5.12 EXERCÍCIO pg. 224

Transcrição

1 9 5 EXERCÍCIO pg Um fio de compimento l é cotdo em dois pedços Com um deles se fá um cículo e com o outo um quddo Como devemos cot o fio fim de que som ds dus áes compeendids pels figus sej mínim? S sendo o io do cículo e o ldo do quddo temos que l l ssim, l l S l S l l l l l l S é ponto de mínimo > l S S Potnto: l e l º Pedço: l

2 9 º Pedço: l b Como devemos cot o fio fim de que som ds áes compeendids sej máim? Como não eiste ponto de máimo n função devemos fze somente um cículo ou um quddo Temos: cíuculo quddo l > cículo l l quddo Potnto, vmos us o compimento do fio p fze somente um cículo de io l Detemin o ponto P situdo sobe o gáfico d ipébole, que está mis póimo d oigem mos conside um ponto P, sobe ipébole e distânci d deste ponto té oigem Temos: d ms d P c o mínimo de d podemos minimiz função f f f ± é ponto cítico

3 9 f f > f > ± são pontos de mínimo Potnto P, P, ou P, Um fzendeio tem bois, cd um pesndo kg té go ele gstou R$, p ci os bois e continuá gstndo R$, po di p mnte um boi Os bois umentm de peso um zão de,5 kg po di Seu peço de vend, oje, é de R$, o quilo, ms o peço ci 5 centvos po di Quntos dis devei o fzendeio gud p mimiz seu luco? Custo end : t,5t,,5t L,5t,,5t t L t,5t t L t,5,5t L 5t 5 5t L t t t 7 dis L < é ponto de máimo ssim, temos que o fzendeio deve espe 7 dis p obte o luco máimo c dois númeos positivos cuj som sej 7 e cujo poduto sej o mio possível

4 9 7 f 7 7 f 7 f 7 5 f f 5 < 5 é ponto de máimo Potnto 5 e 5 5 Usndo um fol qudd de ctolin, de ldo, desej-se constui um ci sem tmp, cotndo em seus cntos quddos iguis e dobndo convenientemente pte estnte Detemin o ldo dos quddos que devem se cotdos de modo que o volume d ci sej o mio possível / ou / " " / > / é ponto de mínimo < / é ponto de máimo Potnto: os ldos dos quddos devem medi uniddes de medid Detemin s dimensões de um lt cilíndic, com tmp, com volume, de fom que su áe totl sej mínim Temos que:

5 95 ssim, é ponto de mínimo > Potnto,

6 9 7 Dus indústis e B necessitm de águ potável figu segui esquemtiz posição ds indústis, bem como posição de um encnmento etilíneo l, já eistente Em que ponto do encnmento deve se instldo um esevtóio de modo que metgem de cno se utilizd sej mínim? Encnmento R c Encnmento BR L c b b L L L L 9 57 não inteess / 5 > L / é ponto de mínimo Pecismos ind nlis os etemos pois

7 97 L,, L,, L,9,7, Potnto, é o ponto de mínimo pocudo O custo e eceit totl com podução e comecilizção e um poduto são ddos po: C q,q R q q,q sendo q 9 Encont quntidde q que mimiz o luco com vend desse poduto L q R q C q L q q,q,q,q 7, q 5,q 7,q,q 7,, < L q ssim q 5 é ponto de máimo b Qul o nível de podução que minimiz o luco? figu segui pesent o gáfico d função luco L q,q 7,q Temos que o luco mínimo é igul zeo e ocoe no nível de podução q

8 Lq q c Qul o nível de podução coespondente o pejuízo máimo? Obsevndo novmente figu podemos obsev que o pejuízo é de p q α 9 O gáfico d função C q Kq F, q [ q, q ], sendo K, α e F constntes positivs, é denomindo de cuvs de custos cuto pzo de Cobb Dougls Ess cuv é bstnte utilizd p epesent os custos de um empes com podução de um poduto D o significdo d constnte F Temos que F epesent o custo fio b eific que, qundo α >, cuv é côncv p bio e intepet esse esultdo sobe o ponto de vist d Economi N figu segui pesentmos um eemplo p K, α e F

9 99 Cq lgebicmente podemos fze: C C α q q k α q α k q α α α > > e < α α q q α > ' é côncv p bio Sob o ponto de vist d economi isso signific que o custo mginl decesce medid que o nível de podução ument Potnto, C ' q < C q c Supo K, α e F e detemin se eisti, o vlo de q que fonece o custo médio mínimo

10 C q q C C C q q q q q q q q 5 q q 5 q q q q q q Como q < não á q que poduz custo médio mínimo d Usndo os mesmo vloes de item c, detemin o nível de podução que minimiz o custo mginl, no intevlo 5 q 5 q C q é o custo mginl, que vmos denot CM C M 5 q q CM 5, Como q CM é decescente, q 5 Qul é o etângulo de peímeto máimo inscito no cículo de io cm? Supondo que o etângulo ten ldos e e o cículo io temos: Peímeto Obsevndo o tiângulo etângulo de ipotenus igul o diâmeto e ctetos e temos:

11 57 57 Substituindo esse vlo n epessão do peímeto temos: P P P ±,97 57 P 57 P,97, < /,97 é ponto de máimo > O etângulo de peímeto máimo é o quddo de ldo Tç um tngente à elipse de modo que áe do tiângulo que el fom com os eios coodendos positivos sej mínim Obte s coodends do ponto de tngênci e áe mínim N figu que segue temos visulizção do poblem

12 - - Sej, o ponto de tngênci equção d tngente é dd po: m mos encont os vloes de e onde et tngente cot os eios Se m m Se m m m Áe do tiângulo: m m que é função que queemos minimiz Sbemos ind que: m

13 Substituindo em vem: m m ind temos que: Então: ± ±

14 Como < em, e > em,,, temos que: é ponto de mínimo ± ssim s coodends do ponto de tngênci são, e áe mínim:, Finlmente temos equção d tngente no ponto encontdo: m Most que o volume do mio cilindo eto que pode se inscito num cone eto é 9 do volume do cone figu que segue most um cote veticl do cilindo inscito no cone

15 5 Temos: cilindo e é ponto de máimo ponto mínimo < > Potnto, o io do cilindo é igul, onde é o io d bse do cone ltu do cilindo ssim,

16 cone cilindo Um cone eto é cotdo po um plno plelo à su bse que distânci d bse deve se feito esse cote, p que o cone eto de bse n secção detemind, e de vétice no cento d bse do cone ddo, ten volume máimo? Considendo o io d bse do cone; ltu do cone ddo; o io d seção e ltu d seção té bse do cone ddo, temos: e ' ' ' ' < Potnto, é ponto de máimo Potnto, distânci deve se igul à teç pte d ltu do cone eto ddo

17 7 Detemin o ponto d cuv que se encont mis póimo de 7, Most que et que pss po 7, e po é noml à cuv dd em figu que segue ilust este poblem f d Temos: 7 7 d Bst minimiz função são comples e f f f f f é ponto de mínimo > f f Ret P que pss po : 7,, P

18 7 7 que é equção d et que pss po P Equção d et tngente: s dus ets são pependicules, pois s declividdes multiplicds esultm 5 Um fol de ppel contém 75 cm² de mtéi impess, com mgem supeio de,5 cm, mgem infeio de cm, mgem ltel dieit de cm e mgem ltel esqued de,5 cm Detemin quis devem se s dimensões d fol p que j o máimo de economi de ppel Figu que segue ilust o poblem 75cm,5,5

19 9 Temos: 5,5,5,5, b b b b deve se mínim 7,5, 5,5 7,5 7,5 5,5 7,5 5,5 7,5 5,5 7,5 5,5 99,75 7,5 5,5,75 7,5 5,5 75 5,5 75,5 5,5,5 ± b, e 7,5 Potnto, 7,5é ponto de mínimo 75 7,5 7,5 > b,9 5,5, 5,5,,5 7,5,5 ssim, b

20 Um jnel tem fom de um etângulo encimdo po um semicículo c s dimensões de modo que o peímeto sej, m e áe mio possível Considendo o etângulo com dimensões e sendo o io do semicículo, temos:,m Peímeto Áe,, elção : le é ponto de máimo,,,,,,,,,,,, < go temos que:

21 , - -,, -,,, -,,,,,,,,, é o io do semi - cículo,,, Potnto, s dimensões do etângulo são m m 7 Um cnão, situdo no solo, é posto sob um ângulo de inclinção α Sej l o lcnce v do cnão, ddo po l senα cosα, onde v e g são constntes P que ângulo o g lcnce é máimo? Temos: v l g v l g l senα cosα sen v g α cos α sen sen α cos α α cos α senα cosα, α α

22 v l g senα cosα v l < α g é ponto de máimo Um gênci de tuismo está ognizndo um seviço de bcs, de um il situd km de um cost quse et, p um cidde que dist km, como most figu segui Se bc tem um velocidde de km po o, e os cos têm um velocidde médi de 5 km/, onde deveá est situd estção ds bcs fim de ton vigem mis ápid possível? ILH km Estção CIDDE Temos função: km t 5 t t ,,5

23 [ ] os,7,9,,9,7,9,9 5,5,5,5,5 é ponto de mínimo,5 > t t t t t t,, 5 5,9 t t Potnto p o mínimo bsoluto é em 5, km

24 9 Um cec de m de ltu está situd um distânci de m d pede ltel de um glpão Qul o compimento d meno escd cujs etemiddes se póim n pede e no cão do ldo de fo d cec? Figu que segue ilust o poblem Temos: função p se minimizd d d Podemos minimiz d f f f f d

25 5 é ponto de mínimo ' ' ' ' ' ' > f f f f Potnto temos: m d Sej s um et que pss pelo ponto, fomndo um tiângulo com os eios coodendos positivos Qul equção de s p que áe desse tiângulo sej mínim? Figu que segue ilust o poblem f Áe equção d et é dd po: m m m m m m -m m m

26 m m é função p minimiz m m m m m m m m m m m m m m m m m 9 9 m 9 m m m m ± m não inteess m m 9 ± m 9 m m m m m m 9 m > é ponto de mínimo / Potnto m equção pocud é dd po: 9 9 m Um pist de tletismo com compimento totl de m, consiste de semicículos e dois segmentos etos, confome figu segui Detemin s dimensões d pist, de tl fom que áe etngul, demcd n figu, sej máim

27 7 Temos: P < é ponto de máimo Potnto, m m Um cilindo cicul eto está inscito num cone cicul eto de ltu H m e io d bse R,5 m Detemin ltu e o io d bse do cilindo de volume máimo Supondo o io d bse do cilindo e su ltu, temos:

28 H R H R,5 R,5 R H H R R H H R R,5 7 Já foi mostdo no eecício que é máimo 7 Potnto : m m m Um fábi c poduz miles de uniddes mensis de um detemindo tigo Se o custo de podução é ddo po C, e o vlo obtido n vend é ddo po R, detemin o numeo ótimo de uniddes mensis que mimiz o luco L R C Temos: L L L L e 7 7 L L < é ponto de máimo Respost: uniddes

29 9 Um cilindo eto é inscito num esfe de io R Detemin esse cilindo, de fom que seu volume sej máimo mos conside o cilindo com io d bse igul e ltu igul le elção: R R Temos: R R R R R R R ± é ponto de máimo R R < Potnto: R, ltu R e R io 5 Um fzendeio deve cec dois pstos etngules, de dimensões e b, com um ldo comum Se cd psto deve medi m² de áe, detemin s dimensões e b, de fom que o compimento d cec sej mínimo? Temos: m m b b

30 P P P b P é ponto de mínimo > P P Potnto, temos: e b Um fbicnte, o comp cis de emblgens, etngules, eige que o compimento de cd ci sej m e o volume m³ P gst meno quntidde de mteil possível n fbicção de cis, quis devem se sus dimensões Considendo-se s dimensões d ci como m m m temos:

31 ' " > é ponto de mínimo Dimensões : m m m 7 Um etângulo é inscito num tiângulo etângulo de ctetos medindo 9 cm e cm Encont s dimensões do etângulo com mio áe, supondo que su posição é dd n figu segui 9

32 9 < Considendo-se e s dimensões do etângulo, temos: 5 ipotenus do é 5,5 9 9 é ponto de máimo ssim, temos que s dimensões do etângulo são:,5cm cm