ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 z Questão 1 (3,0 pontos). N figu o ldo, os vétices FGH deteminm um cubo de ldo. os vétices, e G desse cubo plicm-se s foçs indicds. ede-se: () detemin esultnte do sistem de foçs; (b) detemin o momento esultnte em elção o pólo ; (c) detemin o momento esultnte em elção o eixo H; x H G F y (d) veific se o sistem é edutível um únic foç; (e) detemin o momento mínimo do sistem de foçs. RSOLUÇÃO esultnte do sistem de foçs é: R = Fj + Fk Fi Fk = Fi + Fj O momento esultnte em elção o pólo, é: M = ( ) ( Fj + Fk ) + ( ) ( Fi ) + ( G ) ( Fk ) M = k Fj + Fk + i + j + k Fi + i + j Fk M = Fi + Fk Fj + Fj Fi = Fi + Fk M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O momento esultnte no eixo H, é: O invinte escl do sistem de foçs, é: I = R. M = ( Fi + Fj ) ( Fi + Fk ) = F 0 omo R 0 e I 0, o sistem de foçs ddo não é edutível um únic foç. (1 ponto) O momento mínimo do sistem de foçs é: M min = M R R = R R I R F R = F + F ( Fi + Fj ) = Fi + Fj

2 Questão (3, pontos). O sistem ilustdo n figu bixo é constituído po um plc homogêne F, de mss m, e po um b H, de mss despezível. plc é ticuld à b em, sendo ligd um pede pln veticl (plno xz) po meio de um ticulção em e um nel em F. b H petence o plno yz e é ligd à pede veticl po meio de um ticulção em H. ede-se: () detemin posição do cento de mss d plc F; z H g 4 y (b) desenh os digms de copo live d plc e d b; (c) clcul s eções n ticulção e no nel F; (d) clcul s foçs n b H. RSOLUÇÃO O cento de mss d plc F é obtido supondo que el sej o esultdo d composição de um plc qudd de ldo e densidde positiv e de um plc qudd de ldo e densidde negtiv, ou sej: ( ) ( ) + x G = = ( ) ( ) + y G = = F x Os digms de copo live d b e d plc são pesentdos ns figus segui: F H X Z Y F H G F H Z F (1 ponto) Y F

3 plicndo-se s equções de equilíbio à plc, tem-se: R = YF j + Z F k + X i + Y j + Z k k FH j + FH k (i) M = ( F ) ( X F i + Z F k ) + ( G ) ( k ) + ( ) FH j + FH k i ( YF j + Z F k ) + i + j ( k ) + j FH j + FH k YF k Z F j + j i + FH i (ii) equção vetoil (i) esultm: X (1) Y + YF FH () Z F + Z + FH (3) equção vetoil (ii) esultm: + FH (4) Z F + () Y F () Resolvendo-se o sistem de equções (1) () obtêm-se: X, Y =, Z =, Y F, Z F =, F H = (tção) (1 ponto) G 1 F 1

4 Questão 3 (3, pontos). estutu pln ilustd n figu é constituíd pels bs ticulds, e, de peso despezível. m há um poli de peso despezível que sustent um cg de peso po meio de um cbo inextensível e de peso despezível. ede-se: RSOLUÇÃO O digm de copo live do conjunto é pesentdo bixo: () desenh o digm de copo live do conjunto; (b) detemin s eções em e em ; (b) desenh o digm de copo live d poli; (c) desenh os digms de copo live ds bs, e ; (d) detemin s foçs intens tuntes ns bs, e. Y X X plicndo-se s equções do equilíbio do conjunto obtêm-se: X X (1) + + Y () M X + X = (3) Resolvendo-se o sistem de equções (1) (3), esultm:

5 Y =, X =, X = O digm de copo live d poli é pesentdo n figu bixo: T Y X plicndo-se s equções de equilíbio à poli, obtêm-se: M = + T T = (4) X Y T X = T () = Y () = Os digms de copo live ds bs, e são pesentdos ns figus bixo: V H F Y X F s equções de equilíbio d b fonecem: M 3 X = F X F + Y Y = F Y X F = s equções de equilíbio d b fonecem: (1 ½ ponto)

6 H + X 3 + H + + H = 0 V = V Y = Ns figus bixo pesentm-se os digms de copo live ds bs, e desenhdos em concodânci com os vloes ds componentes ds foçs intens clculds nteiomente., 1,, 1,