DINÂMICA DO SISTEMA SOLAR

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1 PLANETAS E SISTEMAS PLANETÁRIOS AGA050 Enos Piczzio DINÂMICA DO SISTEMA SOLAR NÃO HÁ PERMISSÃO DE USO PARCIAL OU TOTAL DESTE MATERIAL PARA OUTRAS FINALIDADES.

2 Pâmetos obitis i - Inclinção (i > 90 º, movimento etógdo). W - Longitude do nodo scendente (0 W 60 º ) w - Agumento do peicento, contdo no sentido do movimento do copo (0 w 60 º ) plno d eclíptic - Longitude do peicento (W + w) P, A - Peicento e Apocento n - movimento médio (velocidde ngul médi do copo em tono do tto: n=(p/peíodo) e - Excenticidde d óbit (elção ente semi-distânci focl e o semi-eixo mio (c/) e = c/ (1+e) (1-e)

3 Leis de Keple peíodo sidel Obtids empiicmente no século XVII, tvés d edução ds obsevções de Tyco Be. Resultdos obtidos só fom justdos óbits elíptics. Peíodos: sidel tempo necessáio p ocup mesm posição obitl sinódico tempo necessáio p ocup mesm posição pente Enos Piczzio IAGUSP (017)

4 Leis de Keple 1 Lei: A óbit de cd plnet, eltiv o Sol, é um elipse com o Sol em um dos focos: PF distânci peiélic ( 1 e ) 1 + ecos AF distânci félic e excenticidde OF/OP distânci eliocêntic semi - eixo mio (OA OP) ângulo de nomli Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

5 Leis de Keple Lei: O io veto que une o plnet o Sol ve áes iguis em tempos iguis: da d (1.1.) Lei: O quddo do peíodo obitl (P) é popocionl o cubo do semi-eixo mio: O intevlo de tempo decoido ente 1T e T, T e 4T... são iguis, logo s áes vids pelo io veto ente 1T e T, T e 4T... são iguis. n const P const ou com p n P Lembe-se que áe do tiângulo Sol-T-4T é obtid po: bse ltu d Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

6 Lei de Gvitção Univesl Enegi totl de um sistem gvitcionl: E E C ( ) + E P ( ) mv + mmg com : E C ( ) enegi cinétic em ; E ( ) enegi P potencil gvitcionl em ; de 0 (consevção d enegi) Possibiliddes: 0 e 1 (elipse) E 0 (copo gvitcionlmente peso) e 1 (pábol) E 0 (copo gvitcionlmente solto) e 1 (ipébole) E 0 (copo gvitcionlmente ejetdo) p o cso de E = 0, s enegis cinétic e potencil são iguis em módulo, po isso o copo está solto. Isto define um velocidde cític, velocidde de escpe : 0 mv + mmg v MG v e MG Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

7 Poblem de 1 copo (copo de mss despezível movimentndo-se o edo de outo com mss, supostmente, pontul) Sistem Refeencil em otção: como F( ) m. : c. centífug F( ) m m Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

8 Poblem de 1 copo (copo de mss despezível movimentndo-se o edo de outo com mss, supostmente, pontul) Sistem Refeencil em otção : c. centífug como F( ) m. : F( ) m m 4 de (1.1.) : / logo : F( ) m m / 1..1 Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

9 Poblem de 1 copo (copo de mss despezível movimentndo-se o edo de outo com mss, supostmente, pontul) Sistem Refeencil em otção : c. centífug como F( ) m. : F( ) m m 4 de (1.1.) : / logo : F( ) m m / 1..1 (1 e D ) eq.1.1.1ti - se e eq.1..1fic : 1 + e cos m F( ) ( 1 e ) Cuj soluçãoé m m / pópi eq m / ( 1 e ) 1.. Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

10 Poblem de 1 copo (copo de mss despezível movimentndo-se o edo de outo com mss, supostmente, pontul) Sistem Refeencil em otção: c. centífug como F( ) m. : F( ) m m 4 de (1..1): / logo: F( ) m m / 1..1 (1 e D ) eq.1.1.1ti - se e eq.1..1fic : 1 + e cos m F( ) ( 1 e ) igulndo m m / ( 1 e Cuj soluçãoéest pópi é equção eq difeencil do movimento. A solução? / m ) 1.. Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

11 Poblem de copos (movimento eltivo o cento de mss) p + q Mp mq 1..1 c.em M é impost po m. Logo : lembndo mg p p nlogmente : q q MG Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

12 Poblem de copos (movimento eltivo o cento de mss) p + q Mp mq 1..1 c.em M é impost po m. Logo : lembndo : G ( m + M ) 1..4 como da / d G ( m+ M ) / Retomndo 1.1.: 4 cuj soluçãoé : ; 1 G( m + M ) ( 1 + ecos ) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017) mg p p nlogmente : q q 4 MG momento ngul 1..5 (1.1.) somndo 1..

13 Poblem de copos (movimento eltivo o cento de mss) p + q Mp mq 1..1 c. em M é impost po m. Logo : : G ( m + M ) como 4 cuj soluçãoé : / 1..4 G( m + M ) / mg p p nlogmente : q q MG somndo 1.. Enos Piczzio IAGUSP (011) (017) G( m + M ) 1 ( 1 + ecos ) 1..7

14 Poblem de copos Neste cso existem 5 soluções estcionáis 5 pontos Lgnginos. Soluções estáveis: L4 e L5. Cso pticul de ttp://fculty.ifmo.u/butikov/pojects/collection6.tml Hvendo petubção, o copo pode volt à posição de equilíbio dependendo d elção ente s msss envolvids. Exemplo típico: steóides Toinos de Júpite. Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

15 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. A - equção do movimento eltivo Temos : F m m m m GMm m GM F G Mm M M GMm M Gm Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

16 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. A - equção do movimento eltivo como m M m M GM Gm G( M + m ) + 0 (I) com G( M + m ) T - [ML ] Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

17 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. B consevção d enegi multiplicndo Multiplicndo (I) esclmente po : + 0 (I) esclmente po : multiplicndo E v cte v. v + (II). 0 v. v + d. 0 v 1 d vdv ( 1) v d 0 v v+ v v+ Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

18 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. C consevção do momento ngul Multiplicndo multiplicndo (I) vetoilmente po : + 0 (I) vetoilmente po : d como ( ) + 0 (pois 0) cte ( 0) lembndo: sen( = 0) = 0 Enos Piczzio IAGUSP (011) (017) Momento ngul : cte v cte (III)

19 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. D equção d tjetói (1º lei de Keple) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017) Multiplicndo multiplicndo (I) vetoilmente + 0 (I) po vetoilmente : po : + ( ) 0 ( ) multiplicndo substituindo (III) n equção cim : v pois.. (ve complemento no pêndice) d d ( ) ; integndo temos : + com cte de integção

20 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. D equção d tjetói (1º lei de Keple) multiplicndo + 0 (I) vetoilmente po : ( ) 0 + ( ) lembndo que v (III) Multiplicndo (I) vetoilmente po : ( v ) + ( ) 0 ( ) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

21 Poblem de copos M, m ' ' ' x, y, z x, y, z msss sistem inecil do conjunto sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. D equção d tjetói (1º lei de Keple) ( v ) (. ) v ( v. ) multiplicndo + 0 (I) vetoilmente po ( v ) v (. v ): ( ) 0 d d ( v ) + ( ) lembndo que v (III) Multiplicndo (I) vetoilmente po : 1 ( v ) + ( ) 0 ( ) d d ( v ) 1 d 1 d ( v ) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

22 Poblem de copos de M e não ginte em elção o pimeio. com oigem no cento de mss sistem inecil,, do conjunto sistem inecil,, msss, ' ' ' z y x z y x m M D equção d tjetói (1º lei de Keple) ) ( 0 ) ( : + vetoilmente po Multiplicndo (I) multiplicndo (I) 0 + vetoilmente po : v (III) lembndo que ) ( 0 ) ( + ) v ( ( d ) d d 1 d 1 então: d d d d d d 1 1 v) ( v) ( 1 v) (.v) ( v v) ( ) (v. )v. ( v) ( Enos Piczzio IAGUSP (017)

23 Poblem de copos M, m ' ' ' x, y, z x, y, z msss sistem inecil do conjunto sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. D equção d tjetói (1º lei de Keple) d integndo: d ( ) + com cte de integção Multiplicndo (I) vetoilmente po : + ( ) 0 ( ) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

24 Poblem de copos M, m ' ' ' x, y, z x, y, z msss sistem inecil do conjunto sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. D equção d tjetói (1º lei de Keple) d integndo: d ( ) Multiplicndo esclmente po : com cte de integção como x.y z x y.z : Multiplicndo (I) vetoilmente po : + ( ) ( ) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017) + cos com ângulo ente e

25 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. v (III) D equção d tjetói (1º lei de Keple) d integndo: d ( ) Multiplicndo esclmente po : com cte de integção como x.y z x y.z : Multiplicndo (I) vetoilmente po : + ( ) ( ) Enos Piczzio IAGUSP (017) + cos com ângulo ente e

26 Poblem de copos v (III) Enos Piczzio IAGUSP (017) M, m ' ' ' x, y, z x, y, z msss sistem inecil do conjunto sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. D equção d tjetói (1º lei de Keple) d integndo: d ( ) Multiplicndo esclmente po : com cte de integção como x.y z x y.z : Multiplicndo (I) vetoilmente po : + ( ) ( ) + cos ( + cos ) / Logo : (VI) 1+ ( / )cos + cos 1º Lei de + Keple cos (Eq. gel 1+ ds cos cônics) com ângulo ente e

27 Poblem de copos v (III) Enos Piczzio IAGUSP (017) M, m ' ' ' x, y, z x, y, z msss sistem inecil do conjunto sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. D equção d tjetói (1º lei de Keple) d integndo: d ( ) Multiplicndo esclmente po : com cte de integção como x.y z x y.z : Multiplicndo (I) vetoilmente po : + ( ) ( ) / Logo : (VI) 1+ ( / )cos + cos 1º Lei de Keple (Eq. gel ds cônics) com ângulo ente e

28 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. dietiz e d D equção d tjetói (1º lei de Keple) d integndo: d ( ) + com cte de integção Multiplicndo (I) vetoilmente po : + ( ) 0 ( ) p Em cood. poles : 1+ ecos com p / e e / Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

29 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. E lei de Keple) v (III) Retomndo eq. III : v Em cood.poles : x* i + y * j x* cos x * cos sen y* sen y * sen + cos Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

30 Poblem de copos M, m msss ' ' ' x, y, z sistem inecil do conjunto x, y, z sistem inecil com oigem no cento de mss de M e não ginte em elção o pimeio. E lei de Keple) Logo : v i x* x * j y * y * k 0 0 Enos Piczzio IAGUSP (011) (017) Retomndo eq. III : v Em cood.poles : x* i + y * j x* cos y* sen x* y* y * k x* x * y* y * k cos k ( sen + cos ) sen( cos sen ) sen cos + ( sen + cos x * cos sen y * sen + cos cos ) sen cos + sen

31 Poblem de copos E lei de Keple Sendo P1 e P posições póxims e sucessivs no intevlo Dt, áe seá: DA 1 send fzendo Dt 0 : 1 send D D Dt da (VII) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

32 Poblem de copos p p p b e 1 b b A e 1 p c e pois. ) ( elipse : elções tiviis d Ds E lei de Keple p Enos Piczzio IAGUSP (011) Enos Piczzio IAGUSP (017)

33 Poblem de copos E lei de Keple Ds elções tiviis d elipse : e b c p. p ( 1 e ) A pois pb p b 1 e da D eq. VII : da integndo : como b pb / 1/ T temos : 4p ( b) T T 4p (VIII) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

34 Poblem de copos E lei de Keple Ds elções tiviis d elipse : e b c p. p ( 1 e ) A pois pb p b 1 e da D eq. VII : b = ( /) 1/ da integndo : como b pb / 1/ T temos : 4p ( b) T T b 4p / 1/ (VIII) Enos Piczzio IAGUSP (011) (017)

35 Poblem de copos F 1 lei de Keple Definição : F foco L dietiz p pâmeto FP AC BC b FC e O oigem C cento secção tl que : PF e PD cônic PD P D PF 1 é o lug (excenticidde) D F + FP p + cos geomético (1) () () dos pontos P, substituindo e p + cos () e () Qundo 180º: Enos Piczzio IAGUSP (011) (017) em (1) : ep 1 ecos AF AC - FC e ep ep 1 ecos e (1 e) (4) (5) (6)

36 Poblem de copos F 1 lei de Keple (4) (5) (6) ep 1 ecos (1 e ) ep 1+ e p (1 e e ) (7) F foco L dietiz p pâmeto FP AC BC b FC e O oigem C cento (8) (1 e ) 1 ecos Se fo contdo em sentido contáio (i.e, pti de A), então peceá ns expessões cim (180 - ) no lug de. Então teemos: Sugestões: O Poblem dos Tês Copos nálise e nimções: ttp://cmup.fc.up.pt/cmup/eltividde/copos/copos.tml Simulção Computcionl em Dinâmic Clássic: ttp://fculty.ifmo.u/butikov/index.tml ( 1 e ) 1 + ecos (9) Poblem gvitcionl de copos ttp://