VETORES GRANDEZAS VETORIAIS

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1 VETORES GRANDEZAS VETORIAIS Gandezas físicas que não ficam totalmente deteminadas com um valo e uma unidade são denominadas gandezas vetoiais. As gandezas que ficam totalmente expessas po um valo e uma unidade são denominadas gandezas escalaes. Como exemplos de gandezas escalaes temos a massa, o tempo, a pessão, etc. Já as gandezas vetoiais, paa que fiquem totalmente definidas, necessitam de (no mínimo): Um valo numéico (módulo); Uma unidade; Uma dieção; Um sentido. Como exemplos de gandezas vetoiais temos: deslocamento, velocidade, foça, aceleação, campo elético, campo magnético, toque, etc. Um veto, po sua vez, tem tês caacteísticas: módulo, dieção e sentido. Paa epesenta gaficamente um veto usamos um segmento de eta oientado. Exemplo: No ponto A temos a oigem do veto e no ponto B temos a extemidade do veto, na qual se localiza sua seta. Nota: u significa unidade de compimento, que pode se, po exemplo, medida em centímetos (cm), metos (m), quilômetos (km), etc. O módulo do veto epesenta, numeicamente, o compimento de sua flecha ou, em outas palavas, a sua intensidade. No caso anteio, o módulo do veto é igual a distância ente os pontos A e B que, po sua vez, vale 3u. Paa indica os vetoes usamos algumas notações. Po exemplo, o veto V pode se caacteizado de duas fomas, confome abaixo: V = V (Lê-se: veto V) Ou seja, pode se uma leta (de pefeência escita em maiúsculo) em negito ou, então (como é mais usual), uma leta indicada po uma seta sob a mesma. O módulo de um veto é indicado utilizando-se duas baas veticais com a leta em negito (ou com seta) ente as mesmas ou, ainda, pela mesma leta sem negito e sem baas. Exemplo: V = V = V (Lê-se: módulo do veto V) OPERAÇÕES COM VETORES Vamos estuda agoa algumas das maneias de opea com as gandezas físicas vetoiais (ou com vetoes). Já estamos bastante familiaizados em soma ou subtai gandezas escalaes de uma mesma espécie: a) A adição de um compimento de 20 m de tecido com 40 m de outo nos fonece ceca de 20 m + 40 m = 60 m; b) Um volume de 5 L somado com um outo de 10 L nos fonece um volume esultante de 15 L; c) Se subtaimos 4 h, de um intevalo de tempo de 15 h, obteemos 15 h 4 h = 11 h; d) Já a opeação 10 L + 2 h não é possível se efetuada visto tata-se de gandezas de espécies difeentes. 1

2 ADIÇÃO (GRÁFICA) DE VETORES Podemos soma dois ou mais vetoes gaficamente paa obte um veto soma (veto esultante). Ligam-se os vetoes um ao outo, de maneia que a oigem de um fique com a extemidade do outo. As dieções/oientações espaciais dos mesmos devem se mantidas. Assim, o veto soma é aquele que tem sua oigem na oigem do 1º veto usado na soma e sua extemidade na extemidade do último veto somado. Exemplo: Sejam os vetoes A, B e C dados abaixo O veto soma S seá gaficamente dado, abaixo e ao lado (dieito), po: Analiticamente, o veto soma S é dado po: S = A + B + C (ou S = A + B + C ). SUBTRAÇÃO (GRÁFICA) DE VETORES Paa subtai dois vetoes adicionamos um deles ao oposto do outo. Exemplo: Usando os vetoes A e B do exemplo anteio, deteminamos o veto difeença D = A B invetendo o sentido de B (emboa sua dieção pemaneça a mesma ) confome abaixo. Analiticamente, o veto difeença D é dado po: D = A B. Ainda, confome mencionado, esta elação pode se entendida como uma soma (adição) do veto A com o oposto de B, ou seja, B. Assim, temos que: VETOR vesus NÚMERO REAL D = A + ( B) = A B O poduto de um númeo eal n po um veto A esulta em um veto (veto esultante) com sentido igual ao de A se n fo positivo ou sentido oposto ao de A se n fo negativo. O módulo do veto esultante é igual a n A. Exemplo: Seja o veto V multiplicado pelo fato 2 (isto é, n = 2). Obteemos um novo veto com o dobo do compimento de V, ou seja, 2V. Se multiplicamos 2V po 1 obteemos um veto de mesmo compimento, mesma dieção, poém com sentido contáio, como é o caso de 2V. Se dividimos o veto V po 2 obteemos um veto com metade do compimento do veto oiginal (V), ou seja, 0,5V. 2

3 REGRA DO PARALELOGRAMO Podemos usa a Rega do Paalelogamo paa detemina o módulo do veto soma (esultante) R ente dois vetoes qualque, A e B, que fomem um ângulo θ ente eles. Rega: Escolhe-se um ponto P qualque. Coloca-se a oigem dos dois vetoes nesse ponto. Completa-se o paalelogamo usando linhas imagináias. O veto esultante tem oigem no ponto P e tem a mesma dieção da diagonal que pate de P. Utilizando-se a Lei dos Co-senos pode-se deduzi que a magnitude do veto esultante R é dada po: R 2 2 = A + B + 2 A B cos( θ ), onde θ é o ângulo ente as dieções dos dois vetoes A e B. No caso em que θ fo igual a 90º ou 270º (ou seja, os vetoes A e B são pependiculaes ente si), a ega do paalelogamo ecai no Teoema de Pitágoas. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES A decomposição de vetoes pemite detemina dois novos vetoes (denominados componentes do veto oiginal) os quais epesentam veto oiginal quando os mesmos são somados vetoialmente, segundo o teoema de Pitágoas. Assim sendo, a decomposição de vetoes é usada paa facilita o cálculo algébico do veto esultante em um sistema de vetoes. Na figua ao lado, o veto F, aplicado na oigem do sistema de coodenadas xy, foma um ângulo α (alfa) com a hoizontal (fequentemente o eixo x) e, em outas palavas, um ângulo β com a vetical (fequentemente o eixo y). O veto F x epesenta o veto componente hoizontal do veto F (ou componente do veto F ao longo do eixo x ou pojeção do veto F ao longo do eixo x), enquanto que o veto F y epesenta o veto componente vetical do veto F (ou componente do veto F ao longo do eixo y ou pojeção do veto F ao longo do eixo y). A magnitude (módulo ou intensidade) das componentes hoizontal ( F podem se deteminadas usando as elações tiginométicas seno e cosseno, onde: F x cos(α ) = e F Fy sen(α ) = ou, então, F F x ) e vetical ( F y ) do veto oiginal Fx sen(β ) = e F F y cos(β ) = F Pelo tiângulo etângulo do gáfico acima, se pecebe que cos( α) = sen( β ) e sen ( α ) = cos( β ). Assim: F x = F cos(α) = F sen(β ) e = F sen(α ) = F cos(β ) F x F y F y 3

4 Seja F o esultado da seguinte opeação vetoial: obedece ao teoema de Pitágoas, de foma que: F = F x + F. Então, o módulo do veto (esultante) F y F = F x + F y F 2 2 = F x + F y = módulo do veto esultante F. Dicas (passos) paa tabalha com vetoes no plano xy: 1) Coloca, em um plano xy, o sistema de eixos coodenados com a oigem sobe o ponto no qual se deseja calcula a gandeza vetoial em questão (seja esta uma foça, velocidade, toque, campo magnético, etc). 2) Decompo os vetoes aplicados no deteminado ponto, os quais fomam ângulos de inclinação com a hoizontal (ou com a vetical) de modo a identifica suas componentes hoizontais (ao longo do eixo x) e suas componentes veticais (ao longo do eixo y). 3) Faze um novo diagama (plano xy) com a oigem sobe o ponto no qual se deseja calcula a gandeza vetoial em questão. Poém, agoa substituindo os vetoes que fomam ângulos de inclinação com a hoizontal (ou com a vetical) pelas suas componentes hoizontais e veticais. 4) Efetua o somatóio ( ) das componentes hoizontais e veticais dos vetoes deteminadas anteiomente. Nomalmente, as componentes hoizontais com sentido paa a dieita são consideadas positivas (sentido cescente do eixo x), enquanto aquelas paa a esqueda são consideadas negativas (sentido decescente do eixo x). As componentes veticais com sentido paa cima são consideadas positivas (sentido cescente do eixo y), enquanto aquelas paa baixo são consideadas negativas (sentido decescente do eixo y). As componentes hoizontais somam-se algebicamente, em sepaado das veticais. Faz-se o mesmo com elação às componentes veticais. Assim, são obtidas duas esultantes: uma hoizontal, que simboliza a soma vetoial líquida (ou esultante) das componentes hoizontais em questão, e outa vetical, que simboliza a soma vetoial líquida (ou esultante) das componentes veticais em questão. Essas esultantes, hoizontal e vetical, podem assumi valoes positivos, negativos ou nulos, dependendo do caso. 5) Faze um novo diagama (plano xy) com a oigem sobe o ponto no qual se deseja calcula a gandeza vetoial em questão. Poém, agoa substituindo suas componentes hoizontais e veticais usadas anteiomente (no passo 3) pelas esultantes hoizontal e vetical devidamente aplicadas no ponto em consideação. 6) Detemina o veto esultante (módulo, dieção e sentido) no ponto consideado. Neste caso, aplicam-se o teoema de Pitágoas, as elações tigonométicas e o conceito dos quadantes. O teoema de Pitágoas fonece o módulo (intensidade ou magnitude) do veto esultante. As elações tigonométicas (seno, cosseno e/ou tangente) são usadas paa detemina o ângulo de inclinação que o veto esultante foma com a hoizontal (ou a vetical). Os quadantes indicam o sentido do veto esultante (egião do plano xy na qual a extemidade do veto esultante se enconta). Quando os vetoes, em deteminado ponto, estiveem aplicados apenas hoizontalmente, a dieção do veto esultante seá então hoizontal e o sentido do mesmo podeá se paa a dieita ou paa a esqueda. Neste caso, o módulo do somatóio ( Σ ) dos vetoes aplicados ao longo da hoizontal (eixo x) seá a pópia esultante dos vetoes aplicados no ponto em questão (de modo que não há componente vetical). O sinal do somatóio ealizado (positivo ou negativo) indica o sentido do veto esultante. De foma simila, quando os vetoes, em deteminado ponto, estiveem aplicados apenas veticalmente, a dieção do veto esultante seá então vetical e o sentido do mesmo podeá se paa cima ou paa baixo. Neste caso, o módulo do somatóio ( Σ ) dos vetoes aplicados ao longo da vetical (eixo y) seá a pópia esultante dos vetoes aplicados no ponto em questão (de modo que não há componente hoizontal). O sinal do somatóio ealizado (positivo ou negativo) indica o sentido do veto esultante. 4

5 NOTA: Nem todas as gandezas físicas que apesentam intensidade (módulo) e dieção são necessaiamente vetoiais (como é o caso, po exemplo, da coente elética). Exemplos: 1. Considee os vetoes a, b, c e d no diagama abaixo. Detemine, gaficamente, a esultante vetoial R paa cada uma das opeações indicadas abaixo. a) R = a + b + c + d b) R = a b + c d c) R = d b c d) R = b c + d e) R = 2 a + d / 2 b c 2. O diagama abaixo mosta cinco foças aplicadas em um bloco, o qual se supõe se maciço e que se move hoizontalmente sobe uma supefície plana. O módulo de cada foça é: F 1 = 60 N, F 2 = 10 N, F 3 = 30 N, F 4 = 70 N e F 5 = 40 N. Com base nestas infomações, pede-se paa detemina: a) O módulo da componente hoizontal da foça esultante ( F RX ) que atua no bloco. b) O módulo da componente vetical da foça esultante ( F RY ) que atua no bloco. c) O módulo da foça esultante ( F R ) que atua no bloco. d) O ângulo de inclinação que o veto foça esultante F R foma com a dieção hoizontal. e) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua no bloco. 3. O diagama vetoial ao lado mosta cinco foças aplicadas em um bloco, o qual se supõe se maciço e que se move veticalmente. A intensidade de cada foça é: F 1 = 60 N, F 2 = 10 N, F 3 = 30 N, F 4 = 70 N e F 5 = 40 N. Com base nestas infomações, pede-se paa detemina: a) A intensidade da componente hoizontal da foça esultante ( F RX ) que atua no bloco. b) A intensidade da componente vetical da foça esultante ( F RY ) que atua no bloco. c) A intensidade da foça esultante ( F R ) que atua no bloco. d) O ângulo de inclinação que o veto foça esultante F R foma com a dieção vetical. e) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua no bloco. 5

6 4. O diagama vetoial ao lado mosta duas foças aplicadas em um mesmo ponto P comum. Essas foças apesentam as seguintes magnitudes: F 1 = 40 N e F 2 = 30 N. Com base nestas infomações, pede-se paa detemina: a) A magnitude da foça esultante ( F R ) que atua no ponto P. b) O ângulo de inclinação que o veto foça esultante F R foma com a dieção hoizontal. c) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua no ponto P. 5. Uma deteminada foça F com magnitude de 50 N foma um ângulo de 30 com elação à dieção hoizontal. Assim sendo, detemine: a) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F. b) A magnitude da componente vetical do veto foça F. 6. O diagama vetoial ao lado mosta cinco foças aplicadas em um mesmo ponto P comum. Essas foças apesentam as seguintes magnitudes: F 1 = F 4 = 40 N, F 2 = 30 N, F 3 = 10 N e F 5 = 20 N. O ângulo de inclinação que algumas das foças fomam com elação a dieção hoizontal ou vetical está indicado no diagama. Assim, pede-se paa detemina: a) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 1 e a dieção hoizontal. b) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 2 e a dieção hoizontal. c) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 3 e a dieção hoizontal. d) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 4 e a dieção hoizontal. e) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 5 e a dieção hoizontal. f) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 1 que atua no ponto P. g) A magnitude da componente vetical do veto foça F 1 que atua no ponto P. h) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 2 que atua no ponto P. i) A magnitude da componente vetical do veto foça F 2 que atua no ponto P. j) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 3 que atua no ponto P. k) A magnitude da componente vetical do veto foça F 3 que atua no ponto P. l) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 4 que atua no ponto P. m) A magnitude da componente vetical do veto foça F 4 que atua no ponto P. n) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 5 que atua no ponto P. o) A magnitude da componente vetical do veto foça F 5 que atua no ponto P. p) A intensidade da componente hoizontal da foça esultante ( F RX ) que atua no ponto P. q) A intensidade da componente vetical da foça esultante ( F RY ) que atua no ponto P. ) A intensidade da foça esultante ( F R ) que atua no ponto P. s) O ângulo de inclinação que o veto foça esultante F R foma com a dieção hoizontal. t) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua no ponto P. 6

7 Execícios Popostos: 1. Dados os vetoes abaixo, detemine gaficamente o veto esultante ( ) indicado nos itens à segui: a) = a + b + c + d b) = a b + c d c) = a / 2 + b / 3 2c + 3d / 2 2. Duas foças de intensidades F 1 = 40 N e F 2 = 30 N atuam em um ponto P, confome a ilusta a figua ao lado. Assim sendo, detemine: a) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 1 e a dieção hoizontal. b) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 2 e a dieção hoizontal. c) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 1 que atua no ponto P. d) A magnitude da componente vetical do veto foça F 1 que atua no ponto P. e) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 2 que atua no ponto P. f) A magnitude da componente vetical do veto foça F 2 que atua no ponto P. g) A intensidade da componente hoizontal da foça esultante ( F RX ) que atua no ponto P. h) A intensidade da componente vetical da foça esultante ( F RY ) que atua no ponto P. i) A intensidade da foça esultante ( F R ) que atua no ponto P. j) O ângulo de dieção (inclinação) que o veto foça esultante ( F R ) foma com a dieção hoizontal. k) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua no ponto P. 3. Duas foças de intensidades F 1 = 40 N e F 2 = 30 N atuam em um ponto P, confome a ilusta a figua ao lado. Assim sendo, detemine: a) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 1 e a dieção hoizontal. b) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 2 e a dieção hoizontal. c) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 1 que atua no ponto P. d) A magnitude da componente vetical do veto foça F 1 que atua no ponto P. e) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 2 que atua no ponto P. f) A magnitude da componente vetical do veto foça F 2 que atua no ponto P. g) A intensidade da componente hoizontal da foça esultante ( F RX ) que atua no ponto P. h) A intensidade da componente vetical da foça esultante ( F RY ) que atua no ponto P. i) A intensidade da foça esultante ( F R ) que atua no ponto P. j) O ângulo de dieção (inclinação) que o veto foça esultante ( F R ) foma com a dieção hoizontal. k) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua no ponto P. 7

8 4. Uma foça F com magnitude de 100 N atua sobe um deteminado ponto P, o qual está localizado sobe a oigem de um sistema catesiano de coodenadas (xy). A foça F se enconta no pimeio quadante desse sistema de coodenadas, sendo que a mesma foma um ângulo de 40 com elação à dieção vetical. Assim sendo, detemine: a) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F que atua no ponto P. b) A magnitude da componente vetical do veto foça F que atua no ponto P. c) A intensidade da foça F que atua no ponto P. d) O ângulo de dieção (inclinação) que o veto foça F foma com a dieção hoizontal. 5. Uma foça F atua sobe um deteminado ponto P, o qual está localizado sobe a oigem de um sistema catesiano de coodenadas (xy). A foça F se enconta no pimeio quadante desse sistema de coodenadas, sendo que a mesma foma um ângulo de 17,46 com elação à dieção hoizontal. Além disso, a componente (pojeção) vetical da mesma apesenta uma intensidade de 18 N. Assim sendo, detemine: a) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F que atua no ponto P. b) A magnitude da componente vetical do veto foça F que atua no ponto P. c) A intensidade da foça F que atua no ponto P. d) O ângulo de dieção (inclinação) que o veto foça F foma com a dieção hoizontal. 6. Uma foça F atua sobe um deteminado ponto P, o qual está localizado sobe a oigem de um sistema catesiano de coodenadas (xy). A foça F se enconta no pimeio quadante desse sistema de coodenadas, sendo que as componentes (pojeções) hoizontal e vetical da mesma apesentam intensidades de 38 N e 60 N, espectivamente. Assim sendo, detemine: a) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F que atua no ponto P. b) A magnitude da componente vetical do veto foça F que atua no ponto P. c) A intensidade da foça F que atua no ponto P. d) O ângulo de dieção (inclinação) que o veto foça F foma com a dieção hoizontal. 7. Duas foças de intensidades F 1 = 40 N e F 2 = 30 N atuam em um ponto P, confome a ilusta a figua ao lado. Assim sendo, detemine: a) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 1 e a dieção hoizontal. b) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 2 e a dieção hoizontal. c) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 1 que atua no ponto P. d) A magnitude da componente vetical do veto foça F 1 que atua no ponto P. e) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 2 que atua no ponto P. f) A magnitude da componente vetical do veto foça F 2 que atua no ponto P. g) A intensidade da componente hoizontal da foça esultante ( F RX ) que atua no ponto P. h) A intensidade da componente vetical da foça esultante ( F RY ) que atua no ponto P. i) A intensidade da foça esultante ( F R ) que atua no ponto P. j) O ângulo de dieção (inclinação) que o veto foça esultante ( F R ) foma com a dieção hoizontal. k) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua no ponto P. 8

9 8. Cinco foças cujas intensidades são F 1 = 19 N, F = 15 N, F = 16 N, F = 11 N e F = 12 N atuam em um deteminado ponto P, confome mosta o diagama ao lado. Assim sendo, detemine: a) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 1 e a dieção hoizontal. b) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 2 e a dieção hoizontal. c) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 3 e a dieção hoizontal. d) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 4 e a dieção hoizontal. e) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 5 e a dieção hoizontal. 5 f) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 1 que atua no ponto P. g) A magnitude da componente vetical do veto foça F 1 que atua no ponto P. h) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 2 que atua no ponto P. i) A magnitude da componente vetical do veto foça F 2 que atua no ponto P. j) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 3 que atua no ponto P. k) A magnitude da componente vetical do veto foça F 3 que atua no ponto P. l) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 4 que atua no ponto P. m) A magnitude da componente vetical do veto foça F 4 que atua no ponto P. n) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 5 que atua no ponto P. o) A magnitude da componente vetical do veto foça F 5 que atua no ponto P. p) A intensidade da componente hoizontal da foça esultante ( F RX ) que atua no ponto P. q) A intensidade da componente vetical da foça esultante ( F RY ) que atua no ponto P. ) A intensidade da foça esultante ( F R ) que atua no ponto P. s) O ângulo de dieção (inclinação) que o veto foça esultante ( F R ) foma com a dieção hoizontal. t) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua no ponto P. 9. Na figua abaixo, o diagama vetoial, em escala, mosta duas foças, F 1 e F 2, atuando em um objeto, o qual é epesentado, pontualmente, po sua massa m. Considee que essa massa m esteja localizada sobe a oigem de um sistema catesiano de coodenadas (xy). Assim sendo, pede-se paa detemina: a) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 1 e a dieção hoizontal. b) O ângulo de inclinação ente o veto foça F 2 e a dieção hoizontal. c) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 1 que atua sobe a massa m. d) A magnitude da componente vetical do veto foça F 1 que atua sobe a massa m. e) A magnitude do veto foça F 1 que atua sobe a massa m. f) A magnitude da componente hoizontal do veto foça F 2 que atua sobe a massa m. 9

10 g) A magnitude da componente vetical do veto foça F 2 que atua sobe a massa m. h) A magnitude do veto foça F 2 que atua sobe a massa m. i) A intensidade da componente hoizontal da foça esultante ( F RX ) que atua sobe a massa m. j) A intensidade da componente vetical da foça esultante ( F RY ) que atua sobe a massa m. k) A intensidade da foça esultante ( F R ) que atua sobe a massa m. l) O ângulo de inclinação que o veto foça esultante ( F R ) foma com a dieção hoizontal. m) O veto foça esultante F R (módulo, dieção e sentido) que atua sobe a massa m. 10. A figua ao lado ilusta o deslocamento de um escoteio que ealizou uma caminhada em uma floesta com o auxílio de uma bússola. Essa caminhada foi ealizada em duas etapas, sendo estas denominadas A e B. Inicialmente, na etapa A, o escoteio caminhou 17 km ente as dieções sul (S) e leste (L), de modo que nessa etapa seu deslocamento fomou um ângulo de 45 com a dieção sul (S). Depois de um descanso, o escoteio etomou seu pecuso, na etapa B, e caminhou 32 km paa o note (N), em uma dieção que fez um ângulo de 50 com o leste (L). Assim sendo, considee que o ponto de início de toda a tajetóia ealizada pelo escoteio coincida com a oigem de um sistema de coodenadas catesiano (xy). Considee que o sistema de coodenadas esteja com o eixo y na dieção note-sul e o eixo x na dieção leste-oeste. O sentido note deve coincidi com o sentido cescente do eixo y, ao passo que o sentido leste deve coincidi com o sentido cescente do eixo x. Sendo o deslocamento ealizado pelo escoteio uma gandeza vetoial, detemine: a) A magnitude da componente hoizontal do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa A. b) A magnitude da componente vetical do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa A. c) A magnitude da componente hoizontal do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa B. d) A magnitude da componente vetical do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa B. e) A magnitude da componente hoizontal do deslocamento total (esultante) efetuado pelo escoteio. f) A magnitude da componente vetical do deslocamento total (esultante) efetuado pelo escoteio. g) A magnitude do deslocamento total (esultante) efetuado pelo escoteio. h) O ângulo de dieção fomado ente o deslocamento total (esultante) efetuado pelo escoteio e a dieção leste. 11. A figua ao lado ilusta o deslocamento de um escoteio que ealizou uma caminhada em uma floesta com o auxílio de uma bússola. Essa caminhada foi ealizada em quato etapas, sendo estas as etapas A, B, C e D. Inicialmente, na etapa A, o escoteio caminhou 80 m no sentido leste (L). Depois, ele caminhou 115 m no sentido sul (S). Em seguida, o escoteio ediecionou sua caminhada novamente paa o sentido leste (L) pecoendo, nesta ocasião, 40 m. Po fim, ele caminhou 110 m paa o sul (S), de modo que nessa etapa seu deslocamento fomou um ângulo de 30 com o oeste (O). Assim sendo, considee que o ponto de início de toda a tajetóia ealizada pelo escoteio coincida com a oigem de um sistema de coodenadas catesiano (xy). 10

11 Considee que o sistema de coodenadas esteja com o eixo y na dieção note-sul e o eixo x na dieção leste-oeste. O sentido note deve coincidi com o sentido cescente do eixo y, ao passo que o sentido leste deve coincidi com o sentido cescente do eixo x. Sendo o deslocamento uma gandeza de natueza vetoial, detemine: a) A magnitude da componente hoizontal do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa A. b) A magnitude da componente vetical do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa A. c) A magnitude da componente hoizontal do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa B. d) A magnitude da componente vetical do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa B. e) A magnitude da componente hoizontal do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa C. f) A magnitude da componente vetical do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa C. g) A magnitude da componente hoizontal do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa D. h) A magnitude da componente vetical do deslocamento efetuado pelo escoteio na etapa D. i) A magnitude da componente hoizontal do deslocamento total (ou esultante R) efetuado pelo escoteio. j) A magnitude da componente vetical do deslocamento total (ou esultante R) efetuado pelo escoteio. k) A magnitude do deslocamento total (ou esultante R) efetuado pelo escoteio. l) O ângulo de dieção fomado ente o deslocamento total (ou esultante R) efetuado pelo escoteio e a dieção leste. m) O veto deslocamento total (ou esultante R) efetuado pelo escoteio (módulo, dieção e sentido). n) O veto deslocamento total (ou esultante R) efetuado pelo escoteio gaficamente no diagama apesentado no poblema. Respostas dos Execícios: 1. (a) (b) (c) 2. a) 0 ; b) 0 ; c) 40 N; d) 0 N; e) 30 N; f) 0 N; g) 10 N; h) 0 N; i) 10 N; j) 0 ; k) F R = {módulo: 10 N; dieção: hoizontal (ou 180 ); sentido: paa a esqueda} 3. a) 90 ; b) 0 ; c) 0 N; d) 40 N; e) 30 N; f) 0 N; g) 30 N; h) 40 N; i) 50 N; j) 53,13 ; k) F R = {módulo: 50 N; dieção: 53,13 ; sentido: 1 o Quadante} 4. a) 64,28 N; b) 76,6 N; c) 100 N; d) a) 57,24 N; b) 18 N; c) 60 N; d) 17,46 6. a) 38 N; b) 60 N; c) 71,02 N; d) 57,65 7. a) 0 ; b) 60 ; c) 40 N; d) 0 N; e) 15 N; f) 25,98 N; g) 55 N; h) 25,98 N; i) 60,83 N; j) 25,28 ; k) F R = {módulo: 60,83 N; dieção: 25,28 ; sentido: 1 o Quadante} 8. a) 0 ; b) 60 ; c) 45 ; d) 30 ; e) 90 ; f) 19 N; g) 0 N; h) 7,5 N; i) 13 N; j) 11,31 N; k) 11,31 N; l) 9,53 N; m) 5,5 N; n) 0 N; o) 12 N; p) 5,66 N; q) 6,81 N; ) 8,86 N; s) 50,27 ; t) F R = {módulo: 8,86 N; dieção: 50,27 ; sentido: 1 o Quadante} 11

12 9. a) 26,57 ; b) 90 ; c) 6 N; d) 3 N; e) 6,71 N; f) 0 N; g) 4 N; h) 4 N; i) 6 N; j) 1 N; k) 6,16 N; l) 9,46 ; m) F R = {módulo: 6,16 N; dieção: 350,54 (= 9,46 ; ou 9,46 abaixo da hoizontal); sentido: 4 o Quadante } 10. a) 12,02 km; b) 12,02 km; c) 20,57 km; d) 24,51 km; e) 32,59 km; f) 12,49 km; g) 34,9 km; h) 20, a) 80 m; b) 0 m; c) 0 m; d) 115 m; e) 40 m; f) 0 m; g) 95,26 m; h) 55 m; i) 24,74 m; j) 170 m; k) 171,79 m; l) 81,72 ; m) R = R = {módulo: 171,79 m; dieção: 81,72 com o leste (ou 8,28 com o sul); sentido: sudeste}; n) R 12