Geometria Plana 04 Prof. Valdir

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1 pé-vestiul e ensino médio QUILÁTS TÁVIS 1. efinição É o polígono que possui quto ldos. o nosso estudo, vmos onside pens os qudiláteos onveos. e i Sendo:,,, véties do qudiláteo; i 1, i, i 3, i 4 ângulos intenos; e 1, e, e 3, e 4 ângulos etenos;,,, ldos do qudiláteo;, digonis do qudiláteo. i 1 e 1 e 3 i 3 i 4 e 4 Geometi ln 04 of. Vldi.1.3. Quddo É o plelogmo que tem os quto ldos e os quto ângulos onguentes ente si. ntão o quddo é um losngo e um etângulo o mesmo tempo. = = = =.. Tpézio É o qudiláteo que tem dois ldos plelos ente si. Vmos onside os tpézios que tem pens dois ldos plelos ente si, os quis são denomindos de ses...1. Tipos de tpézios:. Tipos de qudiláteos sleno.1. lelogmo É o qudiláteo ujos ldos opostos são plelos. // e Isóseles opieddes: s ldos opostos de um plelogmo são onguentes; s ângulos opostos de um plelogmo são onguentes; s digonis de um plelogmo otm-se no ponto médio = e =. s tiângulos e são onguentes ssim omo os tiângulos e etângulo É o plelogmo que tem os quto ângulos etos. onseqüentemente sus digonis têm mesm medid. = etângulo // e =... se médi É o segmento de et que lig os pontos médios dos ldos não plelos. // e + =.1.. Losngo É o plelogmo que tem os quto ldos onguentes ente si. onseqüentemente s digonis são pependiules ente si e são issetizes dos ângulos intenos. = = = se médi do tpézio; e pontos médios dos ldos e...3. se de eule (medin de ule) É o segmento de et que lig os pontos médios ds digonis do tpézio. F - F= 1

2 eíios esolvidos: 01. figu é um tpézio, é se médi, = 1 m, = 0 m, e inteeptm nos pontos e F. etemine e F. F omo e Q são pontos médios de e, então Q // e =.Q. ssim, Q // e Q =. nlogmente, // // Q e =.Q, =.. ssim, // Q e = Q. ess fom, omo // Q e //Q, teemos que o qudiláteo Q é um plelogmo. Qunto o peímeto, teemos: (Q + ) + (Q + ) = = = = m F= F= F = 4 m espost: = m e F = 4 m Á FIGUS LS 1. lelogmo 0. o tpézio esleno d figu digonl mede 9m. lule s medids dos segmentos ptes dest digonl, detemindos pelo ponto de inteseção om out digonl. 8m =.. etângulo 10 m =. 9-8m 3. Quddo 10 m omo //, teemos que. ssim, = 8 = = 4 m 9-10 espost: = 4 m; = 5 m 03. é um qudiláteo plno qulque e,, e Q são pontos médios dos ldos,, e, espetivmente. oste que o qudiláteo Q é um plelogmo ujo peímeto é igul som dos ompimentos ds digonis do qudiláteo. Sej o qudiláteo, d figu segui. 4. Losngo d d = d 5. Tpézio Q omo e são pontos médios de e, espetivmente, então //. ssim, os tiângulo e são semelntes de zão. u sej: =., =., então =.. (+). =

3 6. Áe de um qudiláteo qulque... sen = omo áe é dd po. =, vmos detemin ltu em função de, e. plindo itágo nos tiângulo e, teemos: : = n + (1) : = ( - n) + () emonstção: 1 e (1) e (), vem que: = ( n) n = n n = n= (3) Sustituindo (3) em (1), teemos: - + = = - Fzendo 1 e s ltus dos tiângulos e, espetivmente, então áe do qudiláteo seá:.1. = Áe() + Áe() = + omo 1 =.sen e =.sen, vem que:..sen..sen (+)..sen = + =..sen = (ovdo) 7. Tiângulo 7.1. dos se e ltu 7.. dos os tês ldos (Fómul de Heon) = d = p.(p-).(p-).(p-) Sendo: ++ p= - + = - = ( ) = - ssim, áe do tiângulo seá: ( ) = 4 = = = = = ( - + ) 4 ( ) = 4 = ( ).( ) (( + + )- ).( - ( - + )) ((+) - ).( - (-) ) 4 -( - +) (++)(+-).((+-).(-+) (++)(++-).((++-).(++-) = Fzendo ++ = p (semipeímeto), teemos: = p.(p-).(p-).(p-) (Fómul de Heon) emonstção: onsideemos figu: 7.3. dos dois ldos e e o ângulo fomdo po eles n - n s.:.sen = ltu..sen = 3

4 7.4. Tiângulo eqüiláteo de ldo L emonstção: L L L 3 = 4.. = 4. s.: ltu L L 3 = θ 7.4. dos o semipeímeto e o io do íulo insito = p. el lei dos senos, temos que, em qulque tiângulo insito em um íulo, vle elção: = =senθ senθ áe do tiângulo seá:....senθ = =.. = 4. (povdo) p: semipeímeto do tiângulo emonstção: Ligndo o ento do íulo o véties, e, o tiângulo fi dividido em tês tiângulos, e de ses, e, espetivmente, e ltus iguis o io do íulo, omo most figu segui: 8. íulo = π Seto iul m gus: ssim, áe do tiângulo seá:... = + + (++) = Fzendo (++) =p = p. (semipeímeto), teemos:.π. = 360 m dinos:. = 8.. Segmento iul 7.5. dos os tês ldos e o io do íulo iunsito. segm. = seto.. = 4. s.: Sustituindo áe do seto e e áe do tiângulo, podemos te tmém:...sen.(-sen) segm. = - segm. = Sendo em dinos. 4

5 8.3. oo iul eiios esolvidos: = π( ) 03. Um tiângulo possui ldos ujs medids são 7 m, 8 m e 9 m. lule: ) áe do tiângulo. ) medid do io d iunfeêni insit no tiângulo. ) medid do io d iunfeêni iunsit no tiângulo. ) plindo fómul de Heon, teemos: = p.(p-).(p-).(p-) = 1.(1-7).(1-8).(1-9) = = 1. 5 m ) io d iunfeêni insit (). TIGUL = p = 1. = 5 m 01. (FT) figu most um iunfeêni de ento e io igul e um pentágono egul, ujos véties e petenem à iunfeêni. lule áe d egião ud. som dos ângulos intenos do pentágono egul é dd po: S = (5 ).360 = 540 ntão, medid do ângulo do seto () é igul à medid do ângulo inteno do pentágono. ssim: = 540 = áe do seto seá:.π. 108.π. = = π espost: = m 5 6.π = 5 m 0. figu, F é um eágono egul de ldo 1m. lule áe do tiângulo. digonl pss pelo ento do eágono e tem ompimento igul o doo d medid de seu ldo. omo o tiângulo é etângulo em, teemos: () = () () () = 1 = 3 m ssim, áe do tiângulo seá: =. espost: = = m = F 3 m ) io d iunfeêni iunsit (). TIÂGUL =.. 4. = 1 5 = = m 04. (UFG-dptdo) onsidee um semiiunfeêni de diâmeto = 6 m e um tiângulo, onfome figu segui: ) pesse áe do tiângulo em função do ângulo pens. ) etemine o vlo de p que áe do tiângulo sej máim. ) Sendo o ento do semiíulo, ponto médio de, o segmento é medin eltiv ipotenus do tiângulo. Sendo ssim, divide o tiângulo em dois tiângulos de mesm áe. ssim, teemos: =. = 6.6.sen = 18.sen ) que áe do tiângulo sej máim, temos: sen = 1 = 90º = figu segui, s ets que ontem os segmentos de et e são tngentes à iunfeêni de ento e io 6 m. Se-se que o ângulo mede 30. etemine áe do segmento iul detemindo pel od 5

6 6 m 30º S figu, temos que: = 360 = 150 ssim, áe do segmento iul destdo seá: = o π sen150º - o 360 = 15π 9 = 3(5π 3) m espost: 3.(5π 3) m. 06. figu segui tem-se um quddo insito em outo quddo. ode-se lul áe do quddo inteno, sutindose d áe do quddo eteno s áes dos 4 tiângulos. Feito isso, veifi-se se que é um função d medid. esss ondições, lule o vlo mínimo de. 8 lulndo áe do quddo inteno, teemos: = (8 ) / = 64 + = = = -56 má = -Δ 56 = 4 8 = 3 espost: 3 6