5 Características geométricas da seção transversal 1
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- Sônia Aires Santarém
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1 ESTÁT DE 67 5 cteístics geométics d seção tnsvesl ento de Gvidde de um opo Bidimensionl. onsideemos um plc oizontl. Podemos dividi ess plc em n elementos pequenos. s coodends do pimeio elemento são denominds 1 e 1, s do segundo elemento e etc. s foçs eecids soe os elementos d plc seão denominds P 1, P, P n, espectivmente. Esss foçs ou pesos podem se consideds plels. Su esultnte é, po conseguinte, um únic foç n mesm dieção. intensidde P dest foç é otid pel dição ds intensiddes dos pesos elementes. Σ Fz P P1+ P Pn P otemos s coodends X e Y do ponto G onde esultnte P deve se plicd devemos stisfze condição de que os momentos ds pcels P i em elção os eios e sejm iguis o momento d esultnte P em elção os mesmos eios. ΣM P X P P P n n ΣM P Y P P P n n (5.) Se umentmos o númeo de elementos em que plc é dividid e diminuimos simultnemente o tmno de cd elemento, teemos s seguintes epessões P dp P X dp P Y dp (5.) Esss epessões definem o peso P e s coodends e do cento de gvidde G d plc. 5. entóides de Áes. No cso de um plc omogêne de espessu unifome, intensidde P do peso de um elemento d plc pode se epess como: 1 Mecânic vetoil p engeneios - Fedinnd P. Bee e E. Russell Jonston, J.; McGw-Hill, 1976
2 ESTÁT DE 67 P γ.t. Sendo: γ peso específico.(peso po unidde de volume) do mteil t espessu d plc, e áe do elemento Sustituindo P e P i n equção de momentos (5.) e dividindo po γt, escevemos ΣM X n n ΣM Y n n (5.) umentndo o númeo de elementos em que áe é dividid, otemos X.d Y.d (5.5) Esss equções definem s coodends e do cento de gvidde de um plc unifome. ponto de coodends X e Y é tmém conecido como o centóide d áe d plc integl.d é conecid como o momento estático d áe em elção o eio. nlogmente, integl.d define o momento estático de em elção o eio. Vê-se ds Eqs. (5.5) que, se o centóide de um áe está situdo soe um eio coodendo, o momento estático d áe em elção este eio é nulo. Áes simétics em elção os eios Qundo um áe possui um eio de simeti BB', o centóide d áe deve est situdo neste eio. Se possui dois eios de simeti, o centóide d áe está situdo n intesecção dos dois eios de simeti. Est popiedde nos possiilit detemin imeditmente o centóide de áes tis como cículos, elipses, quddos, etângulos, tiângulos eqüiláteos ou quisque outs figus simétics. segui são fonecidos lguns centóides de foms usuis de áes:
3 ESTÁT DE 67 Tiângulo G G / Áe ½.. / / Quto de cículo G./.π G./.π Áe π. / Semi cículo G G./.π Áe ½.π.. Quto de elipse G./.π G./.π Áe π../ Semi elipse G G./.π Áe ½.π.. Semi páol G./8 G./5 Áe../ Pólic G G./5 Áe /.. k. n Supefície qued de um ód fom gel cg n + 1 n cg. Áe n +. n + n + 1 cg cg 5. Plcs omposts. Um plc pode se dividid em etângulos, tiângulos ou outs ds foms usuis. sciss X de seu cento de gvidde G pode se detemind ds scisss dos centos de gvidde ds váis ptes, epessndo que o momento do peso de tod plc em elção o eio é igul à som dos momentos dos pesos ds váis ptes em elção o mesmo eio (Fig. 5.9). coodend Y do cento de gvidde d plc é encontd de mnei nálog, equcionndo os momentos em elção o eio.
4 ESTÁT DE 67 5 z z P ΣPi P X Y P 1 G 1 P G G FGUR 5.9. ento de gvidde de um plc compost Se plc é omogêne e de espessu unifome, o cento de gvidde coincide com o centóide G de su áe. sciss X do centóide d áe pode se então detemind, considendo que o momento estático d áe compost com espeito o eio é igul à som dos momentos estáticos ds divess áes em elção o mesmo eio (Fig. 5.1). odend Y do centóide é encontd de mnei nálog, isto é, equcionndo momentos estáticos ds áes em elção o eio. Σ i X Y 1 1 ( ) FG entóide de um áe compost M Y n 1 1 n n M X ( n) n. n (5.8) uiddo: Momentos estáticos de áes podem se positivos ou negtivos. Um áe com centóide à esqued do eio teá momento estático negtivo em elção o eio. Eemplo 1 Detemin o cento de gvidde d plc omogêne o ldo. 15 cm 5 cm 1 cm 1 cm,5 cm 17,5 cm
5 ESTÁT DE ,7 cm π, cm 15 cm 5 cm, cm Y 1, cm 11,5 cm 8, cm X 15,16 cm D equção 5.8: ( ) X n 1 1 n n ( ) Y n 1 1 n n omponente.. Retângulo Quto de cículo tiângulo , , ,5 6,7, 1,16 19,81 11,5 8, 5 718,71 656,5 88,79 11,6 1685,6 X.(88,79) 11,6 X 15,16 cm Y.(88,79) 1685,6 Y 1, cm Eemplo Detemin o centóide d áe mostd o ldo. 15 cm 15 cm seve que áe é desconecid, ms, el é o complemento d áe do quto de ciculo, que tem seu centóide e áe 15 cm conecidos. seve tmém que pel simeti X Y, ssim: π 6,65 cm 15 cm Y 7,5 cm 8,65 cm X
6 ESTÁT DE 67 7 omponente. Quddo 5, 7, Quto de ículo - 176,6 8,6-155 Σ 8, Σ. 16 D equção 5.8: ( ) X n 1 1 n n ( i) i. i X.(8,) 16 X,5 cm X N Tel nteio que fonece os centóides ds figus plns não const o tpézio. Detemine o centóide do tpézio io l l l - l 5. Deteminção do entóide po ntegção. X. d -Y. d (5.5) Eemplo 1 d P áe o ldo detemin o momento estático e s coodends do cento de gvidde. d Momento estático: M d d. d.. M ( d) d
7 ESTÁT DE 67 8 M d d. d.. M ( d) d ento de gvidde X M. e Y M. u Eemplo P áe o ldo detemin coodend Y do G. d Y M / u u ( ) ( ) M d d u. d e u d d ( ) M. d d ( ) d. M Y M. 6. Eemplo Detemin po integção diet o centóide d figu o ldo k. ondições de contono: k.. e. 1/ 1/ d d M e M com o elemento veticl Áe: d. d d. d.. d /. 1..( )...
8 ESTÁT DE cg, vet M d d d M d M d M... d M. M cg, vet M d d d M d M d M d M M. M e M com o elemento oizontl ( ) ( ) ( ) M. d d. d M.. d cg, vet 1/ / 1/ 1/ M. d M. d d (-) d ( + )/.. M M. M. 5. 5/ 5/ 1/ 1/ cg, oiz ( ) M. d d. d + 1 M. ( ). d M ( ). d. M 1. d M M.. Posição dos centóides. M M 1 X X Y Y.. 1
9 ESTÁT DE 67 5 Eemplo P figu o ldo, clcul áe, os momentos estáticos M e M e posição do cento de gvidde. onside um cuv pólic [1- ( / )]. X Y / ( ) d. d d. d 1. d d. 1. d. ( ). d.. ( )... M. d d d. M d. 1 1 M 1. d M ( ). d M ( ).. M M 5 ( 8. ) M 15 Y Y.. 5 M. d. 1 d d M... M.. M... M X X.. 8
10 ESTÁT DE Eemplos 1 - Detemin o cg do tiângulo com os eios pssndo pelo vétice. d.d d d d. cg e d d. d d d.. d d... cg d. d... d. cg.. Detemin o cg do tpézio io cg,1,5 1 cg,1,5 1/. cg, 1/ cg,1 1/ cg cg ( ) ( ) ( ) Σ i. i..,5. +, Σ i. +, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σ i. i..,5. +, Σ i. +,5.. +, Po eemplo:, m, 1 7, m e, m cg,9 m cg 1,88 m
11 ESTÁT DE Detemin o cg d seção T io. 1 1 ou 1 seção é simétic em elção o eio veticl. cg,5. ( ) ( ).. 1 cg (. ).(,5. ) ( ).( 1).,5.( 1) ( ) ( ) (,5.. ),5. ( ).( 1 ) ( ) ( ) Po eemplo: p 15,, 75 e 1 15 cm. cg 5,8 cm - Detemin o c.g. d seção T io d c c
12 ESTÁT DE 67 5 Áe cg cg. cg. cg , , , cg 88,86 cm Totl cg 9,8 cm - Detemin o c.g. d seção io Detemine p supefície pln d figu: os momentos estáticos em elção os eios e e posição do centóide. 1 mm mm 6 mm 8 mm 1 mm 6 mm 1 mm 8 mm 6 mm 8 mm 6 mm 1 mm 8 mm 6 mm mm cg 55 mm cg 7 mm
13 ESTÁT DE Momentos de néci Momentos de º odem ou Momentos de inéci de Áes Um vig i-poid solicitd po dois momentos iguis e opostos plicdos em sus etemiddes, está em um estdo de solicitção cmdo fleão pu. efeito dess ção pode se fcilmente visulizdo fleiondo s dus etemiddes de um égu, ou sej, égu seá fleiond e, su fce infeio seá tciond e supeio compimid. N figu io, egião supeio (cud) é compimid, infeio é tciond e, lin que sep s dus egiões é cmd de Lin Neut ou eio neuto d seção. B ompessão Tção Em função d ção eten plicd têm-se solicitções intens ns seções d vig e, consequentemente, os esfoços intenos esistentes. ssim, s foçs em um ldo do eio neuto são foçs de compessão e do outo ldo, foçs de tção, enqunto que no eio s foçs são nuls. Esses esfoços intenos esistentes são distiuídos e seus módulos vim linemente com distânci pti d lin neut. Figu io most o teco d vig B, e seção d vig n posição. M S,et M S,int ompessão L.N. F k.. Tção Um foç element tundo em um áe element é dd po: F k.. E o módulo d esultnte R ds foçs elementes F soe seção intei é dd po: R k.. d k. d últim integl n epessão d esultnte é conecid como momento de pimei odem d seção, em elção o eio ; e é nul, pois o icento d seção está loclizdo soe o eio, e, potnto Y., pois Y.
14 ESTÁT DE sistem de foçs F eduz-se, potnto, um conjugdo e, o módulo M deste conjugdo (momento fleto) deve se igul à som dos momentos M. F k.. ds foçs elementes. ntegndo soe secção intei, otemos: M k.. d k. d últim integl n equção cim é conecid como o momento de segund odem ou momento de inéci d seção d vig em elção o eio e é designd po. momento de segund odem é otido pel multiplicção de cd elemento de áe d pelo quddo de su distânci o eio, e integndo soe secção d vig. seve que podeá se positivo ou negtivo, ms ess integl seá sempe positiv e difeente de zeo. No eemplo d figu cim, p seção etngul de lgu e ltu, teímos: d d.d. d.. d.. d.. e, nlogmente:.. d.. Mudndo-se os eio de fom que pssem pelo centóide / / d d.d. d.. d... d / /... / /... d / /... / /
15 ESTÁT DE Detemine o Momento de inéci d seção tingul. d u - ( ) u u ( ) d u. d d. d ( ). d.. d (. ). d Momento Pol de inéci d áe J. d distnci do elemento de áe té o pólo. seve que +, potnto tmém pode se clculd tvés dos momentos etngules de inéci e. ( ) J. d +. d. d +. d d J d. + Detemine o Momento de inéci d seção cicul. ρ dα α dρ d ρ.dα.dρ ρ.sen α ( ) ρ. d ρ. senα. ρ. dα. dρ α π π π π ρ α senα π senπ ρ. sen α. dα. dρ sen α. dα.. π.
16 ESTÁT DE Rio de Gição de um áe Um detemind áe tem um Momento de néci em elção o eio. Se concentmos est áe em um fi esteit, plel o eio, e com o mesmo momento de inéci, distnci dess fi o eio, é denomind Rio de Gição. k J k. k nlogmente k e k (pol) omo J + temos k k + k 5.5. Teoem dos Eios Plelos. d N figu o ldo, consideemos conecido o Momento de néci d seção em elção o eio 1, 1, e queemos detemin o Momento de néci, em elção o eio, plelo 1. d G c 1 ( ). d c + d1. d ( ) c. c c.. 1 c. 1 + d + d d d + d d + d d Nest epessão temos:. d c 1 Momento de néci em elção o G. d1 c. d c. d Momento estático em elção o G d1 d d Áe deslocmento dos eios o quddo
17 ESTÁT DE Teoem dos eios plelos: d 1 +. d 1 +. Sendo: 1 e 1 Momentos de inéci em elção o G. d e d e deslocmentos dos eios e, espectivmente Áe d seção Momentos de inéci em elção os eios tnslddos Teoem dos Eios Plelos p Momentos de néci Poles. N figu o ldo, consideemos conecido o Momento de néci d seção em elção os eios 1 e 1 pssndo pelo G d seção, 1 e 1 e queemos detemin os Momento de néci d 1 c d em elção o eio e, plelos 1 e 1. G c 1 ρ d 1 J + + d e. 1 1 d. 1+ ρ d + d 1 J ( ) ( ) ( ) J + + d. + + d. + + d + d. J + ρ Teoem dos eios plelos p Momentos de néci Pol. J J + 1 ρ. J J 1 ρ Momento de néci Pol em elção à oigem dos eios que pssm pelo G. Momento de néci Pol em elção os eios tnslddos. distânci ente s oigens dos sistems de eios considedos.
18 ESTÁT DE Módulo de Resistênci. Vej seção io. Já vimos que cim d Lin Neut temos compessão e io, tção. Ests tensões de tção e compessão não são constntes, como já foi visto, els são nuls n Lin Neut e umentm à medid que se fstm em dieção às ods, onde tingem seus vloes máimos. M S,et M S,int ompessão σ m. omp. L.N. Tção σ m. Tção dmitindo-se um distiuição line ds tensões, tensão devid à fleão é dd po: σ Mf Est equção nos d tensão o longo d ltu d seção, com vindo ente / e +/, ms, nomlmente o que nos inteess é o vlo máimo dess tensão, que ocoeá ns ods. ssim otemos σ m em função de m. omo distânci do centóide de um seção às sus ods é um ccteístic d seção, definimos Módulo de Resistênci (W) de um seção como: W W e W uniddes L m m m σ Mf σ Mf Mf m m σm W :( ) Módulo de Resistênci Pol. De fom nálog, no dimensionmento de peçs sumetids à esfoços de toção, tem-se o Módulo de Resistênci Pol (W p ). Qunto mio o Módulo de Resistênci Pol de um seção, mio su esistênci à toção. W p J m uniddes L ( : )
19 ESTÁT DE 67 6 Eemplo: Detemin o io de gição, o módulo de esistênci e o módulo de esistênci pol, eltivos os eios icênticos e, p s seções etngul e cicul: i. 1. i i. 1. i W. 1. W m 6 W. 1. W m 6... ( ) J m m + m + + J. 1 ( + ). Wp + 1 m 6 + i π. D d. i 6 π. D D π. D π. D W W. 6 D m π. D π. D J + 6 J π. D π. D Wp. m D 16
20 ESTÁT DE Poduto de néci. integl do poduto de cd elemento d de um áe po sus coodends e é conecid como o poduto de inéci d áe em elção os eios e (P ). P d. Poduto de néci P pode se positivo ou negtivo e, qundo um ou mos os eios e são eios de simeti d áe, o poduto de inéci P é zeo. d d P > P < P Teoem dos eios plelos p os Podutos de néci. X ' d Y Bicento e eios icênticos e coodends de d em elção os eios icênticos + X e + Y ( ) ( ) ( ) P d. ' + X. ' + Y. d '. ' + '. Y + X. ' + X. Y. d ( ) '. '. d P ( '. Y ). d e ( X ) ( ). '. d Momentos estáticos nulos (eios icenticos) X. Y. d X. Y d Áe P P + X. Y. P + d. d. sendo d e d os deslocmentos dos eios. ' ' ' '
21 ESTÁT DE Rotção de Eios. onsidee um eio de coodends, e um 1 α d supefície. s Momentos e Podutos de néci são:. d. d. d Detemin os Momentos e Podutos de néci ( 1, 1 α e 11 ) tvés d otção de um ângulo α, dos eios oiginis, em tono d oigem. pós otção: 1 α.cos α.sen α α cos α +.sen α d α 1 α.cos α.sen α cos α -.sen α d α α 1.cos α +.sen α.cos α.sen α 1 1 ( ) ( ). d.cos α.sen α. d.cos α...cos α.sen α +.sen α. d e, nlogmente, otém-se: 1.cos α.sen α..cos α.sen α 1.sen α +.cos α +..cos α.sen α ( ) 11.cos α.sen α.cos α.sen α +.cosα sen α onsidendo s identiddes tigonométics: sen α. sen α. cos α cos α cos α sen α. 1 cos α 1 cosα cos α + sen α
22 ESTÁT DE 67 6 Pode-se esceve s equções d seguinte fom: cos α.sen α e, nlogmente, otém-se: + 1.cos α +.sen α 11.sen α +.cos α Se sommos ( 1 1) + oteemos u sej, qundo o gio é soe oigem, som dos Momentos de néci em elção estes eios é constnte e igul o Momento de néci Pol Eios Pincipis e Momentos Pincipis de néci Eios Pincipis de um áe em elção um ponto, são queles p os quis se tem um Momento de néci máimo em elção um dos eios e mínimo em elção o outo. Logo: d 1 dα s. d sen u cos u du d cos u sen u du d tn u sec u du d d d d d d + d +.cos α.sen α d 1..sen α..cos α dα dα sen α..sen α..cos α tn α. cos α ( ) p α p é o vlo de α que define os eios pincipis.
23 ESTÁT DE 67 6 Se fizemos: sen α..sen α +.cos α tnα cos α Logo o Poduto de néci é nulo em elção os eios pincipis. Em esumo ) os eios pincipis são otogonis ) 11 (um eio de simeti é sempe um dos eios pincipis) c) 1 e 1 é um máimo e um mínimo. Momentos Pincipis de néci Detemindo o vlo de α p st sustitui em 1 e 1 p se ote m e min. : + +.cos α.sen α 1 p p +.cos α +.sen α 1 p p u tvés d equção: 1, + ± + onde 1 é o máimo e o mínimo Eemplo 1: Detemin os eios e momentos pincipis de inéci d seção io. 1 1 Bicento: ou 1,5,5 15 cg 1/S T ΣM e cg 1/S T ΣM 1 cg (15.7,5 9, 75.8, 75) 5, 17 56,5 1 cg (15.5, 9, 75.6, 5),917 56,5
24 ESTÁT DE ,5 5,17 cg 1,5 15 cg,917 Momentos de neci pssndo pelo G, plelos os eios e S T 56,5 cm.. Ret 1,5 1, 5, 1,5 5, 1,5 15, Ret 1,5,5 1,5 8,75 1,5 7, 9,6 Som 56,5,69 16,6 cg ΣM,688 5, 17 Σ 56,5 cg ΣM 16, 65,917 Σ 56,5.() +.() 1 8,,8 5, 18,569 16,88 16,76-1,67 1,5 86,8556 1,816 Som ( ) 19,9188.() +.() 1 1,8 -,17 5,,78 7,861 6,91, 1,5 7, 75,16 Som ( ) 11,1719 Poduto de néci.. 1 5, -,17,8-17,1 1,5, -1,67-17,611-9,65 Som -9,65
25 ESTÁT DE , 5 tn α 1 781, 5 α -5 α 1 -,5º α 67,5º + 1, ± + 81,57 ± ( 9,65) + ( 9,65) m 16,97 e min 58,1197 Eemplo : Detemin os eios e momentos de inéci d áe io: em elção o eio YY e em elção o eio -. s. medids em mm Y π. d π.1-196, π. d π.75-17, X Áe Totl 159,6 Teldo:.. π ,5 1916,5 6, ,5-196,5 15,78-196, 1,78-771,55-17,86 5, -89, 75, -19,85 Som 159,6 191,9 876,1 X 89,79 e Y 5,7 1 π 1 π d. 16
26 ESTÁT DE Solução - Em elção o eio veticl ,9-99, ,58 d.d +.d ,9 1875,9 1171, ,6-99,5-196,5-6, , , ,58-17,86 9, , ,7 Som Y (mm ) 91869,7 Y (cm ) 91,8697 Solução B - Em elção o eio oizontl ,9-99, ,58 d.d +.d 1 887, , ,8 5851,7-99,5-196,5 15,78-65, , ,58-17,86 15, , Som - (mm ) ,5 - (cm ) 18797,9955 Eemplo : Detemin o poduto de inéci d seção io em elção o centóide. ' X. Y. π ' ' ' + X.. Y onde π. e 8 π π ' ' +. ' '., π 8 9. π 7. π seve que s coodends do centóide tem sinl, vej:
27 ESTÁT DE ' Segundo qudnte: /8, Áe >, Y > e X < X.Y < ' ' +,1671. ' ' Teceio qudnte: /8, Áe >, Y < e X < X.Y > ' ' ',1671. ' ' Quto qudnte: /8, Áe >, Y < e X >.X.Y < ' ' +,1671. Resumindo: ' ' 8 +, ' ' 8, ' ' ' ' ' ' ' ' ' 8, ' ' 8 +, 1671.
28 ESTÁT DE Núcleo entl de néci Núcleo entl de néci, ou Núcleo entl d Seção, é um egião o edo do centóide onde plicndo-se um cg otém-se, em tod seção, tensões de mesm ntuez d cg plicd (tção ou compessão). pens como eemplo, considee um pil etngul sumetido um cg de compessão P, plicd soe o eio oizontl, um distânci e do centóide. Um out fom de epesent este cegmento ecêntico é tvés de um cg centd P e um momento (P.e), confome mostdo n figu io. P e B B P e BB P M P.e BB seção é solicitd po dois esfoços comindos, um compessão il e um fleão pu, confome mostdo n figu io, e s tensões tuntes n seção seão iguis à som dests tensões. BB BB BB Em função d ecenticidde e s tensões esultntes n seção: Ecenticidde pequen Seção inteimente compimid (não unifome) Ecenticidde gnde Seção compimid e tciond
29 ESTÁT DE 67 7 que se usc é o limite ente os dois csos, ou sej, ecenticidde que povoc tensões nuls em um od ( ) e compessão n out od (BB ) P P ompessão il σ 1 S. M Pe. Fleão pu σ W. 6 P 6. e Bod ' σ ' 1+ P 6. Pe. P 6. e. σ σ1+ σ ± 1 ±... P 6. e Bod BB' σ BB' 1. questão se esume em detemin ecenticidde que nul s tensões n od. 6. e σ ' 1+ ou sej, nlogmente, p cg plicd no outo eio 6. e 1 e 6 e 6 / / / Núcleo entl de néci, ou Núcleo entl d Seção, de um etângulo é um plelogmo de digonis / e /. / / / plicd um cg P de compessão: dento dest egião, tod seção é compimid. fo dest egião, pte d seção compimid e pte tciond. Ns ods (nos cntos) compessão num ltel e tensão nul n out. núcleo centl de inéci de um seção qulque pode se otido pelo cociente ente o quddo do io de gição e distânci ente o c.g. e od.
30 ESTÁT DE i e c c e P seção etngul cim i. e, c / 6 i. 1 e. c 6,5. 6 Núcleo entl de néci de um seção cicul é um cículo de io /. / i ( 1. π. ) e, c. π. i e c Nomlmente encontm-se teldos, em livos de Resistênci dos Mteiis, os vloes do Núcleo entl de néci p s seções mis comuns.
31 ESTÁT DE 67 7 Popieddes ds Áes Plns Elementes áe, Momentos de néci p + Momento de nécipol X, Y centóide Poduto de néci BB Momento de néci em elção o eio BB X Y... X Y 1 1. P ( + ) 1 Y c X. + c.. X Y 6 6 c+ c.. ( c) P ( + c+ c ) 7 6 ( ) B c B.. c+ c ( c) BB ( ) B X Y B... X Y P ( + ) BB B X Y B... X Y P ( + ) BB 1 1 B Y B +. Y.. ( ) ( + ) (. + ) ( + ) ( ) BB
32 ESTÁT DE 67 7 B B π. D π. π. D π. 6 π. π. D 5. π. 5. π. D P BB 6 B Y B π.. Y. π ( 9. π 6 ). π. π.,198. BB 7. π 8 8 B X Y B π.. π. X Y. π 16 ( 9. π 6 ). BB, 588. B, π
f(x) = Alternativa E f(-1) g(-2) = 6
Pincipis notções Z - o conjunto de todos os númeos inteios R - o conjunto de todos os númeos eis C - o conjunto de todos os númeos compleos [, b] = { R: b} ] -, b] = { R: b} [, b[ = { R: < b} ] -, b[ =
Capítulo 3 ATIVIDADES PARA SALA PÁG. 50 GEOMETRIA. Projeções, ângulos e distâncias. 2 a série Ensino Médio Livro 1 1
esoluções pítulo ojeções, ângulos e distâncis 0 Sendo pojeção otogonl do ponto soe o plno, tem-se o tiângulo, etângulo em, confome figu. t TIIS SL ÁG. 0 0 0 onte luminos 7 cm 8 cm estcndo o tiângulo, tem-se
Soluções do Capítulo 9 (Volume 2)
Soluções do pítulo 9 (Volume ) 1. onsidee s ests oposts e do tetedo. omo e, os pontos e estão, mbos, no plno medido de, que é pependicul. Logo, et é otogonl, po est contid em um plno pependicul.. Tomemos,
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59 5(6,67Ç&,$(&$3$&,7Æ&,$ ÃÃ5(6,67Ç&,$Ã(Ã/(,Ã'(Ã+0 No pítulo 6 efinimos ução J σ omo seno um ensie e oente e onução. Multiplino mos os los po um áe S, el fiá: J.S σs (A (8. σs (A (8. Se o mpo elétio fo
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CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RÍGIDOS
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Ondas Eletromagnéticas Interferência
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QUESTÃO 01 01) ) ) ) ) 175 RESOLUÇÃO:
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16 - Carga Elétrica e Lei de Coulomb
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5.12 EXERCÍCIO pg. 224
9 5 EXERCÍCIO pg Um fio de compimento l é cotdo em dois pedços Com um deles se fá um cículo e com o outo um quddo Como devemos cot o fio fim de que som ds dus áes compeendids pels figus sej mínim? S sendo
O ROTACIONAL E O TEOREMA DE STOKES
14 O ROTACONAL E O TEOREMA DE STOKES 14.1 - O ROTACONAL A equção:. dl ( A) (14.1) ecion integ de inh do veto intensidde de cmpo mgnético fechdo L com coente tot envovid po esse cminho. o ongo de um cminho
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Geometria Plana 04 Prof. Valdir
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ATIVIDADES PARA SALA PÁG. 14
Resoluções pítulo 5 Poliedos 01 = 1 dos: F 6 = 8 = 6 F8 TIVIES PR SL PÁG. 14 eve-se te: I. F = 1 + 8 + 6 F = 6 II. = 1 4 + 8 6 + 6 8 = 144 = 144 = 7 III. V + F = + V + 6 = 7 + V= 74 6 V = 48 0 dos: = 8;
O atrito de rolamento.
engengens. Obseve-se que s foçs de tito de olmento epesentds n figu (F e f ) têm sentidos opostos. (Sugeimos que voê, ntes de possegui, poue i um modelo que pemit expli s foçs de tito de olmento). "Rffiniet
Problemas sobre Indução Electromagnética
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Circunferência e círculo
Cicunfeência e cículo evolução da humanidade foi aceleada po algumas descobetas e invenções. Ente elas, podemos cita a impensa de Johannes Gutenbeg (1400-1468), na lemanha, po volta de 1450, que pemitiu
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Gabor Ruszkai/Shutterstock. Matemática B
Gbo uszki/suttestock Mtemátic ul 8 Mtemátic eecícios. (nem-m) Um desenist pojetist deveá desen um tmp de pnel em fom cicul. P eliz esse deseno, el dispõe, no momento, de pens um compsso, cujo compimento
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CAPÍTULO 2 - CAMPOS ELÉCTRICOS II
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- Operações com vetores:
TEXTO DE EVISÃO 0 - VETOES Cro Aluno(): Este texto de revisão deve ser estuddo ntes de pssr pr o cp. 03 do do Hllid. 1- Vetores: As grndezs vetoriis são quels que envolvem os conceitos de direção e sentido
2ª Lei de Newton. Quando a partícula de massa m é actuada pela força a aceleração da partícula tem de satisfazer a equação
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Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor Lucas Octavio de Souza e não passou por nenhuma alteração
Todo mteil contido nest list foi desenvolvid pelo pofesso Lucs ctvio de Souz e não pssou po nenhum lteção geometi pln Geometi pln. esumo teóico e eecícios. 3º olegil / uso tensivo. uto - Lucs ctvio de
)25d$0$*1e7,&$62%5( &21'8725(6
73 )5d$0$*1e7,&$6%5( &1'875(6 Ao final deste capítulo você deveá se capaz de: ½ Explica a ação de um campo magnético sobe um conduto conduzindo coente. ½ Calcula foças sobe condutoes pecoidos po coentes,
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67 /(,'(%,76$9$57()/8; 0$*1e7,& Ao final deste capítulo você deveá se capaz de: ½ Explica a elação ente coente elética e campo magnético. ½ Equaciona a elação ente coente elética e campo magnético, atavés
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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL CADERNO UNIVERSITÁRIO GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Pof. Moc Mnghello Pof. Joge Tdeu Vgs d Silv GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR. Intodução: EMENTA DA DISCIPLINA:
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Álvo Fedes Cosidee um supefície f x,y Itegl dupl z defiid um egião fechd e limitd do plo xy é pojeção d supefície sobe o plo xy Tçdo-se ets plels os eixos ox e oy, espectivmete, ecobimos egião po pequeos
ATIVIDADES PARA SALA PÁG. 75
esoluções 01 pítulo 4 studo de tângulos e polígonos TIVIS SL ÁG. 7 onsdendo s ets // s // //, tem-se os ângulos ltenos ntenos gus. 1 s III. eg de tês: Medd do co ompmento do (em gus) co (m) 360 40000 (qudo)
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- Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor