Trigonometria em triângulos quaisquer

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1 pítulo 1 Tigonometi em tiângulos quisque Neste pítulo 1. Revisão de tigonometi no tiângulo etângulo 2. Seno e osseno de ângulos otusos 3. Lei dos senos. Lei dos ossenos omee pelo que já se etende-se ot s ftis de um pão de fom p fze pequenos snduíhes onfome o esquem segui. 10 m 10 m 2 m 10 m 10 m epois de pontos petende-se oloá-los em um ndej etngul, de tl mnei que mio fe de d snduíhe, ou sej, su fe etngul de mio áe, fique em ontto om ndej. 10 m 15 m 1. onsidendo-se fom que se petende olo os snduíhes n ndej pesentd, de qunts mneis isso podeá se feito? Fç um esquem p epesent d um desss mneis. 2. etemine qul desss mneis deve se utilizd p que se tenh o melho poveitmento do espço. 3. Eistem outs foms de se olo os snduíhes ness ndej? esev lgums dels e identifique que pemite olo mio quntidde de snduíhes ness ndej sem que hj soeposição. 10

2 1. Revisão de tigonometi nos tiângulos etângulos segui são pesentds de modo oniso, e p efeito de evisão, lgums elções válids p os tiângulos etângulos. do um tiângulo etângulo de hipotenus e tetos e é possível eseve s seguintes elções. Teoem de itágos quddo d medid d hipotenus é igul à som dos quddos ds medids dos tetos. Relções métis Sendo n e m espetivmente s pojeções dos tetos e soe hipotenus, e h ltu eltiv à hipotenus, são válids s seguintes elções: m 2 n h 2 m h h 2 m n H teto oposto e teto djente sen 5 teto oposto hipotenus 5 os 5 teto djente hipotenus 5 tg 5 teto oposto 5 teto djente n Relções tigonométis teto oposto e teto djente sen 5 teto oposto hipotenus 5 os 5 teto djente hipotenus 5 tg 5 teto oposto 5 teto djente omo e são ângulos omplementes, ou sej, , vlem s seguintes elções: sen 5 os 5 e sen 5 os 5 tg 5 1 tg e tg 5 1 tg tg 5 sen os e tg 5 sen os Si mis ojeção otogonl de um segmento de et ``Em um plno, onsidee um ponto e um et que não pss po. hm-se pojeção otogonl do ponto soe et o ponto, que é o pé d pependiul à et pti de. pojeção otogonl de um segmento de et em um et é o onjunto ds pojeções de todos os pontos do segmento, ou sej, é um segmento. seve que, se o segmento de et fo pependiul à et, su pojeção esultá em um únio ponto soe. poj poj plição mis fequente d tigonometi é o álulo d medid d pojeção otogonl. Se o segmento tem ompimento k, e o ângulo fomdo om su pojeção é, pode-se demonst que medid d pojeção otogonl é igul k? os. k poj e fto, onsidendo o tiângulo etângulo fomdo o pojet-se o segmento, e hmndo de o ângulo fomdo pelo segmento e su pojeção, tem-se que os 5 poj Æ k Æ poj 5 k? os 11

3 1 Tigonometi em tiângulos quisque Tel de zões tigonométis tel segui pesent os vloes poimdos, om quto ss deimis, do seno, do osseno e d tngente de ângulos ente 0 e 90. Ângulo sen os tg Ângulo sen os tg 0 0,0000 1,0000 0, ,7193 0,697 1, ,0175 0,9998 0, ,731 0,6820 1, ,039 0,999 0, ,731 0,6691 1, ,0523 0,9986 0, ,757 0,6561 1,150 0,0698 0,9976 0, ,7660 0,628 1, ,0872 0,9962 0, ,7771 0,6293 1, ,105 0,995 0, ,7880 0,6157 1, ,1219 0,9925 0, ,7986 0,6018 1, ,1392 0,9903 0, ,8090 0,5878 1, ,156 0,9877 0, ,8192 0,5736 1, ,1736 0,988 0, ,8290 0,5592 1, ,1908 0,9816 0, ,8387 0,56 1, ,2079 0,9781 0, ,880 0,5299 1, ,2250 0,97 0, ,8572 0,5150 1, ,219 0,9703 0, ,8660 0,5000 1, ,2588 0,9659 0, ,876 0,88 1, ,2756 0,9613 0, ,8829 0,695 1, ,292 0,9563 0, ,8910 0,50 1, ,3090 0,9511 0, ,8988 0,38 2, ,3256 0,955 0, ,9063 0,226 2, ,320 0,9397 0, ,9135 0,067 2, ,358 0,9336 0, ,9205 0,3907 2, ,376 0,9272 0, ,9272 0,376 2, ,3907 0,9205 0, ,9336 0,358 2, ,067 0,9135 0, ,9397 0,320 2, ,226 0,9063 0, ,955 0,3256 2, ,38 0,8988 0, ,9511 0,3090 3, ,50 0,8910 0, ,9563 0,292 3, ,695 0,8829 0, ,9613 0,2756 3, ,88 0,876 0, ,9659 0,2588 3, ,5000 0,8660 0, ,9703 0,219, ,5150 0,8572 0, ,97 0,2250, ,5299 0,880 0, ,9781 0,2079, ,56 0,8387 0, ,9816 0,1908 5,16 3 0,5592 0,8290 0, ,988 0,1736 5, ,5736 0,8192 0, ,9877 0,156 6, ,5878 0,8090 0, ,9903 0,1392 7, ,6018 0,7986 0, ,9925 0,1219 8, ,6157 0,7880 0, ,995 0,105 9, ,6293 0,7771 0, ,9962 0, , ,628 0,7660 0, ,9976 0,0698 1, ,6561 0,757 0, ,9986 0, , ,6691 0,731 0, ,999 0,039 28, ,6820 0,731 0, ,9998 0, ,2900 0,697 0,7193 0, ,0000 0, ,7071 0,7071 1,

4 Eeíios esolvidos 1. etemin os vloes de, y e z efeentes às medids do tiângulo etângulo epesentdo pel figu io. y z 100 Resolução lssifim-se os elementos do tiângulo. teto do pojeção do teto soe z ltu hipotenus y 100 plindo elção méti efeente o teto : ? Æ Æ 5 6. omo 1 y Æ y Æ y plindo elção méti efeente à ltu: z ? 6 Æ z 5 dxxxxxxx 36? 6 5 8, pois z. 0. Logo 5 6, y 5 36 e z Um esd de 25 dm está poid, n vetil, em um muo, e pte mis lt d esd está 2 dm do hão. esej-se m om um od o pé d esd no muo, p evit que el esoegue. Qul deve se o ompimento d od, teto do pojeção do teto soe hipotenus 3. sendo que são neessáios 5 dm p fze s mções? Resolução ode-se epesent ess situção pel figu io. elo teoem de itágos: Æ 2 dm 25 dm Æ Æ Æ Æ Æ Æ 5 7 dm. otnto, são neessáios dm de od p m o pé d esd no muo, pois. 0. N figu segui, detemin os vloes de seno, osseno e tngente p os ângulos e. 15 m 20 m 25 m Resolução sen 5 teto oposto hipotenus os 5 teto djente hipotenus tg 5 teto oposto 5 20 teto djente omo , os 5 sen 5 5, sen 5 os e tg 5 5 tg 5 3. Eeíios popostos. N figu io, detemine s medids, y, t e z z y t No tiângulo o ldo detemine os vloes de seno, osseno e tngente dos ângulos e. 2 m 26 m 10 m 6. lule o vlo ds epessões: sen 7 1 os 32 ) os 3 1 sen 58 ) sen 18 1 os 72 sen losngo d figu o ldo tem medid d digonl meno igul m. etemine o peímeto desse losngo, em entímetos, sendo que sen ,

5 1 Tigonometi em tiângulos quisque eod Ângulo gudo ``É um ângulo uj medid está ompeendid ente 0 e 90. Ângulo eto ``É um ângulo uj medid é 90. Ângulo otuso ``É um ângulo uj medid está ompeendid ente 90 e 180. Ângulos omplementes ``ois ângulos são omplementes se, e somente se, som de sus medids é igul 90. Neste so, diz-se que um é o omplemento do outo. 2. Seno e osseno de ângulos otusos Utilizndo s elções tigonométis é possível esolve polems que envolvem qulque tiângulo. Qundo se tlh om tiângulos que não são etângulos, poém, pode ontee de um de seus ângulos intenos se otuso, ou sej, medid desse ângulo se mio que 90. e fto: Sej um tiângulo, om ângulos intenos de medids, e g. omo som dos ângulos intenos de qulque tiângulo é 180, qundo som ds medids de dois ângulos fo meno que 90, isto é, ( 1 g), 90, medid do outo ângulo seá dd po ( 1 g), ou sej,. 90. Ms, omo se tt de um tiângulo, 90,, 180, ou sej, o ângulo é um ângulo otuso. Seno 1 1 g Seno e osseno de ângulos otusos osseno 90 Ângulos suplementes ``ois ângulos são suplementes se, e somente se, som de sus medids é igul 180 o. Neste so, diz-se que um é o suplemento do outo. 180 sen 5 sen (180 2 ) seno de um ângulo otuso é igul o seno do suplemento desse ângulo. Eemplo sen 120 é detemindo pel elção sen 5 sen (180 2 ), pois 120 é um ângulo otuso. suplemento de 120 é ddo po otnto, sen sen 60 5 dxx 3 2. os 5 2os (180 2 ) osseno de um ângulo otuso é oposto o osseno do suplemento desse ângulo. Eemplo os 135 é detemindo pel elção os 5 2os (180 2 ), pois 135 é um ângulo otuso. suplemento de 135 é ddo po otnto, os os dxx 2 2. sevção Esss elções seão estudds no pítulo soe ilo tigonométio. Eeíios popostos etemine os vloes de seno e osseno, onfome indido, dos seguintes ângulos otusos. ) sen 170 d) sen 10 ) sen 125 e) os 15 ) os 175 f) os 165 Julgue s sentençs io omo veddeis ou flss, justifindo. ) sen 135. sen 5 e) os 130, os 50 ) sen 170, sen 10 f) os 150. sen 30 ) sen sen 15 g) os 30. sen 60 d) os os 60 h) sen 5 5 os etemine os vloes ds seguintes epessões: sen 20 1 sen 160 ) sen 20 ) os 50 1 os 130 os 0 ) sen 30 1 sen 5 1 sen 90 1 sen sen 135 d) os 0 1 os 60 1 os 5 1 os os 135 e) (sen sen 5 )2 1 sen 0 1 (sen sen 30 ) 2 sen sen 5 f) (os 0 1 os 30 )2 1 os (os os 20 ) 2 sen os 2 5 1

6 3. Lei dos senos Em gel, os polems de geometi que envolvem tiângulos estão eliondos om deteminção ds medids de seus ldos e ângulos. N mioi dos sos, esses polems podeão se esolvidos plindo lei dos senos e lei dos ossenos, que seão pesentds segui. Nesses sos seá neessáio dispo de pens um dests tês infomções: tês ldos; dois ldos e um ângulo; ou dois ângulos e um ldo. Teoem Em um tiângulo qulque, s medids dos ldos são popoionis os senos dos ângulos opostos, e esss zões são iguis à medid do diâmeto d iunfeêni iunsit esse tiângulo. eod Ângulos insitos ``Se, em um mesm iunfeêni, dois ângulos insitos têm o mesmo o oespondente, então esses ângulos são onguentes. M emonstção onsidee um tiângulo, om ldos de medids, e e ângulos intenos de medids, ^ ^ e, ^ insito em um iunfeêni de ento e io R. ˆ Â Ĉ pti do vétie, onstói-se o diâmeto. ess mnei fim detemindos os tiângulos etângulos e. seve que: ^ > E ^ e ^ >, ^ pois são ângulos insitos que têm o mesmo o oespondente; 5 2, pois epesent um diâmeto d iunfeêni. omo ^ > E, ^ segue que sen E ^ 5 sen ^ 5 2 Æ sen ^ 5 2. nlogmente, omo ^ >, ^ então sen ^ 5 sen ^ 5 2 Æ sen ^ 5 2. Em seguid onstói-se, pti do vétie, o diâ meto E. ssim, detemin-se o tiângulo etângulo E. seve que: ^ > F ^, pois são ângulos insitos que têm o mesmo o oespondente; ˆ E 5 2, pois epesent um diâmeto d iunfeêni. ˆF otnto, omo ^ > F ^, então E sen ^ 5 sen F ^ 5 2 Æ sen ^ 5 2. ssim, fi povd lei dos senos, que pode se esumid pel seguinte epessão. Â Ĉ ˆ Ê N ˆN otnto, de odo om figu N> ^. ^ Tiângulos insitos ``Todo tiângulo insito em um iunfeêni, tl que um de seus ldos oesponde o diâmeto, seá um tiângulo etângulo. N figu, os tiângulos e são etângulos, pois um de seus ldos (o ldo ) oesponde o diâmeto d iunfeêni. ˆ Q sen ^ 5 sen ^ 5 sen ^

7 1 Tigonometi em tiângulos quisque Eeíios esolvidos 11. onside o tiângulo insito n iunfeêni de ento. e odo om s infomções d figu, detemin o io R d iunfeêni. 2 R 5 Resolução el lei dos senos, tem-se que sen ( ) ^ 5 2R Æ Æ dxx 2 sen 5 5 2R Æ dxx 2 5 2R Æ R 5 1. dxx Em um tiângulo MN, MN 5 30 m, M N ^ 5 60 e M ^ N etemin medid do ldo M. Resolução e odo om o enunido, tem-se seguinte situção: 30 m N 60 M 30 el lei dos senos, veifi-se que: MN sen (M ^ N ) 5 M sen (M N) ^ Æ 30 sen 30 5 sen 60 Æ Æ 5 30dXX 3 m. dxx 3 2 Eeíios popostos 13. tiângulo XYZ está insito em um iunfeêni de ento e io R. e odo om os ddos d figu, detemine medid do io d iunfeêni. Y 60 X R 2 3 Z 17. Um vião está vondo 5000 m de ltu. Um pssgeio vist o topo de dois pédios e su fente so ângulos de depessão de 30 e de 75, espetivmente, onfome most figu. Sendo que os pédios têm 100 m de ltu, detemine distâni ente esses pédios Um tiângulo KLM está insito em um iunfeêni de io. Se L K ^ M 5 30, detemine medid do segmento LM. 15. N figu, 5 12 m, 5 9 m e ^ etemine o seno do ângulo. ^ 12 9 ^ qudiláteo d figu é um etângulo. Se-se que medid de é igul 12 m e que ^ hmndo de medid do ângulo E ^ e medid do segmento E, detemine o vlo de, qundo E 18. No tiângulo RST io detemine medid ST 5, sendo que sen dxx 6 1 dxx 2. S 2 m R 19. Investigção. Em dupl, deve-se onstui um tiângulo om vets que possum medids iguis 20 m, 2 m e 30 m. d integnte deve medi um dos ângulos om um tnsfeido e em seguid utiliz ess medid p lul dos outos dois ângulos pel lei dos senos. unte os álulos, os integntes não devem to infomções. pós os álulos, os integntes deveão omp os esultdos. ) s esultdos são etmente iguis? ) isutm quis etps do poesso de álulo devem te ontiuído p eventuis difeençs e disutm o que pode se feito p minimizá-ls T 16

8 . Lei dos ossenos teoem de itágos se most muito efiiente n deteminção ds medids dos ldos de tiângulos. Entetnto, su utilizção é limitd os tiângulos etângulos. Seá estuddo segui outo teoem impotnte, hmdo de lei dos ossenos, que seá utilizdo om mesm finlidde do teoem de itágos, poém vleá p quisque tiângulos. onsidee p onstução de um tiângulo os seguintes elementos. us vets de ompimentos e, fids em um de sus etemiddes (ponto ) de modo que sej possível pens otção em tono desse ponto. Um nte, de ompimento, fido n out etemidde de d vet. ^ o ângulo ente s vets e. qudo segui ilust tods s possíveis situções p onstução de um tiângulo. 5 90, Teoem de itágos , ou lgo ou lgo Se o ângulo fomdo pels vets é igul 90, veifi-se que 2 é igul à som de 2 om 2. Ess elção é veifid pelo teoem de itágos. Se o ângulo fomdo pels vets fo meno que 90, ou sej, se fo um ângulo gudo, veifi-se que 2 é meno que som de 2 om 2. Ms, se fo sutído um númeo popido d som de 2 om 2, o vlo estnte podeá se igul 2. Se o ângulo fomdo pels vets fo mio que 90, ou sej, se fo um ângulo otuso, veifi-se que 2 seá mio que som de 2 om 2. Ms, se fo diiondo um númeo popido à som de 2 om 2, o vlo estnte podeá se igul 2. segui, seá demonstdo que esse lgo que deveá se diiondo ou sutído é epessão 2??? os. ^ Teoem Em um tiângulo qulque, o quddo d medid de um ldo é igul à som dos quddos ds medids dos outos dois ldos, menos dus vezes o poduto desses dois ldos pelo osseno do ângulo oposto. demonstção do teoem seá feit em dus etps. N pimei etp seá onsidedo o so em que o tiângulo é utângulo, ou sej, qundo todos os ângulos são gudos. N segund etp seá estuddo o so em que o tiângulo é otusângulo, ou sej, qundo o tiângulo tem um ângulo otuso. ssim, todos os tiângulos possíveis seão estuddos, e o esultdo otido em d etp é lei dos ossenos. 17

9 1 Tigonometi em tiângulos quisque emonstção d lei dos ossenos Tiângulo utângulo Tiângulo otusângulo h h ˆ m n 180º ^ p q nlis este so, tç-se ltu do tiângulo utângulo em elção o ldo. ssim, otêm-se dois tiângulos etângulos, e, em que são válids s seguintes elções: : 2 5 n 2 1 h 2 I : 2 5 m 2 1 h 2 Æ h m 2 II Sustituindo equção II em I tem-se 2 5 n m 2 III figu, se-se que 5 m 1 n, então n 5 2 m Sustituindo n equção III otém-se 2 5 ( 2 m) m m 1 m m m 1 2 IV omo os 5 ^ m tem-se m 5? os ; ^ sustituindo em IV onlui-se que ??? os 1 ^ ??? os ^ nlis este so, tç-se ltu do tiângulo otusângulo em elção o ldo. ssim, otêm-se dois tiângulos etângulos, e, em que são válids s seguintes elções: 2 5 h 2 1 q 2 I : q 5 p 1 II Sustituindo equção II em I, tem-se 2 5 h 2 1 (p 1 ) 2 Æ 2 5 h 2 1 p 2 1 2p 1 2 III No tiângulo são válids s elções: 2 5 h 2 1 p 2 : os (180 2 ) ^ 5 p Æ p 5? os (180 2 ) ^ IV Então, sustituindo s equções de IV em III, otém-se p ??? os (180 2 ) ^ 1 2 V omo os (180 2 ) ^ 5 2os, ^ sustituindo em V tem-se: ??? os ^ Eeíio esolvido 20. e odo om figu io, detemin o vlo d medid do ldo Resolução omo são onheids s medids dos ldos e e do ângulo ente eles, é possível detemin medid de utilizndo lei dos ossenos. Então: sevção os tiângulos etângulos pli-se lei dos ossenos soe o ângulo de 90. Seá mostdo nos pítulos seguintes que os 90 é igul zeo. ssumindo ess infomção e plindo lei dos ossenos, veifi-se que: ??? os 90 Æ otnto Note que o esultdo otido é etmente o teoem de itágos. om isso pov-se veidde d lei dos ossenos tmém p tiângulos etângulos. 50 () 2 5 () 2 1 () 2 2 2? ()? ()? os ( ) ^ 5 5 (8) 2 1 (12) 2 2 2? (8)? (12)? os (120 ) omo 120 é um ângulo otuso, o seu osseno é detemindo po: os 5 2os (180 2 ) Æ os os ( ) 5 2os (60 ) Sustituindo o vlo do osseno de 120 n epessão enontd, onlui-se que () ? ( ) dxxxx 30 5 dxxx 19 18

10 Eeíios popostos 21. Em um tiângulo, se-se que 5 8 m e 5 6 m. lém disso, é onheid medid do ângulo, ^ que vle 60. Nesss ondições, detemine medid de. 22. e odo om figu, detemine os tiângulo segui epesent um nteio delimitdo pels us epesentds po, e. e odo om os ddos d figu, qul é o ompimento d u epesentd po? 2. qudiláteo epesent um pç n fom de um tpézio. 100 m m N figu, é um qudiláteo qulque. Utilizndo os ddos d figu, detemine medid onstu, utilizndo um ompsso, um tiângulo om ldos de medids iguis 3 m, m e 5 m. ) Indique qul é o meno ângulo desse tiângulo. ) lule o vlo do osseno do ângulo indido no item nteio. 28. figu epesent um mp em esl 1 : 1 000, indindo tês pontos em um selv. s ldos do tiângulo epesentm os possíveis minhos p deslo-se ente esses pontos. Um gupo de migos está n posição epesentd pelo ponto. Qunto eles ião peoe p heg à posição epesentd pelo ponto, sendo que utilizão o minho mis uto? 3 m 30 8 m m esej-se onstui um e epesentd pel digonl. esponsável pel omp do mteil se equivoou e ompou 50% de mteil mis do que o neessáio p onstução d e. Ele ompou mteil p quntos metos de e? 25. qudiláteo RSTV io é um plelogmo. Utilizndo s infomções foneids n figu, detemine medid d digonl VS. V R 15 m 12 T S 29. Investigção. Em dupls, povidenie seis vets om 32 m de ompimento, um tnsfeido e um égu. Um integnte d dupl deveá ot tês ds vets nos seguintes ompimentos: 20 m, 28 m e 32 m. outo integnte deveá ot s outs tês vets ns medids: 12 m, 28 m e 32 m de ompimento. Em seguid, d um deveá junt sus espetivs vets e fom um tiângulo. ) om o tnsfeido, meç os tês ângulos intenos do tiângulo fomdo. ) Utilizndo lei dos ossenos, lule os tês ângulos intenos desse tiângulo. ) Veifique se os esultdos otidos nos itens nteioes são os mesmos. d) ompe os seus esultdos om os do oleg d dupl. s tiângulos fomdos têm ângulos em omum? 19

11 1 Tigonometi em tiângulos quisque Eeíios omplementes lgums elções em tiângulos etângulos 30. Um et tngeni dus iunfeênis de ios 6 dm e dm, nos pontos e Q. s distânis ente os entos e é de 1 dm, omo most figu. 6 dm om se nesss infomções, detemine: ) distâni ente e Q. ) os ^ Q. ) sen Q. ^ 31. diâmeto d iunfeêni d figu io mede 5 m. ponto é ento d iunfeêni, o ponto T é o ponto de tngêni e é um ponto d iunfeêni. Nesss ondições, detemine distâni Q 5 d. T 1 dm Seno e osseno de ângulos otusos 33. lule o vlo do seno e do osseno dos seguintes ângulos. ) 110 ) 137 e) 160 ) 105 d) 12 f) Qul é o vlo d epessão io? sen os sen os 135 os 60 1 os 5 2 sen 30 6 m Q dm 32. N figu, s medid do tiângulo estão dds em entímetos. e odo om figu, qul é o vlo de y? y d 6 Q 3 Lei dos senos e lei dos ossenos 35. Em um tiângulo, se-se que os ldos e medem, espetivmente, m e 6 m. ângulo ente esses dois segmentos mede 35. etemine medid do ldo. 36. No mp io, está epesentdo o quteião. esej-se onstui um lçdão etilíneo p pedestes ligndo os véties e. Sendo que 5 00 m, m e que medid de ^ é 130, detemine o ompimento desse lçdão. R. R. R. Nzé ulist R. end Luis R.Livi ç José lves Nendo R. Rul dleto 37. Em um tiângulo são onheids s medids de dois de seus ldos, 5 3 m e 5 m. hmndo de o ângulo ^, fomdo pelos ldos e, espond. ) Se 5 3 m, lule o vlo de os. ) Se sen ( ^ ) 5 1, lule o vlo de sen. 38. João possui um teeno qudngul MNQ e desej onstui um jdim limitdo pelos segmentos MQ, QNe MN, ujs medids estão indids n figu, em metos. que seu hoo não destu s sus plnts, João iá onstui um e em tono do jdim. etemine quntos metos de e João deveá onstui. Q 39. lule, de odo om figu io, medid do ldo e o seno do ângulo ^. 60 M R. Me. ngéli Resende mpos 1 2 de R. Eng. Leite Mio N 20

12 0. s tiângulos e EF io são semelhntes. etemine medid do segmento E, sendo que s dimensões dos tiângulos e EF estão n zão de 1 : NS (gêni Espil Note-mein) utiliz ços meânios p jud nos epos etenos d espçonve, omo most fotogfi io. E 1. Um tiângulo equiláteo está insito em um iunfeêni de io 3. etemine medid do ldo desse tiângulo. 2. tiângulo io foi onstuído em um mlh qudiuld, onde d quddo mede 1 m de ldo. etemine o osseno do ângulo. ^ F figu io esquemtiz um detemind posição do ço meânio. 2 m m 3. N figu segui, o tiângulo QR está insito n iunfeêni de ento e io. om se nos ddos d figu, detemine medid do ldo Q. ) e odo om os ddos d figu, detemine distâni ente os pontos e. ) Mntendo fis s posições de, e, nlise o que ooe om medid d distâni ente e qundo ltemos o ângulo ^. 75 esfios de lógi Q 5 R 7. Um tiângulo é fomdo po dez otões e está pontndo p im. Mov pens tês otões p fze o tiângulo pont p io.. No tiângulo segui detemine o vlo de. N s ldos de um tiângulo têm omo medids númeos inteios onseutivos uj som é 15. ) lule medid do mio ângulo desse tiângulo. ) lule medid do meno ângulo desse tiângulo. ) Se o seno do meno ângulo mede dxx 7, detemine o seno do mio ângulo. M Me pens um plito p ote um epessão oet. ) ) 21

13 1 Tigonometi em tiângulos quisque Intege o pendizdo 9. lgums gndezs d Físi, p fiem ompletmente definids, equeem tês tiutos: módulo, dieção e sentido. Esss gndezs são hmds de gndezs vetoiis. símolo que epesent um gndez vetoil é hmdo de veto. Sejm V 1 e V 2 dois vetoes. som desses vetoes é um teeio veto hmdo de veto esultnte ( V R ), ou sej, V R 5 V 1 1 V 2. detemin o veto esultnte, utiliz-se eg do plelogmo, que onsiste em olo s oigens dos dois vetoes em um mesmo ponto e onstui um plelogmo, om segmentos plelos esses vetoes. veto som (ou veto esultnte) seá epesentdo pel digonl do plelogmo, uj oigem tmém oinide om dos dois vetoes. ) Sendo que o usto de onstução d pist de oope é de RS 150,00 p d meto de ompimento d pist, detemine o vlo totl se gsto ness onstução. ) Respond sem fze onts: se o ângulo medi 15, o usto d pist deve se mio ou meno que do item nteio? o quê? 51. figu segui epesent um lão peso po meio de dois os, nos pontos e. V 1 V R 100 m 75 m V 2 ) om se nesss infomções, desenhe em seu deno o veto esultnte d som dos vetoes epesentdos io e detemine o vlo de seu módulo ) Fome um gupo de ino lunos. Utilizndo vetoes de mesmo módulo do item nteio, d um deveá epesent em um folh sepd esultnte ds foçs p um dos seguintes ângulos: 50, 0, 30, 20 e 10. ompe os esultdos. que ontee om o ompimento ds esultntes? ) etemine os vloes ds esultntes e veifique se os esultdos otidos são oeentes om s onlusões do item nteio. 50. Em um idde há um pç em fom de um íulo de ento e io 2 km. pefeito mndou onstui um pist de oope, epesentd n figu io pelo segmento ) Se o ângulo fomdo pelos dois os é de 138, detemine distâni ente os pontos e. ) que onteei om o ângulo ente os os se, mntendo distâni ente os pontos e, fossem eduzidos seus ompimentos? ) Se distâni ente os pontos e fo eduzid, o que ontee om o vlo do ângulo fomdo pelos os? Justifique. 52. Um tto fiou toldo em um estd de te. etiá-lo, fom mds dus ods p que dois ônius pudessem puá-lo p fo d estd, omo ilust figu. F 1 10 N 20 F 2 10 N ) etemine foç esultnte (o veto esultnte) equivlente esss dus foçs. ) destol o tto é neessáio que foç esultnte sej mio do que 23 N. onfome o esquem epesentdo, os ônius onseguião destolá-lo? Em so negtivo, foneç um novo ângulo ente s foçs om que os ônius possm destol o tto. ) Em que situção se otém melho onentção de foçs? Justifique. 22

14 53. onsidee um elógio iul de ponteios. o ento às etemiddes, o ponteio dos minutos mede 20 m, e o ds hos mede 10 m. ) etemine distâni ente s etemiddes dos ponteios qundo o elógio m 5 hos. ) Indique um hoáio em que distâni ente s etemiddes dos ponteios sej de 10dXX 3 m. 5. piâmide egul epesentd io tem se qudd de ldo 5dXX 2 m e ltu 12 m. 55. s figus io epesentm um tiângulo utângulo e um tiângulo otusângulo EF, sendo um ângulo otuso. Se-se ind que 5 5 E 5 EF 5 10 e que e são ângulos suplementes. om se nesss infomções espond às seguintes questões. F E ) etemine o osseno de ^, ângulo fomdo po dus ests lteis onseutivs. ) que o ângulo do item nteio sej mio, o que deve ontee om ltu d piâmide? ) que se pode pli p detemin s medids dos segmentos e F? ) qul intevlo de vloes de o tiângulo é utângulo? ) N figu o ldo, tem-se um iunfeêni de io 10 e ento. ssoie os tiângulos epesentdos om M N os tiângulos e EF. d) Qul é medid do ângulo M ^ N? e) Se 5 e F 5 y, qul é o vlo de 2 1 y 2? Epessão e lingugem mtemáti 1. seve esent-se 1 unidde Suti-se 1 unidde esquem im most que, o vi em 1 unidde medid de um dos ldos do tiângulo etângulo, mntendo s medids dos outos ldos, otém-se outo tiângulo difeente do pimeio. seve que houve um tnsfomção geométi do seguinte modo: tnsfomção d medid de um únio ldo impli n tnsfomção do ângulo eto. 5 2? ? Reflit Simule mentlmente outs tnsfomções geométis no tiângulo etângulo, sempe esentndo ou sutindo 1 unidde de pens um de seus ldos. Que elção voê imgin que poss eisti ente tnsfomção d medid do ldo e tnsfomção do ângulo eto? mesm tnsfomção geométi im pode se intepetd tmém lgeimente. omo fi sentenç lgéi pós tnsfomção geométi? 3. Investigue Teste o fto geométio im om outos tiângulos etângulos sempe utilizndo simulção mentl. Veifique se em tods s simulções feits po voê vlidde ds sentençs lgéis se onfimm. 23

15 Esttégis e soluções Quem está flndo vedde? ndé, uno e láudi estvm jogndo futeol qundo um deles deu um hute fote e ol etou vidç... lgum ds inçs está flndo vedde? Qul?» Identifição e egisto de infomções onsidee s fls ds pesongens n segund en p esponde às póims quto questões. 1. Quis possiiliddes de espost p esse polem voê imgin que possm ooe? 2. Se o ndé estive mentindo, o que se pode onlui de imedito? 3. E se o uno estive mentindo, qul é onlusão imedit?. Se láudi estive mentindo, isso signifi que o ndé e o uno estão flndo vedde?» Eloção de hipóteses e esttégis de esolução 1. onsidendo sus esposts nteioes, eloe tods s hipóteses p espost do polem, egistndo-s em seu deno. 2. Teste s hipóteses que voê eloou, onfontndo d um om fl ds tês inçs n segund en. 3. lgum ds tês inçs está flndo vedde? Quem? Justifique su espost.. Qul ds tês inçs hutou ol?» Refleão 1. É possível ote solução do polem utilizndo out esttégi? esev-. 2. Voê já onhei polems omo este? esev-os. 3. Um polem semelhnte este pode se otido onsidendo um únio pesongem que us si pópio de mentioso, omo no qudo o ldo. Nesse so, ndé está mentindo ou flndo vedde?. simplifição d situção pesentd tonou o polem mis simples? Justifique. 5. É possível esolvê-lo? Eplique. Resolv os polems 1 e 8 ds págins 366 e

16 Roteio de estudos Seno e osseno de ângulos otusos onsidee um ângulo otuso qulque. detemin senos e ossenos de ângulos otusos, podem-se utiliz s seguintes elções. sen 5 sen (180 2 ) os 5 2os (180 2 ) Retome os onteúdos om os eeíios popostos 8 e 9 e om os eeíios omplementes Resolv o eeíio 30 de Vestiul e Enem. esfio 1 etemine o vlo de p que s seguintes epessões sejm veddeis: ) sen (180 2 ) 5 os (180 2 ) ) sen (180 2 ) 5 os (180 2 ) esfio 2 oloque os vloes indidos io em odem esente. sen 120 sen 150 sen 135 sen 100 os 120 os 135 os 150 Lei dos senos Em um tiângulo qulque, s medids dos ldos são popoionis os senos dos ângulos opostos, e esss zões são iguis à medid do diâmeto d iunfeêni iunsit esse tiângulo. esfio 3 Um ijutei é moldd n fom de um estel egul de quto ponts. jud mold ess ijutei, são utilizds dus iunfeênis, de modo que mio tem io igul m. om se nesss infomções e onfome figu io, detemine o peímeto d estel. ^ ^ R ^ 30 sen ^ 5 sen ^ 5 sen ^ 5 2R Retome os onteúdos om os eeíios popostos 13, 15, 16 e 18 e om os eeíios omplementes 0 e 3. Resolv o eeíio 38 de Vestiul e Enem. Lei dos ossenos Em um tiângulo qulque, o quddo d medid de um ldo é igul à som dos quddos ds medids dos outos dois ldos, menos dus vezes o poduto desses dois ldos pelo osseno do ângulo oposto. ^ ??? os ^ Retome os onteúdos om os eeíios popostos 21 o 29 e om os eeíios omplementes 35, 37 e 38. Resolv os eeíios 21, 33 e 39 de Vestiul e Enem. esfio onsidee o tiângulo io. Se-se que os ldos do tiângulo estão em entímetos e que são válids s elções segui. 3? 5 8? 3? 5 10? Qul é o vlo poimdo do ângulo inteno oposto o ldo que mede entímetos? 25