Problema de três corpos. Caso: Circular e Restrito

Transcrição

1 Poblema de tês copos Caso: Cicula e Restito

2 Tópicos Intodução Aplicações do Poblema de tês copos Equações Geais Fomulação do Poblema Outas vaiantes Equações do Poblema Restito-Plano-Cicula Integal de Jacobi Cuvas de Hill

3 Intodução Poblema dos tês copos Desceve o movimento de um copo, de massa m, obitando ao edo de um copo pincipal m e petubado po um copo de massa m. Não possui uma solução geal analítica e fechada, como o poblema de dois copos. Existem soluções paticulaes conhecidas, como a solução de Lagange.

4 Caso paticula: Poblema cicula estito de tês copos: Desceve o movimento de uma patícula m, de massa despezível, obitando ao edo de um copo pincipal m e petubado po um copo de massa m. Cicula poque o copo de massa m está em óbita cicula ao edo do copo pincipal. Restito poque a patícula não petuba o movimento dos dois copos pimáios. Intodução 4

5 Objetivo Detemina os possíveis movimentos da patícula dadas as coodenadas e velocidades do sistema em uma dada época. 5

6 Aplicações do Poblema Restito O movimento de cometas e asteóides no Sistema Sola. Excelentes esultados são obtidos assumindo-se que o Sol e Júpite dominam o movimento de um cometa ou de um asteóide de massa despezível (m =Sol e m =Júpite); A tajetóia de um veículo espacial se diigindo ao Sistema Sola Exteio (ao planeta Júpite, po exemplo: m =Sol e m =Júpite); A tajetóia de uma sonda luna (m =Tea e m =Lua); Manobas gavitacionalmente assistidas (swingsby). As Voyages que voaam paa os planetas exteioes (a pati de Júpite) com o uso de swing-bys sucessivos nos planetas visitados, onde ganhaam enegia. 6

7 Equações de Movimento do Poblema Geal = Gm + Gm Valem Valem paa paa qualque qualque sistema sistema de de tês-copos tês-copos = Gm = Gm + Gm + Gm () Note Note o sinal sinal da da segunda segunda pacela pacela do do segundo segundo membo membo tem tem sinal sinal positivo positivo devido devido a invesão invesão de de posições posições ente ente os os dois dois vetoes vetoes posição posição no no numeado. numeado. 7

8 Fomulação do Poblema Restito-Plano-Cicula Poblema estito-plano-cicula de tês copos Deseja-se conhece o movimento de um copo m de massa despezível em tono de um sistema composto po m e duas outas massas finitas m e m. Assumem-se que foças gavitacionais atuem no sistema, que as óbitas de m e m em tono de seu cento de massa comum sejam ciculaes e que m se mova apenas no plano da óbita de m e m. 8

9 Outas vaiantes Poblema estito-tidimensional-cicula de têscopos, onde m tem o movimento pemitido em todo espaço, e não fica mais estingido ao plano obital de m e m ; Poblema estito-plano-elíptico de tês copos, onde as óbitas de m e m em tono de seu cento de massa comum são elípticas; Poblema estito-plano-cicula-fixo de tês copos, onde m e m se move em tono desse sistema. 9

10 0 Equações paa o Poblema Restito-Plano-Cicula Considee m 0 nas equações (). Gm = Gm = Gm Gm + = ()

11 Agoa é possível detemina o movimento dos dois pimáios e depois estuda o movimento do teceio copo. O sistema pode se esolvido completamente paa os copos m e m. A solução é dada pelo poblema de dois copos (óbitas ciculaes, elípticas, paabólicas ou hipebólicas). Isto ocoe poque a massa do copo m não petuba o movimento dos pimáios, mas apenas é petubado po eles. Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula

12 O sistema dado pelas equações (), que é de odem 8, fica eduzido a um sistema de odem seis (no caso tidimensional), dado apenas pela última das equações de (). No caso do poblema plano, a edução é de paa 4 gaus de libedade. Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula

13 x Considee Considee um um sistema sistema de de efeência efeência inecial inecial de de coodenadas coodenadas (ξ,η) ( x, y) (ξ,η) centado centado no no cento cento de de massa massa do do sistema. sistema. O eixo eixo ξξ está está ao ao longo longo da da linha linha que que une une as as massas massas m e m e o eixo eixo η é pependicula pependicula a ξ. ξ. Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula

14 Sejam (ξ, η ) e (ξ, η ) as coodenadas de m e m. (Lembe-se estamos tatando do caso plano e ζ = 0, sempe). x Como m está em óbita cicula ao edo de m seá assumido que a distância de sepaação ente eles (que é constante) é e que a unidade de massa: µ = G( m + m ) = Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula 4

15 Assumindo que m > m : µ = então neste sistema de unidades, x as duas massas são: µ = Gm = µ µ = Gm = µ onde µ < e µ +µ =. Da Teceia Lei de Keple, segue que o movimento médio comum, n, de das duas massas é também unitáio (n = ). m m + Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula 5 m

16 As coodenadas da patícula no sistema de efeência inecial são (ξ,η) e as equações do movimento da patícula x são: ξ = µ ξ ξ + µ ξ ξ η = µ η η + µ η η Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula 6

17 onde ( ) ξ ξ ( ) = + η η x ( ) ξ ξ ( ) = + η η Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula 7

18 Como as massas pincipais estão se movendo em óbitas ciculaes ao edo do cento de massa, a distância ente elas é constante x e essas massas movem com velocidade angula também constante. Potanto, pode se considea o movimento da patícula em um sistema de efeência giante, onde as massas pincipais estão fixas. Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula 8

19 Considee Considee um um sistema sistema de de coodenadas coodenadas giantes giantes (x,y) (x,y) com com oigem oigem no no cento cento de de massa. massa. A dieção dieção do do ( x, eixo eixo y) x x é x escolhido escolhido de de foma foma que que os os copos copos pincipais pincipais estejam estejam sempe sempe situados situados nesse nesse eixo. eixo. O eixo eixo y y é pependicula pependicula ao ao eixo eixo x. x. O sistema sistema gia gia com com velocidade velocidade angula angula n de de foma foma a acompanha acompanha o movimento movimento de de m e m e t t é o tempo. tempo. Em Em outas outas palavas, palavas, m e m ficam ficam fixos fixos nesse nesse sistema sistema de de Equações paa o Poblema Restito- efeência. efeência. Plano-Cicula 9

20 As coodenadas de m : (x,y ) = (-µ,0) e m : (x,y ) = (µ,0) onde x ( ) x + µ = y + ( ) x µ = y + Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula 0

21 Atavés da matiz de otação, elacionam-se as coodenadas (x,y) com as coodenadas (ξ,η) da foma: ξ = η = x cos nt x xsen nt + y sen y cos nt Emboa nosso sistema de unidades n =, as equações estão em função de n paa enfatiza que todos os temos nas equações do movimento estão aceleados. nt Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula

22 Difeenciando cada componente duas vezes em elação tempo, tem-se: ( ) ( x ny n x cosnt y + nx n y) µ x x + +µ x x cosnt + µ + µ ( ) ( x ny n x sen nt + y + nx n y ) µ x x + µ x x sen nt sen nt ysen nt Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula µ + µ cos = nt y = cos nt () (4)

23 Multiplicando a Eq.() po cos(nt) e a Eq. (4) po sen(nt) e somando-as, e multiplicando a Eq. () po sen(nt) e a Eq. (4) po cos(nt) e somando-as, obtem-se as equações do movimento da patícula no sistema giante: x ny y nx n n y x = µ x + µ µ µ = + + y µ (5) (6) Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula x µ

24 As aceleações podem também seem escitas como o gadiente de uma função escala U: x ny = U x onde U = U ( x, y) é dado po: y + nx U y (7) (8) = U n ( ) µ µ x + y = + + (9) Equações paa o Poblema Restito- Plano-Cicula 4

25 Integal de Jacobi O poblema cicula-estito de tês copos não tem solução analítica, mas podemos obte infomações sobe o sistema atavés da única integal pimeia do sistema, chamada de integal de Jacobi. 5

26 Multiplicando a Eq. (7) po dx/dt, a Eq. (8) po dy/dt e somando-as tem-se: U U du x x + yy = x + y = x y dt Integando, tem-se: (0) x + y = U C J () onde C J é a constante de integação. Integal de Jacobi 6

27 É impotante nota que não é uma integal de enegia poque no poblema estito nem a enegia e nem o momento angula é consevado. A integal de Jacobi é apenas uma integal do PCRC e significa que o poblema não pode se esolvido na foma fechada paa casos geais. Integal de Jacobi 7

28 e C J = n µ µ ( ) x + y + + x y () A integal de Jacobi também pode se escita em temos da posição e velocidade da patícula no sistema de efeência inecial utilizando a matiz de otação. Atavés da Integal de Jacobi pode-se detemina egiões onde o movimento da patícula é poibido consideando o caso onde a velocidade da patícula é igual a zeo. Integal de Jacobi 8

29 Quando v = 0 a Eq () fica na foma: U = C J ou ( ) µ µ C = J n x y () Esta equação define um conjunto de cuvas no plano xy paa um valo paticula de C J. Essas cuvas são denominadas Cuvas de velocidade zeo e elas deteminam egiões onde a patícula não podeá i. Integal de Jacobi 9

30 Exemplo µ =0, e n= Duas cuvas de velocidade zeo, onde em (a) C J =,9 e em (b) C J =,7. As áeas sombeadas denotam as egiões excluídas. Integal de Jacobi 0

31 Cuvas de Hill O movimento movimento somente somente é pemitido pemitido nas nas egiões egiões onde onde U>C U>C J, J, caso caso contáio contáio a velocidade velocidade ao ao quadado quadado teia teia que que se se negativa, negativa, o que que é uma uma impossibilidade impossibilidade física. física.

32 Se ambos C J (= C ) e (x +y ) foem gandes, então a equação é um cículo. E a patícula deve esta foa dos limites da egião sombeada. Se pequeno, a patícula deve esta póxima de m, dento da oval esqueda. Se pequeno, a patícula deve esta póxima de m, dento da oval dieita. Cuvas de Hill

33 As egiões sombeadas são aquelas em que o movimento não é pemitido. Se a patícula começa póxima de m ou m, ela se mantém dento das espectivas ovais. Uma tansfeência de de m ou m ou vice-vesa é impossível, pois a patícula teia que cuza uma egião poibida. Lembe-se de que essa ega vale paa o movimento natual e o uso de empuxos altea o valo de C. Da mesma foma, a patícula não pode escapa do sistema paa o infinito. Cuvas de Hill

34 Po outo lado, se a patícula começa seu movimento longe dos pimáios, fica impossível uma apoximação com eles. Note que a oval em tono de m é maio que a oval em tono de m. Isso ocoe poque µ >µ (µ <0,5), pemitindo uma maio valo de no temo µ /. Cuvas de Hill 4

35 Diminuindo o valo de C paa C, nota-se que as ovais aumentam de tamanho ( ou cescendo, diminuem as contibuições de µ / e µ / paa o valo de C) e a cuva extena encolhe ((x +y ) diminui com C). As ovais se toca no ponto chamado de L. Cuvas de Hill 5

36 Esse é o valo de C paa o qual passa a se possível uma tansfeência com movimento natual ente m e m. A tansfeência ente o infinito e a vizinhança de m -m ainda pemanece poibida. Cuvas de Hill 6

37 Com uma nova edução no valo de C paa C, notamos que a cuva extena diminui ainda mais e a intena aumenta. Isso faz com que a egião de comunicação ente m - m aumente de tamanho. Cuvas de Hill 7

38 Quando C se eduz paa o valo C 4, ocoe o contato ente as cuvas intenas (que continuam cescendo) e extena (que continua decescendo). Esse segundo contato ocoe pimeio no ponto chamado L. Cuvas de Hill 8

39 A pati desse valo passa a have comunicação ente a vizinhança do sistema m -m e o infinito. Pssando pela vizinhança de L é possível paa a patícula enta ou sai da vizinhança do sistema m -m. Cuvas de Hill 9

40 Uma nova edução de C paa C 5. A egião poibida fica cada vez meno, e a comunicação ente m -m com o infinito aumenta cada vez mais. Nesse valo de C, ocoe ligação ente o infinito e a egião póxima de m -m pelo lado esquedo. Esse ponto de contato é chamado de L.. Cuvas de Hill 40

41 Uma maio diminuição de C paa C 6 eduz ainda mais a egião poibida. Agoa apenas as vizinhaças de dois pontos, chamados de L 4 e L 5, pemanecem como egiões poibidas. A patícula pode se move po todo o plano, exceto nas egiões póximas de L 4 e L 5. Cuvas de Hill 4

42 Reduzindo ainda mais o valo de C paa um valo meno que o valo associado aos pontos L 4 e L 5, o movimento passa a se pemitido em todo o plano xy. Cuvas de Hill 4