f(x) = Alternativa E f(-1) g(-2) = 6

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1 Pincipis notções Z - o conjunto de todos os númeos inteios R - o conjunto de todos os númeos eis C - o conjunto de todos os númeos compleos [, b] = { R: b} ] -, b] = { R: b} [, b[ = { R: < b} ] -, b[ = { R: < b} ], b] = { R: < b} [, + [ = { R: } ], b[ = { R: < < b} ], + [ = { R: < } (, b) - p odendo g o f - função compost de g e f A - = mti inves d mti A A t - mti tnspost d mti A (ITA - 999) Sejm E, F, G e H subconjuntos não vios de R Considee s fimções: I - Se (E G) (F H), então E F e G H II - Se (E G) (F H), então (E G) (F H) = F H III - Se (E G) (F H) = F H, então (E G) (F H) (A) Apens fimção (I) é veddei Apens fimção (II) é veddei Apens s fimções (II) e (III) são veddeis Apens s fimções (I) e (II) são veddeis Tods s fimções são veddeis Altentiv E I Veddei Suponh (E G) (F H) Como E e G não são vios, ddo E, eiste pelo menos um G, tl que (;) E G Assim, (;) F H, isto é, F Potnto, p todo E F, sej, E F Anlogmente G H P s fimções II e III, lembemos que, p quisque conjuntos A e B, A B A B = B II Veddei Tomndo A = E G e B = F H temos que se E G F H, então (E G) (F H) = F H III Veddei Tomndo, novmente, A = E G e B = F H, temos que se (E G) (F H) = F H, então E G F H (ITA - 999) Listndo-se em odem cescente todos os númeos de cinco lgismos distintos fomdos com os elementos do conjunto {,,,, 7}, o númeo 7 ocup o n-ésimo lug Então n é igul : (A) Altentiv D Temos! númeos com cinco lgismos distintos que começm com, ;! númeos que começm com e! númeos que começm com Assim, o totl de númeos de cinco lgismos distintos, fomdos com os elementos do conjunto (;;;;7), menoes iguis 7 é! +! +! + = (ITA - 999) Sejm f, g: R f() = e g() = R funções definids po Considee s fimções: I - Os gáfi de f e g não se inteceptm II- As funções f e g são cescentes III- f(-) g(-) = f(-) g(-) (A) Apens fimção (I) é fls Apens fimção (III) é fls Apens s fimções (I) e (II) são flss Apens s fimções (II) e (III) são flss Tods s fimções são flss Altentiv E I Fls, pois p =, temos f() = e g() =, isto é, o ponto (,) é o ponto de intesecção dos gáfi de f e g II Fls, pois como, função eponencil g() = é estitmente decescente III Fls, pois f (-) g (-) = f(-) g(-) = (ITA - 999) Sej R com > O conjunto de tods s soluções eis d inequção ( - ) > -, é: (A) ]-, [ ], + [ ]-½, [ ]-, [ vio Altentiv C Como R e > (-) > - ( ) > > e

2 Potnto V = ; (ITA - 999) Sej S o conjunto de tods s soluções eis d equção log ( + ) = log ( - ) (A) S é um conjunto unitáio e S ], + [ S é um conjunto unitáio e S ], [ S possui dois elementos distintos e S ]-, [ S possui dois elementos distintos e S ],+ [ S é o conjunto vio Altentiv B Temos log ( + ) = log ( ) - log ( + ) = log ( ) log ( + ) - = log ( ) Assim, S = é um conjunto unitáio e S ],[ (ITA - 999) Sejm f, g, h: R R funções tis que função compost h o g o f: R R é função identidde Considee s fimções: I - A função h é sobejeto II- Se R é tl que f( ) =, então f() p todo R com III- A equção h() = tem solução em R (A) Apens fimção (I) é veddei Apens fimção (II) é veddei Apens fimção (III) é veddei Tods s fimções são veddeis Tods s fimções são flss Altentiv D Temos que h o g o f() =, p todo R Assim: I É veddei Ddo qulque R, eiste = gof() R tl que h() = h(gof()) = h o g o f() = e, potnto, h é sobejeto II É veddei Sej R tl que f() = Então f() = f( ) hog(f()) = hog(f( )) h o g o f() = h o g o f( ) = Potnto f() p todo R com III É veddei Como foi demonstdo nteiomente h é sobejeto, logo equção h() = tem solução em R 7(ITA - 999) Considee s mties - A, I, X - e B Se e são soluções do sistem (AA -I)X = B, então + é igul : (A) - Altentiv D Temos AA t I = Assim, (AA t I)X = B Logo solução d equção mticil é X = + = - + = - e (ITA - 999) Sejm, e númeos eis com Considee mti invesível A (A) A som dos temos d pimei linh de A - é igul + A som dos temos d pimei linh de A - é igul A som dos temos d pimei colun de A - é igul O poduto dos temos d segund linh de A - é igul O poduto dos temos d tecei colun de A - é igul Altentiv C Temos que cof (A) det (A) - dj(a) Assim, como A dj(a) det(a) ( ) Potnto som dos temos d pimei colun de A - é e

3 9(ITA - 999) Se [, /[ é tl que tg = +, então o vlo de + (A) ½ Altentiv B Temos tg = = + ( ) = - ( ) ( + ) = - = - = P, temos Assim, Logo + = + () = + = (ITA - 999) O conjunto de todos os númeos eis q >, p os quis, e, fomm, nest odem, um pogessão geométic de ão q e epetm s medids dos ldos de um tiângulo, é: (A) ], [ ], ] ], ] ], [ ], + [ Altentiv A Um ve que os temos d PG epetm s medids dos ldos de um tiângulo, eles devem se positivos Potnto, como q >, < < < Logo são s medids dos ldos de um tiângulo se, e somente se, < + q < + + q q q < q q (ITA - 999) Sejm k e b k númeos eis com k =,,, Os númeos compleos k = k + ib k são tis que k = e b k, p todo k =,,, Se (,,, ) é um pogessão itmétic de ão -/ e som 9, então é igul : (A) i i + i 7 7 i i Altentiv B A som dos temos d pogessão itmétic é: 9 9 e, potnto, Como = e = + ib, com b b i b b Logo (ITA - 999) Considee cicunfeênci C de equção = e elipse E de equção = (A) C e E inteceptm-se em dois pontos distintos C e E inteceptm-se em quto pontos distintos C e E são tngentes eteiomente C e E são tngentes inteiomente C e E têm o mesmo cento e não se inteceptm Altentiv C A cicunfeênci C de equção = ( + ) + ( + ) = tem cento (-;) é io igul A elipse E de equção = ( ) tem cento (;-), semi-eio mio igul e semi-eio meno igul, do seu eio mio plelo o eio Como os centos têm mesm odend e som do semieio mio d elipse com o io d cicunfeênci é igul à distânci ente os centos, conclui-se que C e E são tngentes eteiomente no ponto (;-) (ITA - 999) Num cone cicul eto, ltu é médi geométic ente o io d bse e geti A ão ente ltu e o io d bse é:

4 (A) Altentiv E Sejm, g, h * R, espectivmente, o io d bse, geti e ltu do cone Temos que h = g e, pelo teoem de Pitágos, h + = g g + = g g g = g g Assim, h g g (ITA - 999) Dus cicunfeêncis C e C, mbs com m de io, são tngentes Sej C t cicunfeênci cujo io mede ( )m e que tngênci C e C A áe, m, d egião limitd e eteio às tês cicunfeêncis dds, é: (A) - - Altentiv A Sendo A, B e C os centos ds cicunfeêncis C, C e C, espectivmente, temos que AB = + = m e AC = BC = + - = m Assim, o tiângulo ABC é isósceles e etângulo em C, e áe S em questão é igul à áe do tiângulo menos som ds áes de setoes cicules cujos ângulos centis medem, e m Assim: S S ABC e cujos ios são, espectivmente, m, m e - ( ) (ITA - 999) Um poliedo conveo de vétices pet fces tingules e qudngules O númeo de fces qudngules, o númeo de fces tingules e o númeo totl de fces fomm, nest odem, um pogessão itmétic O númeo de ests é: (A) 7 Altentiv C Sejm T e Q, espectivmente, o númeo de fces tingules e o númeo de fces qudngules do poliedo Como (Q, T, Q + T) é um PA, temos Q + Q + T = T T = Q Logo o poliedo possui Q + T = Q fces Assim, o númeo de ests do poliedo é T Q (Q) Q Q Pel elção de Eule, temos: Q + Q = Q = Potnto o númeo de ests do poliedo é Q = Not: esolv s questões numeds de no cdeno de esposts N folh de leitu óptic ssinle ltentiv escolhid em cd um ds questões Ao temin pov, entegue o fiscl o cdeno de esposts e folh de leitu óptic (ITA - 999) Considee s funções f e g definids po f() = - /, p e g() =, p - O conjunto de tods s soluções d inequção (g o f) ()<g() é: (A) [, + [ ]-, -[ [-, -[ ]-, [ ]-, -[ ], + [ Altentiv E P e -, (gof)() < g() f ( ) f ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) m

5 Potnto V = ]-;-[ ]; [ 7(ITA - 999) Sej vlo de log + log + log é: (A) b b b b b b b 9b 9 7 R com > Se b = log, então o + (log ) - log Altentiv D P R, com >, e b = log, temos log + log + log +(log ) - log log log log log log ( ) log log ( log log log ( ) log log ( = b b b b b 9 (ITA - 999) Sej p() um polinômio de gu tl que p() = p( + ) - -, p todo R Se - é um i de p(), então o poduto de tods s íes de p() é: (A) - - Altentiv C Como = - é i de p(), então p(-) = p(-+) (-) p() = Logo p() = + b + c +,, b, c R,, tem-se p() = p( + ) + b + c + = (+) + b(+) + c(+) + + b + c = + ( + b ) + (+b+c) b + c b b b c c b b c c Assim, o poduto ds íes de p() é ) ) 9(ITA - 999) A equção polinomil p() = de coeficientes eis e gu é ecípoc de espécie e dmite i como i Se p() = e p(-) =, então som de tods s íes de p() é igul : (A) Altentiv C A equção dd tem coeficientes eis e dmite i como i, logo i tmbém é i Tod equção polinomil ecípoc de ª espécie de gu p dmite e como íes Sendo um ds íes estntes de p() =, então tmbém é i, pois equção é ecípoc Assim, eiste p() ( ) Po tn to p() p( ) 7 7 R*, tl que Conseqüentemente, som de tods s íes d equção é + (-) + i + (-i) + + = + + = (ITA - 999) O conjunto de todos os númeos compleos,, que stisfem à iguldde + + i = - + i é: (A) { C: g = + k, k Z} { C: g = + k, k Z} { C: = e g = + k, k Z} { C: = e g = + k, k Z}

6 { C: g = + k, k Z} Altentiv A Como e + i são vetoes no plno compleo, pel desiguldde tingul + + i - + i, com iguldde ocoendo se, e somente se, e + i têm mesm dieção e tidos contáios, sej, = - ( + i), > Assim, = i i Logo o conjunto de todos os númeos compleos, stisfem iguldde + + i = - + i é V = C : g k, k Z (ITA - 999) Sej é idêntic : cotg (A) cotg cotg cotg cotg cotg cotg cotg Altentiv A P cot R com < < A epessão g cot g cot g, que (ITA - 999) A som de todos os vloes de [, [ que tonm o sistem ( ) ( possível e indetemindo é: (A) ) Altentiv A Sej A mti incomplet do sistem Então det A = ( ( )( ) )( (det devndemonde) ) ( )( )( ) Como o sistem é homogêneo, ele é possível e indetemindo se, e somente se det A co co 7 P [, [ os vloes possíveis são,,,,,, cuj som é (ITA - 999) Pelo ponto C: (, -) são tçds dus ets que tngencim pábol = (-) + nos pontos A e B A distânci do ponto C à et detemind po A e B é: (A) Altentiv C A et que pss po C = (;-) e é plel o eio é o eio d pábol de equção = ( ) + As ets que pssm po C = (;-) e não são plels o eio têm equções d fom + = ( ), com R Então um et pssndo pelo ponto C = (;-) é tngente à pábol de equção = ( ) + se, e somente se, é únic solução do sistem ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) Assim, p que solução do sistem sej únic, devemos te = (-) = = =, temos ( ) ( ( )( ) ) Potnto distânci do ponto C = (;-) à et detemind pelos pontos A e B, de coodends ( + : ) e ( - : ) é igul à distânci de C à et de equção =, isto é, = ( )

7 (ITA - 999) Dus cicunfeêncis de ios iguis 9 m e m são tngentes etenmente num ponto C Um et tngenci ests dus cicunfeêncis nos pontos distintos A e B A áe, em m, do tiângulo ABC é: (A) Altentiv B Sejm D e E os centos ds cicunfeêncis de ios 9m e m, espectivmente Sejm E pojeção otogonl de E sobe AD e C pojeção otogonl de C sobe AB Sej F intesecção de EE' e CC ', como most figu Altentiv A O sólido fomdo é piâmide ABCD, em que os ângulos ds fces de vétice A são etos, como most figu segui: m A D m C Pelo teoem de Pitágos, AB AB AC AC AD AD m B Como A e B são pontos de tngênci, temos que AD AB e BE AB Como C é o ponto de tngênci, DE = DC + CE = 9 + = m e E D = AD AE = AD BE = 9 = m, plicndo o teoem de Pitágos no tiângulo EE D, temos: EE + E D = DE EE + + EE = m, do que se conclui que AB = EE = m Além disso, FC // E' D, logo EFC - EE D EC ED FC m e CC' FC E' D FC Potnto áe do tiângulo ABC vle 9 ABCC' 7 m 9 m (ITA - 999) Um tiedo ti-etângulo é cotdo po um plno que intecept s tês ests, fomndo um tiângulo com ldos medindo m, m, e m O volume, em m, do sólido fomdo é: (A)