Adriano Pedreira Cattai

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1 Adiano Pedeia Cattai Univesidade Fedeal da Bahia UFBA :: 006 Depatamento de Matemática Cálculo II (MAT 04) Coodenadas polaes Tansfomações ente coodenadas polaes e coodenadas catesianas Taçado de cuvas em coodenadas polaes Intodução Sistemas de coodenadas: catesianas e polaes Deve-se a René Descates ( ), matemático e filósofo fancês, o estabelece da coespondência biunívoca ente pontos de um plano e paes de númeos eais Duas etas, pependiculaes ente si, cujo ponto de inteseção chama-se de oigem O, que auxilia no pocesso de constução de pontos e de lugaes geométicos Esse sistema divide o plano em quato egiões as quais são chamadas de quadantes Qualque ponto P do plano pode se epesentado pelo o pa ( x, y ), onde o númeo ela x, a abscissa, nos diz o quanto está afastado da oigem a componente hoizontal, levando em consideação os sinais + à dieita, e à esqueda da oigem; e o númeo y, a odenada, o quanto está afastado da oigem a componente vetical, levando em consideação os sinais + acima, e abaixo da oigem Esses númeos x e y são as coodenadas catesianas do ponto P Y y P( x, y) O x X O uso de um pa de eixos (otogonais ou não) não é única maneia de se estabelece coespondências ente pontos do plano e paes odenados de númeos eais Existe outo sistema, muito útil e bastante utilizado que usa um único eixo, que é o de coodenadas polaes, onde consideamos uma semi-eta hoizontal e fixa, chamada de Eixo Pola, e de oigem num ponto O, chamado de Pólo A semi-eta pependicula que passa po O chamaemos de eixo a 90º ou eixo nomal Qualque ponto P do plano seá localizado no sistema de coodenadas polaes pelo pa (, θ ) denominado coodenadas polaes, onde indica a distância do ponto P ao pólo O e é denominado aio veto ou aio pola, e o ângulo θ obtido da otação do eixo pola até o segmento OP, o qual chamaemos de ângulo vetoial ou ângulo pola de P MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página

2 Consideamos o ângulo θ positivo quando a otação do eixo pola é dada no sentido antihoáio e, o negativo, no sentido hoáio, tal como fazemos no estudo de tigonometia Se P(, θ ) possui aio veto negativo ( < 0) devemos otaciona o eixo pola em θ + π e maca unidades a pati do pólo O P(, θ ) O θ A É evidente que um pa (, θ ) detemina um e apenas um ponto no plano coodenado O inveso, entetanto, não é vedade, pois um ponto P deteminado pelas coodenadas (, θ ) é também deteminado po qualque um dos paes de coodenadas epesentadas po (, θ + kπ ) onde k é qualque inteio, ou po qualque um dos paes de coodenadas epesentadas po (, θ kπ ) ( θ ) P', + onde k é qualque inteio ímpa De foma esumida temos ( ) ( ) k ( ), θ =, θ + kπ, k π Exemplo : O ponto P, 3 pode se epesentado tanto po 7π A, 3 0π 7 B,, pois ( ) e π π π π π = e = + 3π 3 3 = = +, e ( ) 3 0 quanto po Paa maioia de nossa finalidade é suficiente um pa de coodenadas polaes paa qualque ponto no plano Uma vez que nossa escolha a este espeito é ilimitada, convencionaemos, a menos que o contáio seja especificado, toma o aio veto de um ponto como não negativo e seu ângulo vetoial θ com valoes compeendidos ente 0º e 360º, podendo se zeo, ou seja, 0 0º θ < 360º e esse pa, chamaemos o conjunto pincipal de coodenadas polaes do ponto As coodenadas do 0,θ, onde θ é qualque ângulo pode-se adota também a pólo O podem se epesentadas po ( ) deteminação pincipal do pólo como sendo ( 0,0 ) O ângulo vetoial pode se expesso seja em gaus ou em adianos MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página

3 A macação de pontos no sistema de coodenadas polaes é gandemente facilitada pelo uso de papel de coodenadas polaes, o qual consiste de uma séie de cicunfeências concênticas e de etas concoentes As cicunfeências têm seu cento comum no pólo e seus aios são múltiplos inteios do meno tomando como unidade de medida Todas as etas passam pelo pólo e os ângulos fomados po cada pa de etas adjacentes são iguais A seguinte figua, ilusta tal papel e nela estão macadas os pontos ( ) 4,5º P, 7π P 5, 4, 3 5π P3, 6 P e ( ) 4, 0º P 3 P 4 O P A P Distância ente dois pontos em coodenadas polaes Sejam P(, θ ) e (, ) P θ dois pontos do plano expessos em coodenadas polaes Obseve, na figua ao lado, que a distância ente eles é conseqüência imediata da lei dos cossenos De fato, no tiângulo Δ OPP, temos que ( ) δ = + cos θ θ d P, P cos ( ) = + ( θ θ ) MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 3

4 3 Equação Pola e Conjunto Abangente Uma equação pola é qualque equação do tipo f (, θ ) = 0 A elação dada acima epesenta um luga geomético Po exemplo, C: = 3 é a equação que desceve uma cicunfeência de cen-to no pólo e aio 3 unidades π π Obseve que o ponto P 3, C pois, 3, satisfaz a equação de C Assim,vemos que é possível temos um ponto que petença ao luga geomético definido po f (, θ ) = 0 sem que esta igualdade seja veificada Além disso, equações polaes distin-tas podem epesenta o mesmo luga geomético como, po exemplo, = 3 e = 3 Isto nos motiva a dize que duas equações polaes f (, θ ) = 0 e ( ) g, θ = 0 são equivalentes se epesentam o mesmo luga geomético Temos ainda que as equações equivalentes se classificam, espectivamente, em tiviais e não tiviais as que possuem ou não o mesmo conjunto solução Exemplo : As equações C : = 3 e C : 6 = epesentam uma cicunfeência de cento no pólo e aio 3 e apesentam o mesmo conjunto solução ( ) ( S { 3, θ ; θ }) =, potanto, são equações equivalentes tiviais Já as equações polaes C : = 3 e C : = 3 epesentam também uma cicunfeência de cento no pólo e aio 3, poém, não apesentam o mesmo conjunto solução ( S = {( 3, θ) ; θ }, S = {( 3, θ) ; θ }), potanto, são equações equivalentes não tiviais Podemos conclui que se um pa de coodenadas polaes de um ponto P não satisfaz a uma equação pola, não podemos gaanti a não existência de um outo pa de coodenadas polaes deste mesmo ponto que satisfaça a esta equação Em outas palavas, o fato que um pa de coodenadas polaes de um ponto P não satisfaz a uma equação pola de uma cuva, não gaante que este ponto não petença à esta cuva Definição (Conjunto Abangente): Um conjunto M de equações polaes é chamado conjunto abangente de uma cuva C, definida pela equação pola f(, θ ) = 0, se qualque ponto de C, distinto do polo, com qualque pa de coodenadas polaes, satisfaz a uma das equações de M MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 4

5 foma Teoema: Seja f(, θ ) = 0 uma equação pola de uma cuva C As equações polaes da { (, ) 0; } n θ π ( ) ( ) AC = f + n = n são equivalentes a equação f(, θ ) = 0, ou seja epesentam também a cuva C Mais ainda, AC ( ) é um conjunto abangente de C Uma equação pola é chamada de abangente se o seu conjunto abangente é unitáio Exemplo 3: Dados, C : =, e B = { = } e B = { =± }, veifique se B e B são conjuntos abangentes de C Solução Seja P(, θ ) Note que P C, P B e P B Potanto, somente B é abangente Exemplo 4: (a) No exemplo anteio, tomando P ( ) P ( n, θ nπ ) (, θ + (k+ ) π ) e paa n ímpa temos P(, θ (k ) π ) abangente de C : = (b) Seja C : 3cosθ +, note que paa n pa, temos + +, e potanto B = { =± } é conjunto ( ) = Paa ( ) k + P, θ + ( k+ ) π, = + 3cos ( θ + (k+ ) π ) ( ) = + 3( cosθ ) = 3cosθ, e paa ( k P ), θ + ( k ) π, ( k ) Potanto, AC ( ) { θ θ} = = 3cos, = 3cos = 3cos θ + π = 3cosθ 4 Tansfomações ente coodenadas polaes e etangulaes Façamos coincidi as oigens e os eixos Ox e o pola dos sistemas de coodenadas catesianas e polaes, espectivamente Seja P um ponto tal que, ( x, y ) são as suas coodenadas catesianas e (, θ ) as suas coodenadas polaes De acodo com a figua, temos imediatamente as elações: y O θ x P Como = x + y, temos que x= cosθ y = sinθ x =± x + y, cos θ =±, x + y y y θ = actan, sin θ =± x x + y MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 5

6 Acabamos de pova o seguinte teoema: Teoema : Se o pólo e o eixo pola do sistema coodenado pola coincidem, espectivamente, com a oigem e com o eixo Ox positivo do sistema coodenado etangula, então as tansfomações ente estes dois sistemas podem se efetuadas pelas equações de tansfomação y x= cos θ, y = sin θ, =± x + y, θ = actan, x x y =± x + y, cos θ =±, sin θ =± x + y x + y Exemplo 5: (a) Detemina as coodenadas catesianas do ponto A cujas coodenadas polaes são ( 4,0º ) (b) Detemina as coodenadas polaes do ponto B cujas coodenadas etangulaes são (, 3 ) Solução (a) Nesse caso = 4 e θ = 0º, logo pelo Teoema, x= cos θ = 4 cos 0º = 4 = logo, as coodenadas catesianas do ponto A são (, 3) (b) Temos, x = e 3 y =, logo ( ) = cosθ cosθ = e assim θ = 300º Agoa, se =, teemos = cosθ cosθ = e e 3 y = sinθ = 4 sin0º = 4 = 3, =± + 3 =± Se =, então 3 3 = sinθ sinθ =, 3 3 = sinθ sinθ =, logo θ = 0º Potanto, as coodenadas polaes do ponto B são (,300º ) ou (,0º ) > 0, ficamos com (,300º ), como queemos Exemplo 6: Detemina a equação etangula do luga geomético cuja equação pola é = cosθ Solução Eliminando o denominado, chegamos a cosθ = Substituindo-se e cosθ po seus valoes em função de x e y dado pelo Teoema, obtemos ± x + y x = Tanspondo-se x, elevando ao quadado e simplificando, obtemos, paa a equação etangula, a paábola y = 4x+ 4 MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 6

7 5 A Linha Reta em sua Foma Pola Consideemos inicialmente uma eta que não passa pelo pólo e tomemos os pontos P(, θ ) e qualque N ( ρ, α ) de modo que o tiângulo ONP seja etângulo em N Potanto, cos ρ = = ( θ α) ρ cos( θ α) Aplicando o cosseno da difeença, temos Ou ainda, ρ = cos = cos cos sin sin = cosθ cosα + sinθsin α ( θ α) θ ( α) θ ( α) cosα sinα cosθ sin θ = ρ + ρ Pondo cosα A = e ρ sinα B =, podemos esceve a equação numa ρ foma mais simples, = Acosθ + Bsin θ Exemplo 7: Esboce a eta s de equação Solução: Como A = e B =, temos que ou seja, cosα = e ρ sinα =, ρ sinα 3π = = tanα, e logo α = cosα 4 ( ) cos 3π 4 Potanto ρ = = =, daí, s : = cosθ sinθ o 3π N, 4 N s Exemplo 8: Esboce as etas de equações: (a) = cosθ + 3 sinθ e (b) = cosθ + sinθ 4 4 Tansfome paa coodenadas catesianas e compae a constução 5 Casos Paticulaes de Retas 5 Reta que passa pelo pólo A equação de uma eta que passa pelo pólo depende somente do ângulo vetoial, ou seja, s : θ = θ0 s : θ = θ 0 MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 7

8 Exemplo 8: Detemine as equações das etas supote dos lados do quadado ABCD sabendo A e (,45 ) que ( 0,3 ) C Solução: Temos que a diagonal do quadado mede um, logo cada lado mede um Potanto, π B (,0 ) e D,, paa cada lado, temos as seguintes equações paa as etas supote: D C AB : θ = 0 BC : = cos( θ 0) = cosθ π CD : = cos θ = sinθ π AD : θ = A B 5 Reta paalela ao eixo pola Se a eta é paalela ao eixo pola, e dista ρ > 0 unidades do mesmo, sua equação é da foma De fato, basta em ρ cos( θ α) sinθ = ± ρ = substitui α po π Como ilustou o exemplo anteio, na deteminação da eta supote do ladocd 53 Reta pependicula ao eixo pola foma Se a eta é pependicula ao eixo pola, e dista ρ > 0 unidades do mesmo, sua equação é da De fato, basta em ρ cos( θ α) cosθ = ± ρ = substitui α po 0º Como ilustou o exemplo anteio, na deteminação da eta supote do lado BC 6 A Cicunfeência em sua Foma Pola Seja (, ) C θ o cento de uma cicunfeência qualque 0 0 de aio R, como mosta a figua ao lado Seja P(, θ ) um ponto da cicunfeência Tacemos os aios vetoes de P e C, e o aio da cicunfeência CP, assim fomando o O θ θ0 P(, θ ) 0 R (, ) C θ 0 0 MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 8

9 tiângulo OPC, e deste tiângulo utilizando a lei dos cosenos, temos: R = + cos( θ θ ), ou cos( θ θ ) + = R paa a equação pola pocuada Os casos especiais são fequentemente úteis e estão incluídos no seguinte teoema Teoema : (i) A cicunfeência cujo cento é o ponto (, ) po equação pola C θ e cujo aio é igual a R tem 0 0 cos( θ θ ) + = R (ii) Se o cento está no pólo, então sua equação pola é da foma = ± R (iii) Se a cicunfeência passa pelo pólo e seu cento se enconta sobe eixo pola, então sua equação pola é da foma = ± Rcosθ onde o sinal positivo ou negativo indica se o cento está à dieita ou à esqueda do pólo (iv) Se a cicunfeência passa pelo pólo e seu cento se enconta sobe o eixo a 90, então sua equação pola é da foma = ± Rsinθ onde o sinal positivo ou negativo indica se o cento está acima ou abaixo do pólo Demonstação: (ii) Quando o cento está no pólo, temos 0 = 0 e logo = ± R (iii) Quando a cicunfeência passa pelo pólo e o cento se enconta no eixo pola, temos θ 0 = 0 e 0 = R, logo Rcos( θ 0) + R = R, e potanto = ± Rcosθ (iv) Quando a cicunfeência passa pelo pólo e seu cento se enconta sobe o eixo a 90, temos θ 0 = 90 e 0 = R, logo R > 0, Rcos( θ 90º) + R = R, e potanto = ± Rsenθ 90 O = C O C C O = R = Rcosθ = Rsenθ MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 9

10 Exemplo 9: Exiba as equações em foma pola das cicunfeências: (a) C( 0, 0º ), R =, (b) C(, 30º ), R = 3 Solução: (a) Substituindo os valoes de R =, 0 = 0 e θ = 0 em cos( θ θ ) + = R, temos que, 0cos( θ 0) + 0 =, ou seja, = ± = 4 e potanto (b) Analogamente, R = 3, 0 = e θ = 30, temos que cos cos30º + sin sin 30º = 8 e logo ainda, ( θ θ ) θ cos( θ 30º) + = 3, mais 3cos sinθ 8= 0 Obsevação: Esse último exemplo nos sugee a seguinte análise, a pati da equação cos( θ θ ) + = R cos( θ θ ) + R = ( θ θ θ θ ) cos cos + sin sin + R = cosθ cosθ sinθ sinθ + R = se fizemos A= 0cosθ 0, B= 0sinθ 0 e C = R, teemos 0 A θ B θ C + cos + sin + = 0 Exemplo 0: Dê uma equação pola da cicunfeência C concêntica com a cicunfeência C + + = e que é tangente ao eixo pola : 4 3 cos θ 4 sin θ 7 0 A= 0cosθ 0 = 4 3 Solução: Confome vimos na obsevação acima, coloquemos, dividindo B B = 0sinθ 0 = 4 3 po A temos que tanθ 0 =, logo θ 0 = 50 e substituído esse valo numa das equações do 3 sistema, temso que 0 = 4 Confome a figua, sendo T o ponto de tangencia com o eixo pola, temos no tiângulo etângulo COT que C CT 4 sin 30º = R= CT = Potanto 50 4 i T O 3 A = 4cos50º = = B= 4sin50º = 8 = 4 C : cosθ 4 sinθ + = 0 C = 0 R = 6 4 = C MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 0

11 Exemplo : Dê uma equação pola da cicunfeência C com cento C (,30 ) pelo pólo (Resp C : + 3 cos θ + sin θ = 0 ) e que passe 7 Taçado de cuvas em coodenadas polaes O taçado de cuvas a pati de suas equações polaes, ( ) f, θ = 0, é dado de maneia muito semelhante ao taçado de cuvas paa equações etangulaes Paa nossas finalidades, o taçado de cuvas em coodenadas polaes consistiá nas seguintes distintas etapas: () Deteminação das inteseções sobe os eixos pola e a 90º; () Deteminação da simetia do luga geomético em elação aos eixos pola e a 90º e ao pólo; (3) Deteminação da extensão do luga geomético; (4) O cálculo das coodenadas de um númeo suficiente de pontos a fim de se obte um gáfico adequado; (5) O desenho definitivo do luga geomético (6) A tansfomação da equação pola dada em sua foma etangula Note que, o taçado de cuvas em coodenadas polaes eque cetas pecauções que são desnecessáias em coodenadas catesianas, pois um ponto no plano coodenado catesiano tem um único pa de coodenadas, o que não acontece, como vimos no sistema coodenado pola Pode ocoe, então, que enquanto um pa de coodenadas polaes de um ponto P sobe um luga geomético pode satisfaze sua equação, outos conjuntos de coodenadas de P não podem Isto é ilustado pela equação = a θ, a 0, que epesenta uma cuva conhecida como espial de Aquimedes Além disso, algumas vezes um luga geomético pode se epesentado po mais de uma equação pola, como po exemplo, a cicunfeência cujo cento está no pólo e cujo aio igual a a 0, pode se epesentada po = a ou = a As equações que epesentam o mesmo luga geomético são denominadas de Equações Equivalentes Vejamos então uma discussão de cada etapa () Inteseções: As inteseções sobe o eixo pola, quando existiem, podem se obtidas esolvendo-se paa a equação pola dada quando θ ecebe sucessivamente os valoes 0, ± π, ± π, e, em geal, o valo n π, onde n é qualque inteio Similamente, se há quaisque n inteseções sobe o eixo a 90, elas posem se obtidas atibuindo-se a π, onde n é qualque MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página

12 inteio Se existe um valos de θ tal que = 0 a pati da equação dada, o luga geomético passa pelo pólo () Simetias: Dizemos que dois pontos P e P ' são siméticos em elação a um deteminado conjunto K se a distância ente este conjunto e os pontos foem iguais Dente as simetias, destacamos as simetias cental e axial, onde os conjuntos K são um ponto e uma eta, espectivamente Nosso inteesse seá veifica simetias em elação ao eixo pola, ao eixo a 90 e ao pólo, que são simetias axiais e cental () Simetia em elação ao eixo pola: Dado um ponto P(, θ ), o seu simético em elação ao eixo pola é o ponto '( ', ') somente se, () Simetia em elação ao eixo a 90 : ' ' = e θ ' = θ + kπ, k, ou = e θ ' = θ + ( k+ ) π, k Podemos nos limita a tabalha com: (, θ ) é simético a (, θ ) (, π θ) = P θ se, e Dado um ponto P(, θ ), o seu simético em elação ao eixo a 90 é o ponto '( ', ') somente se, ' = e θ ' = θ + ( k+ ) π, k, ou ' = e θ ' = θ + kπ, k Podemos nos limita a tabalha com:,, θ =, π θ ( θ ) é simético a ( ) ( ) P θ se, e (3) Simetia em elação ao pólo: Dado um ponto P(, θ ), o seu simético em elação ao pólo é o ponto P' ( ', θ ') se, e somente se, ' ' = e θ ' = θ + ( k+ ) π, k, ou = e θ ' = θ + kπ, k Podemos nos limita a tabalha com: (, θ ) é simético a (, θ π) (, θ) + = MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página

13 Resumimos estes esultados na seguinte tabela: Simetia em elação ao Eixo pola Eixo a 90 Pólo A equação pola pemanece sem modificação, ou é modificada paa uma equação equivalente, quando (a) θ é substituído po θ, ou (b) θ é substituído po π θ e é substituído po (a) θ é substituído po π θ, ou (b) θ é substituído po θ e é substituído po (a) θ é substituído po π + θ, ou (b) é substituído po (3) Extensão do luga geomético: Tentaemos inicialmente, se necessáio, esolve equação f (, θ ) = 0 paa em função de θ, de maneia que temos f ( θ ) = Aí, se fo finito paa todos os valoes de θ, o luga geomético é uma cuva fechada Se, entetanto, tona infinito paa alguns valoes de θ, o luga geomético não pode se fechado (4) Cálculo das coodenadas: Atibuindo se a θ um valo paticula, podemos obte o coespondente valo eal, ou valoes, de, quando existiem, a pati da equação f ( θ ) Confome finalidade é suficiente toma valoes de θ a intevalos de 5 ou 30 = (5) Desenho do luga geomético: Os pontos sobe o luga geomético podem se macados dietamente a pati dos valoes das coodenadas obtidos em (4), e analisando a concodância com os itens (), () e (3), pode-se gealmente paa cuvas contínuas, se taçadas po esses pontos (6) Tansfomação da equação pola paa a sua foma catesiana: Essa tansfomação deve ao fato que a foma catesiana é, fequentemente, útil como uma compovação do gáfico Exemplo : Taça a cuva cuja equação pola é ( cosθ ) = Solução: () Inteseções A equação = ( cosθ ) possui inteseção no eixo pola nos pontos ( ) 0,0 e π ( 4,π ), e sobe o eixo a 90 nos pontos, e, π, pois, substituindo θ po 0, π, π π e na equação dada, temos espectivamente, = 0, = 4, = e = Novos valoes paa não seão obtidos 3π 5π paa θ = π, ± π, etc, e paa θ =±, ±, etc () Simetia: Se θ é substituído po θ a equação pemanece sem modificação, pois cos( θ ) = cosθ Logo, o luga geomético dessa equação é simético em elação ao eixo pola Aplicando outas substituições, como na tabela, não há simetia em elação ao eixo a 90 e ao pólo MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 3

14 (3) Extensão: Visto que o valo absoluto de cosθ nunca é maio do que paa todos os valoes de θ, logo a equação mosta que é finito paa todos os valoes de θ e, potanto o luga geomético é uma cuva fechada assumi valo máximo quando cosθ é máximo, ou seja, quando cosθ fo mínimo, logo cosθ = e θ = π, e daí = 4 ; analogamente, é mínimo quando θ = 0 e daí = 0 (4) Cálculo das coodenadas: Como o luga geomético é simético em elação ao eixo pola, basta atibui 90º valoes paa θ ente 0 e π, como na tabela abaixo θ cosθ cosθ 0º º 0,866 0,34 0,68 60º 0,5 0,5 90º 0 0º 0,5,5 3 50º 0,866,866 3,73 80º 4 A Exemplo 3: Taça a cuva cuja equação pola é 4cos ( θ ) = Solução: () Inteseções As inteseções sobe o eixo pola são dadas nos pontos ( ±,0) ou (,π ) ± Note nπ que não há inteseção sobe o eixo a 90, já que θ =, onde n é qualque inteio impa, é complexo Paa θ = 45º, = 0, de maneia que o pólo se enconta sobe o luga geomético () Simetia: Note que a equação satisfaz todos os testes de simetia do item () Logo, o luga geomético é simético em elação aos eixos pola e a 90 e ao pólo (3) Extensão: Visto que o valo máximo de cos θ é paa todos os valoes de θ, logo é finito paa todos os valoes de θ e assume valo máximo, e o luga geomético é uma cuva fechada (4) Cálculo das coodenadas: Como o luga geomético é simético em elação aos eixos pola e ao a 90º e ao pólo, basta atibui valoes paa θ ente 0 e π, logo, θ ente 0 e 4 π,como na tabela abaixo θ cosθ =± cos( θ ) 90º 0º ± 5º 0,866 ±, 86 30º 0,5 ±, 4 45º 0 0 A MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 4

15 8 Taço Rápido de cuvas Paa taçamos apidamente o gáfico de uma cuva em coodenadas polaes devemos inicialmente identificá-las Tataemos, potanto, de algumas cuvas em coodenadas polaes que são facilmente identificáveis Use o Winplot < paa auxilia na obtenção de gáficos 8 Limaçons São tês os tipos de Limaçons: as Cadióides, as Lmaçons com laço e sem laço, e cujas equações polaes, com a e b constantes não nulas, se estingem a: = a± b cos θ, = a± b sin θ Note que na pimeia existe simetia em elação ao eixo pola, enquanto que na segunda em elação ao eixo a 90º Paa taçamos o gáfico de uma limaçon é suficiente deteminamos as inteseções com os eixos pola e a 90º e com o pôlo, caso exista Cadióides ( a = b) Limaçon sem laço ( a > b) MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 5

16 Limaçon com laço ( a < b) 8 Rosáceas A equação pola da osácea, com a \{ 0 }, n \{ 0, ± } = a cos ( nθ ), = a sin ( nθ ), é: A quantidade de pétalas é obtida do seguinte fato: n, se n fo pa; n, se n fo ímpa O espçamento ente os eixos de simetia ente duas pétalas consecutivas é dado po π, onde p p é o númeo de pétalas MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 6

17 Paa o taçado ápido de uma osácea é suficiente detemina a extensão do luga geomético, a quantidade de pétalas e o espaçamento ente elas e a pimeia pétala que seá constuída sobe o eixo de simetia θ = 0 ou = asin ( nθ ) π n θ = caso as equações sejam, espectivamente acos( nθ ) = ou 83 Lemiscatas São cuvas cuja equação é do tipo = acos( θ ) ou = asin ( θ ), com a \{ 0} Devemos obseva que se a é positivo, tanto cos( θ ) quanto sin ( θ ) são positivos, e se a é negativo, tanto cos( θ ) quanto sin ( θ ) são negativos, visto que 0 > Paa o taçado ápido da Lemniscata é suficiente detemina a sua extensão ( a ) e enconta os valoes de θ paa os quais = a 84 espial de Aquimedes São cuvas cuja equação é do tipo = aθ Se atibui valoes a θ não negativos teemos que a espial giaá no sentido anti-hoáio, caso contáio, giaá no sentido hoáio Paa o taçado ápido da Espial de Aquimedes é suficiente atibui valoes a θ, em adianos, e enconta o valo de, macando-se estes pontos MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 7

18 9 Inteseções ente Cuvas Dada as cuvas C : f (, θ ) = 0e ( ) () deteminamos o conjunto abangente de uma das cuvas; C :, 0 g θ = podemos obte os pontos de inteseções se: () esolvemos todos o sistemas fomados po uma das equações fixadas e cada uma das equações do conjunto abangente; (3) veificamos se o pólo está na inteseção Exemplo 4: Detemine as inteseções ente as cuvas : 3 C = e C = ( θ ) : 6cos Solulção: Fixemos a equação C e deteminemos o conjunto abangente paa C : Devemos agoa esolve os sistemas ( ) ( ) { n } { } AC = = 3; n = 3,3 = 3 = 6cos ( θ ) e = 3 = 6cos ( θ ) Po substituição obtemos as equações cos( θ ) = e cos( ) θ = Sendo assim, temos π π π π θ =± + kπ e θ =± + kπ, com k Potanto θ =± + kπ e θ =± + kπ MAT04 UFBA: APC: apcattai@yahoocomb Página 8