CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RÍGIDOS

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1 4 CPÍTULO 5 CINEMÁTIC DO MOVIMENTO PLNO DE CORPOS RÍGIDOS O estudo d dinâmic do copo ígido pode se feito inicilmente tomndo plicções de engenhi onde o moimento é plno. Neste cpítulo mos nlis s equções d cinemátic do moimento plno. Este estudo é feito fim de encont elção ente s posições, elociddes e celeções de dois pontos de um mesmo copo ígido. 5.1 MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO O moimento plno de um copo ígido é definido como o moimento no qul s tjetóis de todos os seus pontos são plels um plno fixo. Vej como exemplo tjetói de um ponto P n figu 5.1 plel o plno xy. z C P(t) x y Figu Tjetói pln de um ponto P de um copo ígido C.

2 43 Há dois csos pticules de moimentos plnos: tnslção e otção em tono de um eixo fixo. O moimento gel plno pode se decomposto num tnslção mis um otção. N tnslção um linh qulque do copo ígido se mntém plel em elção à su posição inicil, em qulque instnte. Neste cso se s tjetóis de todos os pontos são etilínes, o moimento é de tnslção etilíne. Se s tjetóis de todos os pontos são cuilínes e equidistntes, o moimento é de tnslção cuilíne. N otção em tono de um eixo fixo, s tjetóis de todos os pontos são cicules, concêntics, com centos no eixo fixo. É clo que pontos sobe o eixo fixo não se moem. figu 5. ilust o mecnismo biel-mniel, no qul mniel eliz moimento de otção, o pistão tem moimento de tnslção e o elemento de ligção denomindo biel eliz um moimento plno gel. biel mniel pistão Figu 5. - Mecnismo biel-mniel. 5. MOVIMENTO PLNO DE TRNSLÇÃO Considee um copo ígido se moendo em tnslção pln e sej xy o plno de efeênci do moimento. Vmos tom dos pontos e deste copo ígido e um efeencil móel x y fixo em dunte todo o moimento, ms mntendo-se plelo o efeencil xy, considedo bsoluto. Podemos elcion s posições e destes dois pontos tés de (5.1) /

3 44 onde / é o eto posição de em elção. Est é um fom simplificd ou compct de indic este eto. De fto, este eto é posição de em elção um efeencil móel x y fixo no ponto. y y / C x x Figu Vetoes elocidde de um ptícul P. Deindo (5.1) podemos elcion s elociddes ente os pontos e (5.) / onde / coesponde elocidde elti de em elção. qui le tmbém obseção feit cim, um ez que elocidde / é de fto elocidde de em elção o efeencil móel x y. Vmos nlis deid do eto posição elti. Sej / x i y j (5.3) Tomndo deid de (5.3), obtemos d dx dy di dj / i j x y (5.4) / Sendo o copo ígido, n tnslção o eto / é constnte e potnto x e y tmbém são constntes e sus deids no tempo são nuls. Como o efeencil móel foi escolhido tl que i =i e j =j, então

4 45 e d / / 0 (5.5) (5.6) Deindo (5.6) obtemos elção ente s celeções dos pontos e (5.7) Pode-se conclui pti de (5.6) e (5.7) que todos os pontos de um copo ígido em tnslção possuem elociddes iguis e celeções iguis em cd instnte. Este esultdo pemite utiliz tods s equções desenolids n cinemátic e dinâmic d ptícul p copos ígidos em tnslção. Podemos fim que s equções d mecânic d ptícul e do copo ígido em tnslção são s mesms. 5.3 MOVIMENTO PLNO DE ROTÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO Vmos conside o eixo fixo do moimento de otção pln qui estuddo plelo o eixo z do sistem de efeênci utilizdo, pssndo po um ponto. Inicilmente mos defini gndezs ngules deste moimento. Pontos não têm moimento de otção, ms p linhs este moimento pode se definido. y (t ) (t) x Figu Moimento ngul do segmento. ssim, chm-se elocidde ngul médi de um linh, num intelo de tempo t=t -t o quociente

5 46 m (5.8) t Pssndo o limite (5.8), obtém elocidde ngul instntâne dd po d (5.9) Deindo (5.9), obtemos celeção ngul dd po d d (5.10) No moimento plno de otção de copos ígidos todos os segmentos de et, plelos o plno de efeênci, desenolem moimentos ngules iguis. ssim, s elociddes ngules de todos os segmentos do copo ígido são iguis. Potnto, elocidde ngul é um ccteístic do copo ígido ou pâmeto do moimento do copo ígido. O mesmo le p celeção ngul. elocidde ngul no moimento plno de otção pode se definid etoilmente, usndo eg d mão dieit, d seguinte fom: ω k (5.11) onde o plno xy é o plno do moimento. Vmos clcul elocidde de um ponto qulque do copo ígido. Tomndo equção (5.) e considendo no eixo de otção, temos que (5.1) / / No moimento plno de otção o ponto eliz um tjetói cicul em tono do eixo fixo z, plelo z, que pss po no plno do moimento de xy. Potnto, d cinemátic d ptícul, obtemos:

6 47 ds d( ) d / (5.13) onde / é io d tjetói cicul de. Vetoilmente, o mesmo esultdo podei se obtido tés do poduto etoil: (5.14) / ω / onde ω k / u / e potnto / ω / u t z x / u t u y P /P Figu Moimento cicul do ponto de um copo ígido. Obsee, pti d figu 5.5, que p qulque ponto P petencente o eixo de otção do moimento, tem-se (5.15) ω / ω / P Sendo o moimento de cicul os módulos de su celeção tngencil e d noml são ddos, espectimente, po

7 48 d s d ( ) t d (5.16) e n (5.17) Vetoilmente, obtemos celeção deindo no tempo equção (5.14) ou dω d / / / ω (5.18) α ω α ω ) (5.19) / / / / ( / Sendo ω α k k / u / u n obtêm-se s celeções tngencil e noml de, espectimente, e α / u (5.0) t t ω ( ω n / ) u / un (5.1) 5.4 MOVIMENTO PLNO DE UM CORPO RÍGIDO O moimento plno gel pode se decomposto em dois moimentos, sendo um de tnslção e outo de otção. Vmos tom o ponto como efeênci e sej outo ponto qulque do copo ígido. elção ente s posições e desses dois pontos do copo ígido é dd po (5.) / figu 5.6 most estes etoes, o efeencil fixo xy e o móel x y, peso em mntendo-se em qulque instnte plelo o efeencil fixo.

8 49 y y / C x x Figu Vetoes posição dos pontos e. Deindo (5.) podemos elcion s elociddes ente os pontos e (5.3) / onde / coesponde elocidde elti de em elção. qui le tmbém obseção feit nteiomente, um ez que elocidde / é de fto elocidde de em elção o efeencil móel x y. Vmos nlis deid do eto posição elti. Sej d / / (5.4) O moimento de neste efeencil x y é cicul. Confome mostdo no item nteio, (5.4) esult igul d / / ω / (5.5) Potnto, elção ente s elociddes de e dd po (5.3) é igul ω (5.6) /

9 Lembndo que os eixos dos efeenciis são sempe plelos, todos os etoes podem se escitos no efeencil fixo xy. P se obte elção ente s celeções dos pontos e, deimos equção (5.6), ou sej, 50 d d dω ω d / / (5.7) pti dos esultdos obtidos no item nteio, podemos escee α ω ω ) (5.8) / ( / onde / / α t / é celeção tngencil elti / é celeção noml elti / ω ( ω n / ) u / ssim, é possíel obte posição, elocidde e celeção de um ponto qulque de um copo ígido pti dos coespondentes etoes de um ponto, cujo moimento sej ddo. s equções (5.), (5.6) e (5.8) expessm ests elções p um moimento plno qulque. Podem se plicds, é óbio, p os csos pticules de tnslção, onde os etoes elocidde ngul e celeção ngul são nulos, e de otção em tono de um eixo fixo que psse po, onde os etoes elocidde e celeção deste ponto são nulos. 5.5 MOVIMENTO RELTIVO ENTRE DOIS CORPOS DISTINTOS Sej um copo ígido C que contenh um ponto. Sej um ponto qulque de outo copo ígido. elção ente s posições e desses dois pontos dos copos ígidos distintos é dd po (5.9) /

10 figu 5.7 most estes etoes e um efeencil fixo XYZ e outo móel xyz, 51 peso o copo C com oigem em. Sej móel e, potnto, do copo ígido C. elocidde ngul do efeencil Y y x / C X Figu Vetoes posição dos pontos e. Deindo (5.9) podemos elcion s elociddes ente os pontos e d d d / (5.30) Nest iguldde nós temos que: d d é elocidde do ponto é elocidde do ponto que petence o copo C / xi y j é o eto d posição de no efeencil xyz Potnto, podemos escee equção (5.30) como d ( x i y j) (5.31)

11 Como se moe em elção o copo C e, potnto, em elção o efeencil móel xyz, equção (5.31) é igul 5 di dj dx dy x y i j (5.3) Vmos nlis s deids dos etoes unitáios i e j. Estes etoes possuem módulo unitáio, ms tem mesm elocidde ngul do copo ígido C. ssim podemos escee: di i lim (5.33) t 0 t figu 5.8 ilust obtenção do eto i p um intelo de tempo t. Consideemos que neste intelo de tempo ição ngul em tono do eixo x sej dd po. Então di i i i lim lim lim Ω lim (5.34) t 0 t t 0 t 0 0 Y i(t+ t) i i(t) X Figu Veto unitáio i nos instntes t e t+ t. D figu 5.8, temos que sin i i lim lim j (5.35) 0 0 i

12 53 Logo di j Ω i (5.36) De fom nálog pode-se obte dj i Ω j (5.37) plicndo os esultdos obtidos em (5.36) e (5.37) n equção (5.3) obtém-se ou dx dy x ( Ω i) y ( Ω j) i j (5.38) dx dy Ω ( xi yj) i j (5.39) Finlmente, obsendo que s dus últims pcels de (5.39) epesentm elocidde do ponto em elção o efeencil peso o copo ígido C, podemos escee (5.40) Ω / / xyz onde se definem Ω elocidde de ste / / xyz elocidde de elti o efeencil móel xyz elção ente s celeções pos pontos e pode se obtid deindo equção (5.40), esultndo dω d d / / xyz / Ω (5.41)

13 54 Confome mostdo nteiomente e d d / Ω / / xyz / xyz Ω / xyz / xyz (5.4) (5.43) Substituindo (5.4) e (5.43) em (5.41), obtemos dω / Ω ( Ω / ) Ω / xyz / xyz (5.44) onde se definem dω / Ω ( Ω / ) celeção de ste / xyz Ω celeção de Coiolis ou complement / xyz celeção de elti o efeencil móel xyz Potnto, s equções (5.40) e (5.44) elcionm s elociddes e s celeções de dois pontos e, petencentes copos ígidos distintos. Embo tenhm sido deduzids p o moimento plno, se plicm igulmente p moimentos espciis.