, sendo...,,... fces lteis são tods com fom de um plelomo. ltu é distânci ente os plnos que contêm s bses do pim. LSSIFIÇÃ: s pisms são desindos de codo com o númeo de ldos dos políonos ds bses. Eemplo: bse tinul pism tinul bse qudnul pism qudnul bse pentonl pism pentonl... ÁE SE cálculo d áe d bse depende de cd políono. ssunto é visto em Geometi Pln no cpítulo de áes. seui, femos um pequen ecodção ds áes dos pincipis políonos eules. : pótem do políono é o semento de et que li o cento do políono o ponto médio do ldo.(bs.: o pótem é pependicul o ldo). : medid do ldo do políono. tiânulo eqüiláteo:. 6, ÁE 4
4 quddo:, ÁE..1. ionl d fce: eáono eul:., ÁE 6. 4 d.... ionl do cubo:.. LUE PIS volume do pism é ddo pelo poduto d áe d bse pel ltu do pism. (SE)..... Áe totl do cubo: (totl) olume do cubo:. PISS ESPEIIS.1. PLELEPÍPE ETÂNGUL plelepípedo etânulo é o pism que tem seis fces etnules plels e conuentes dus dus. c c III. PIÂIE 1. EFINIÇÃ E ELEENTS piâmide é o poliedo que tem um bse polionl e s outs fces são tinules sendo que tods têm um ponto comum cmdo vétice d piâmide. b, b, c: dimensões do plelepípedo d: dionl de um ds fces : dionl do plelepípedo d b.1.1. álculo de d: d² ² + b².1.. álculo de : ² ² + b² + c².1.. álculo d áe totl do plelepípedo (totl).(.b + b.c +.c) Um piâmide é dit eul qundo su bse é um políono eul e pojeção otoonl do vétice n bse coincide com o cento dest. Num piâmide eul s fces lteis são tiânulos isósceles conuentes ente si. s fius bio epesentm um piâmide qudnul eul e out eonl eul..1.4 álculo do volume do plelepípedo.b.c.. U cubo é um plelepípedo etânulo que possui tods s seis fces qudds. Neste cso s dimensões seão iuis b c. d luns elementos:,,,... ests d bse;,,,... ests lteis; ltu d piâmide; pótem d bse d piâmide; pótem d piâmide. F E 4
5 bseve que no, temos: +. ÁES e LUE.1. ÁE SE cálculo d áe d bse depende de cd políono. ssunto é visto em Geometi Pln no cpítulo de áes. seui, femos um pequen ecodção ds áes dos pincipis políonos eules. : pótem do políono é o semento de et que li o cento do políono o ponto médio do ldo.(bs.: o pótem é pependicul o ldo). : medid do ldo do políono. ) Tiânulo equiláteo:. pótem: 6 ÁE 4 b) Quddo: pótem: ÁE c) Heáono eul:. pótem: ÁE ÁE LTEL PIÂIE EGUL Sendo s fces lteis tiânulo isósceles de bse e ltu iul, onde é est d bse e o pótem d piâmide (ltu d fce ltel), teemos: n.. LTEL n númeo de fces lteis, medid d est d bse; ltu d fce ltel... ÁE TTL PIÂIE.4. LUE PIÂIE TTL SE + LTEL. TETE EGUL osideemos um tetedo eul de est. Sendo o cento d bse () e tmbém o seu bicento, teemos: álculo d ltu em função d est : álculo do volume do tetdo em função d est : 6 SE Áe totl d supefície do tetedo em função d est : TTL 4.FE t 4. 4 Eecícios esolvidos: 01. olocndo-se em plnos pependicules os tiânulos de ctolin e e, depois, cescentndo-se outs fces, constuímos um piâmide de bse tinul confome se vê n fiu seui. lcule o volume dess piâmide. esolução: onsidendo o tiânulo (etânulo) bse d piâmide, e ltu, pois é pependiculo o plno d bse, teemos: SE. espost: 6 cm cm. 0. No cubo EFGH, o ponto médio d est. Sbe-se que o volume d piâmide F é iul 18 cm. lcule áe totl do cubo. cm cm cm 4 cm SE. 5
6 esolução: Fzendo est do cubo iul, teemos: /, F e. onsidendo o tiânulo etânulo F bse d piâmide F, e ltu, teemos: SE ssim, áe totl do cubo seá: 6 cm TTL 6. TTL 6.6 TTL 16 cm espost: 16 cm 0. Em um indústi de vels, pfin é mzend em cis cúbics, cujo ldo mede. epois de deetid, pfin é demd em moldes em fomto de piâmides de bse qudd, cuj ltu e cuj est d bse medem, cd um, /. onsidendo-se esss infomções, clcule o númeo totl de moldes que podem se encido com pfin mzend. olume d piâmide oiinl: SE. 1.4 olume 1 d piâmide meno (cote): 1 H m cm volume do tonco seá: TN 1 TN 666cm. espost: 666 cm. TN esolução: álculo do volume de um vel: I. ILIN IUL ET / 1. EFINIÇÃ É o sólido eomético que possui dus bses cicules plels e conuentes. lin que li os centos ds bses (eio do cilindo) é pependicul os plnos que s contém. / SE... EL EL EL 4 omo est do cubo mede, seu volume seá: io d bse ltu do pism U ssim, pfin mzend no cubo peeceá 4 moldes p confecção ds vels. espost: 04. onsidee um piâmide eul, de ltu 4 m e bse qudd de ldo 1 m. Seccionndo ess piâmide po um plno plelo à bse, à distânci de 6 m dest, obtém-se um tonco de piâmide. lcule o volume do tonco.. ÁES E LUE.1. ÁE SE (SE) π.². ÁE LTEL (LTEL).π.. esolução: LUE (SE)
7 . SEÇÕES.1. ILIN EQUILÁTE são cilindos cuj seção meidin é um quddo, ou sej,.. SEÇÃ EIIN cento d bse do cone; io d bse; ltu do cone; etiz do cone. bseve que no, temos: +. ÁE SE NE.. TN E ILIN É o sólido obtido tvés d secção de um cilindo po um plno inclindo em elção o seu eio. SE π. m m ltu médi + H m. ÁE LTEL NE IUL ET plnificção d supefície ltel do cone cicul eto esult em um seto cicul, como most fiu bio...1. ÁE LTEL TN α (LTEL).π.. m... LUE TN SUPEFÍIE LTEL (TN) π.². m π fiu, podemos te:. NE IUL ET 1. EFINIÇÃ E ELEENTS cone cicul eto (ou de evolução) tem bse cicul (somente um bse) e o eio (lin et que pss pelo vétice e pelo cento d bse) é pependicul o plno d bse..π. α. áe ltel seá: LTEL.π.. 4. ÁE TTL NE π α LTEL π.. TTL SE + LTEL 5. LUE NE SE. Elementos: 7
8 6. SEÇÃ EIIN. LUE TN bsevndo popocionlidde ds dus fius, teemos: bs.: Se secção meidin fo um tiânulo equiláteo ( ), então o cone é denomindo NE EQUILÁTE. 1 H b H 1 b H 1 1 P detemin o volume do tonco, bst eti d piâmide mio o volume d piâmide meno. u sej: TN PIÂIE I PIÂIE EN Tblndo idéi cim e s popoções nteiomente mencionds, teemos: TN ( + b+. b) Áe d secção meidin: SEÇÃ. P o tonco de cone: I. TN E PIÂIE E E NE π. b 1 SUPEFÍIE LTEL TN E NE 1 H.π. b π.² e π.² P detemin áe d supefície ltel do tonco de cone, bst obsev que mesm é um seto de coo. Neste cso, teemos: b.π. +.π. LTEL.. Simplificndo, teemos: 1. ELEENTS LTEL π..(+) H ltu d piâmide(cone) mio; 1 ltu d piâmide(cone) meno; ltu do tonco de piâmide (tonco de cone); est d bse d piâmide meno; b est d bse d piâmide mio; io d bse do cone meno; io d bse do cone mio; b áe d bse meno; áe d bse mio; 1 volume d piâmide (cone) meno; volume d piâmide (cone) mio; volume do tonco de piâmide (tonco de cone). 8
9 I. ESFE ut fiu: 1. EFINIÇÃ É o lu eomético do espço fomdo po pontos cuj distânci um ponto fio (cento) é meno ou iul um constnte (io d esfe). 4. ÁE SUPEFÍIE ESFE. SEÇÃ PLN onsideemos um esfe oc de io inteno e io eteno +, onde é espessu d csc. d + S d + bs.: secção et de áe máim é feit pssndo pelo cento d esfe e tem io, pois d 0. 4.π.(+) 4.π.() csc -. LUE ESFE onsidendo que o volume d csc sej S., teemos: S. 4..π.( ³ +.². +..² + ³ ³) S. 4..π.(.². +..² + ³) S 4..π.(.² ²) d omo 0, então: d -d S 4.π.² 5. UNH ESFÉI Áe π.² omo ² d² + ², teemos: Áe π.( d ) (I) Áe π. π.d Áe π.( d ) (II) (I) (II) θ Pelo pincípio de vlièe, sendo (I) (II), o volume d esfe é iul o volume d eião limitd pelo cilindo e cvidde bicônic. Neste cso, o volume d esfe seá: ESFE ILIN I-NE ESFE π....π../ ESFE 4. π. FUS 4.π.².θ/60 4.π θ un 60 FUS ESFÉI 9
10 I. INSIÇÃ E IUNSIÇÃ 1. ESFE INSIT N U est do cubo () tem compimento iul o dobo do compimento do io () d esfe... U INSIT N ESFE dionl do cubo () é iul o diâmeto () d esfe. omo F e E são ltus, então F e E. ânulo ˆ é comum os tiânulos E e F, F E E F.. 6 bsev-se que.. est fom, F E. No F, etânulo, teemos: F. e que E F / () (F) + (F) F.. omo o tiânulo E é semelnte o tiânulo F, teemos: F F E E. F.. 6 F. 4.. í, teemos que F F 4. esfe inscit no tetedo tem cento em e tnenci s fces e nos pontos E e F espectivmente. ssim, podemos conclui que o io d esfe inscit no tetedo tem F F 4 omo esfe cicuscit no tetedo tem cento em e su supefície pss pelos pontos,, e, teemos que seu io é.f 4. est fom, zão ente os ios ds esfes cicunscit e inscit no tetedo eul é ESFE INSIT N NE IUL ET. Sejm: io d bse do cone io d esfe etiz do cone ltu do cone -. ESFE INSIT E IUNSIT N TETE EGUL N fiu seui, o tetedo eul tem est. s sementos de et F e E são ltus do tetedo em elção às bses e, espectivmente. bsev-se que esfe inscit tnenci bse cicul do cone no cento e etiz no ponto. Então, e. omo o ânulo ˆ é comum os tiânulo e, então. est fom: -.(-) E F 10
11 05. NE IUL ET INSIT N ESFE Sejm: io d bse do cone io d esfe etiz do cone ltu do cone - bs.: esfe cicunscit no octedo eul tem cento no ponto e io. ess fom, o io d esfe cicunscit seá:. N esfe cicunscit no cone obsev-se que o vétice e cicunfeênci d bse do cone estão n supefície d esfe. No, etânulo, temos: () () + (0) + (-) 06. ESFE INSIT N TE EGUL Sejm: io d esfe E est do octedo E io d esfe cicunscit E N G F esfe inscit no octedo eul tnenci os centos de sus fces, no cso d fce E, o pontos G. ess fom, esfe tnenci os ldos do losno EFN cujos ldos E F FN E. e s dionis do losno medem EF. e N. o tiânulo etânulo E, ltu G é iul o io d esfe G. Então: EN.G E
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59 5(6,67Ç&,$(&$3$&,7Æ&,$ ÃÃ5(6,67Ç&,$Ã(Ã/(,Ã'(Ã+0 No pítulo 6 efinimos ução J σ omo seno um ensie e oente e onução. Multiplino mos os los po um áe S, el fiá: J.S σs (A (8. σs (A (8. Se o mpo elétio fo
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