Mecânica. M. dos fluídos

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1 Intodução eoia da Relatividade 1. Hieaquia da Mecânica Clássica ou Newtoniana Isaac Newton ( ) M. dos copos ígidos Mecânica M. dos fluídos Albet Einstein ( ) M. dos copos defomáveis ou meios contínuos ou sólidos M. dos mateiais (esistência dos mateiais) Os copos ou meios podeão esta em epouso ou em movimento. Daí seguem as outas sepaações: estática, cinemática, dinâmica Copo ígido: não muda a sua foma luído: não esiste ao cote Copos defomáveis: mudam de foma e esistem ao cote

2 . Conceito do meio contínuo, objectivos e estições de MMC Objectivos de MMC: omula equações que sevem paa detemina a esposta do MC ao caegamento Caegamento: Solicitações às quais os MC estão sujeitos do eteio Pelo contacto (po eemplo com outos copos): foças eteioes de supefície [N/m ] Nota: Quando a áea de contacto é muito infeio à áea total, as foças distibuídas podeão se substituídas pelas foças concentadas [N] ou foças de linha [N/m], o que epesenta uma simplificação da caga eal À distância: foças eteioes de volume: peso acção de campo de gavidade, foças de inécia [N/m 3 ]... campo eléctico, campo magnético... vaiações de tempeatua (campo témico)

3 A esposta do MC epime-se em temos de ENSÕES, DEORMAÇÕES E DESLOCAMENOS, que são desconhecidos em cada ponto do MC e cada instante incógnitas básicas do poblema A esposta do MC depende das popiedades (compotamento) do MC Homogeneidade Compotamento igual em cada ponto Isotopia Compotamento igual em cada diecção Objectivo (além de detemina a esposta): Avalia Dimensiona Optimiza

4 oças teão um conceito difeente do que na estática 1 oças difeentes Copos ígidos ou defomáveis 1 Copos ígidos oças vectoes deslizantes oças iguais ou equivalentes: quando têm a mesma linha de acção (diecção), intensidade e sentido Copos defomáveis 1 1 oças: vectoes fios, o ponto de aplicação da foça é impotante (coesponde ao ponto na supefície do copo)

5 3. ensoes catesianos, cálculo tensoial Quantidades físicas: Escalaes Vectoes ensoes de segunda odem... ensoes de odem zeo ensoes de pimeia odem ensoes de segunda odem... Relacionadas a uma dada posição e um dado tempo Campos físicos: Quantidades físicas como funções de posição e/ou de tempo Campo escala Campo vectoial Campo tensoial de segunda odem...

6 Escalaes 1 valo é suficiente paa descição completa Eemplos: tempeatua, massa, densidade, tempo Vectoes É peciso 3 valoes paa descição completa de um vecto live Repesentação geomética Ponto de aplicação Diecção Sentido Intensidade O vecto é plenamente deteminado no ponto P quando sabemos: diecção intensidade sentido

7 ensoes de segunda odem É peciso 9 valoes paa descição completa O tenso de segunda odem é plenamente deteminado no ponto P quando sabemos 3 vectoes de pontos de aplicação P, elacionados à 3 planos difeentes, não paalelos, que se intesectam no P Repesentação geomética dos tensoes... mais tade de acodo com o significado físico 4. Descição matemática dos tensoes Componentes num dado efeencial Númeo de componentes necessáias: Definição 3 n em 3D n em D onde n coesponde à odem do tenso Nota: Quantidades físicas: Componentes são númeos Campos físicos: Componentes são funções A quantidade física chama-se tenso quando as suas componentes obedecem a lei de tansfomação

8 Sistema de coodenadas ou efeencial catesiano ês eios ectos mutuamente pependiculaes Vectoes base com a noma igual Habitualmente dieito Rega de mão dieita z i k i j z j k René Descates ( ) Dedos de paa Dedos de paa z Dedos de z paa Polega mosta oientação positiva de z Polega mosta oientação positiva de Polega mosta oientação positiva de ensoes catesianos A lei de tansfomação é válida apenas no sistema catesiano

9 z i j k i i i z z e e e e k j i {} ( ) z z,, ),, ( z vectoial maticial Repesentação geomética no efeencial 3 z 1 e e k e e j e e i Vectoes Repesentação matemática

10 Deivação da lei de tansfomação α α Rotação do sistema de coodenadas α α D cosα + sin α cosα sin α cos α sin α sin α cos α R é matiz otogonal cosα sin α [ R ] 1 [ R] sin α cosα Paa efeencial dieito cosα sin α [ R] 1 det ± sin α cosα [ B] [ R] [ R] Componentes de vectoes base do sistema odado, ou seja os cosenos diectoes dos vesoes dos eios odados, fomam as colunas de matiz de tansfomação de base do efeencial [B]

11 ensoes de segunda odem Repesentação das componentes na foma maticial 11 1 [ ] 1 1-, -, 3-z [ ] z z z z zz z z z z z Lei de tansfomação [ ] [ R] [ ] [ R] [ ] [ R] [ ] [ R] ensoes de odem maio...

12 5. Álgeba tensoial Cálculo maticial e vectoial até tensoes de segunda odem ensoes catesianos de segunda odem enso simético enso antisimético 0 ij ji ij ji ii A popiedade mantém-se, qualque que seja o efeencial Cada tenso de segunda odem pode se escito como soma da sua pate simética e antissimética [ ] [ S] + [ A] S ( )/ A ( )/ ij ij + ji ij ij ji

13 Cada tenso de segunda odem simético pode se escito como soma a sua pate esféica (isotópica, volúmica) e desviatóica (tangencial) [ ] m [ I] + [ D] m Valoes e vectoes pópios (pincipais) D D ij ii ij ii i j m D + D + D ([ ] λ[ I] ) { v} { 0} (Eq. 1) coesponde a n equações algébicas lineaes homogéneas Eiste solução não tivial paa {v} quando det ([ ] λ[ I] ) 0 Os númeos λ que asseguam a nulidade do deteminante chamam-se valoes pópios, pode-se pova que são eais no caso dos tensoes siméticos Assim as equações (Eq. 1) são lineamente dependentes, po isso o númeo das soluções paa {v} elacionado a cada λ é infinito

14 D [ ] λ[ I] ( ) ( λ I λ + I ) 0 det 1 ([ ] ) I1 m taço + m I det( [ ] ) λ I1λ + I 0 Invaiantes Escalaes que não alteam o seu valo com a otação do efeencial I 1, I são invaiantes fundamentais Nota: Invaiante dos vectoes: noma Em D a esolução pode se facilmente epimida analiticamente O poblema pode se definido de tês maneias equivalentes: 1. Resolve a equação caacteística ->valoes pópios ->vectoes pópios. Enconta o máimo e o mínimo dos valoes diagonais 3. Enconta a otação paa a qual 0 cos θ + sin θ + sin θcosθ sin θ + cos θ sin θcosθ ( ) ( sin θcosθ + cos θ sin θ) Lei de tansfomação

15 + + cos θ + sin θ + cos θ sin θ sin θ + cos θ 0 R + ( min) paa > 0 ( ma) tg R R ma m + Começando do estado pincipal min Justificação da cicunfeência ou m ( ) + R m ( ) + R m + R cos θ m R cos θ m R sin θ ( θ ) de até ou de até p Cistian Otto Moh ( )

16 Valoes foa de diagonal min ( ) Cicunfeência de Moh ( ) θ m θ p θ ( ) ( ) ma > 0 ( )/ [ ] Valoes diagonais -> positivos paa baio -> positivos paa cima < 0 θ [ ] tg ( θ ) p θ p R R +

17 R máimo da componente foa de diagonal, neste caso as componentes diagonais não se anulam, ambas têm o valo m 0 ma 0 min,ma R ( min) ma ( ma) Depois da esolução dos valoes e diecções pincipais convém veifica os invaiantes (fundamentais) min m,ma [ ],ma m,ma [ ],ma m m Invaiantes taço det ([ ] ) ([ ] ) Refeencial oiginal + Refeencial alindado com di. pincipais + ma min ma min

18 Pólo iadiante de facetas Os eios de coodenadas coespondem às nomais das facetas min ( ) faceta diecção faceta m ( ma) ( min) ( ) pólo faceta diecção faceta ( ) ( ) ( min) ( ma) faceta ( ) min faceta( min) faceta ( ) ma faceta( ma) θ p θ faceta ( ) ma ( ) faceta ( ) θ

19 ( ) faceta ( ) m ( )??? ( ) P Ponto ( ) está acima do eio hoizontal, po isso <0 Casos específicos ( ) P ( ) min ma min P ma ( )

20 Deteminação das componentes sabendo tês valoes diagonais Sabemos: incógnitas: a, Devido ao efeencial intoduzido: b, a c,, c β b α a θ b c ( α) + sin ( α) + sin( α) ( α) cos cos a ( α + β) + sin ( α + β) + sin( α + β) ( α + β) cos cos Resolve,

21 Solução gáfica min [] b α [ a] ( a) β ( π α β) [] c ma c β α b a Desenho oiginal ( b) β α () c b α a α abitáio c β α α Desenho auilia

22 3D Os valoes pincipais são 3, contudo podem se múltiplos Calculam-se como aízes da equação caacteística [ ] λ[ I] ( ) ( 3 λ I λ + I λ I ) 0 det 3 1 λ 3 I1λ + Iλ I3 0 Eistem pelo menos tês vectoes pincipais nomalizados (e. do sentido) Quando os valoes pópios são difeentes, os vectoes pincipais nomalizados são 3 (unicamente definidos ecepto do sentido) mutuamente otogonais Invaiantes fundamentais I1 3m taço I det I 3 det ([ ]) ([ ] ) + det z z z + det I 1, I e I 3 são também chamados invaiante linea, quadático, cúbico Outos invaiantes: combinação de I 1, I e I 3, e também po eemplo valoes pópios z z z

23 Valoes pópios Os vectoes pópios (otogonais) definem um efeencial, elativamente a qual a matiz de coeficientes é diagonal Valoes na diagonal são os valoes pópios (foma canónica) O máimo dos valoes pópios é o máimo de todas as componentes nomais, qualque que seja o efeencial O mínimo dos valoes pópios é o mínimo de todas as componentes nomais, qualque que seja o efeencial A matiz de tansfomação de base [B] tem colunas fomadas pelos vectoes pópios nomalizados A solução é única, po isso encontando a matiz de coeficientes diagonal, pode-se conclui que o efeencial é fomado pelos vectoes pópios e que os valoes na diagonal são pincipais, um deles o máimo e um deles o mínimo Cálculo das aízes da equação caacteística (valoes pópios): 3 1 I 9I I 1 1 accos 3 + 7I θ ( ) 3/ I1 3I 3 λ + I 1 π + I 3I cos j, j j 1 1 θ ,1, Depois de calcula valoes pópios, usa-se o sistema de equações (Eq. 1) com o valo pópio substituído, paa calcula os vectoes pópios nomalizados

24 Casos paticulaes No caso paticula da figua ao lado, vectoes () e (3) não são unicamente definidos. odos os vectoes que satisfazem a equação com o valo λ λ 3 substituído, fomam um plano, cuja nomal coincide com a diecção (1) () (1) (3) λ 1 λ λ3 λ λ λ3 1 qualque diecção é pincipal [ ] A 0 D 0 D B 0 0 C Já é valo pincipal Vecto pincipal coespondente: Simplificação paa o caso D { ( ) v } ( 0,1,0 ) A D D [ ] C

25 3D Depois da esolução dos valoes e diecções pincipais convém veifica os invaiantes e a otogonalidade de vectoes pópios I I3 1 3 I + Invaiantes no efeencial pincipal Valoes máimos foa de diagonal Usando as conclusões de D Cículo de Moh 3 1 () 1 () 3 ( ) ± ± Cículos fundamentais 1 3 z,ma