II MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE

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1 Cuso de nálise Maticial de stutuas II MTIZS D IGIDZ FXIBIIDD II.- elação ente ações e deslocamentos II.. quação da oça em temos do deslocamento F u Onde a igidez da mola () é a oça po unidade de deslocamento, ou seja, é a oça equeida paa poduzi um deslocamento unitáio na mola. II.. quação do deslocamento em temos da oça: u δ F Onde δ é a deomabilidade da mola, gealmente chamada de lexibilidade, sendo o deslocamento po unidade de oça, ou seja, é o deslocamento poduzido pela aplicação de uma oça de valo unitáio.

2 Notas de ula - uiz. C. Moniz de agão Filho II. Deinições ij Coeiciente de igidez: epesenta a ação (oça) na dieção i causado po um deslocamento unitáio na dieção j (enquanto todos os outos deslocamentos são impostos como nulos). ij Coeiciente de lexibilidade: epesenta o deslocamento na dieção i causado po uma ação (oça) de valo unitáio na dieção j (enquanto todas as outas são nulas). II.3 quações de quilíbio II.3. Foça em unção de deslocamentos Fig II. Coeicientes de igidez em estutua composta de hastes com solicitação axial: (a) - Sistema de coodenadas globais ( e ); (b) e (c) - Coeicientes de igidez. O que eu conheço? ações ( e ) oças po unidade de deslocamento coeicientes de igidez (,,, ) obtidos peviamente. O que eu queo? deslocamentos ( e )

3 Cuso de nálise Maticial de stutuas 3 Sendo Foça aplicada na coodenada, paa se gaanti o equilíbio no nó, ela deve se igual ao somatóio das oças (intenas) na coodenada esultantes dos deslocamentos ocoidos ao longo da estutua, ou seja: Da mesma oma paa a coodenada, obtém-se: eunindo as equações sob oma maticial, obtém-se ainda: onde {} é o veto das ações extenas (solicitações); { } [ K]{} {} é o veto dos deslocamentos; [ K ] é MTIZ D IGIDZ da estutua em estudo, de dimensões (x), coespondente ao númeo de coodenadas utilizadas. matiz de igidez é uma matiz de tansomação linea: tansoma o veto dos deslocamentos no veto das ações. II.3. Deslocamento em unção das oças Fig II. Coeicientes de lexibilidade em estutua composta de hastes com solicitação axial: (a) - Sistema de coodenadas globais ( e ); (b) e (c) - Coeicientes de lexibilidade.

4 4 Notas de ula - uiz. C. Moniz de agão Filho O que eu conheço? ações ( e ) deslocamentos po unidade de oça coeicientes de lexibilidade (,,, ) obtidos peviamente. O que eu queo? deslocamentos ( e ) Pelo pincípio da supeposição (egime elástico-linea), o deslocamento inal na coodenada seá igual à soma dos deslocamentos ocoidos pela aplicação de cada uma das ações extenas, ou seja: Da mesma oma paa a coodenada, obtém-se: eunindo as equações sob oma maticial, obtém-se ainda: {} []{} F onde {} é o veto das ações extenas (solicitações); {} é o veto dos deslocamentos; [] F é MTIZ D FXIBIIDD da estutua em estudo, de dimensões (x), coespondente ao númeo de coodenadas utilizadas. II.3.3 Obsevações. s matizes [ K ] e [ F ] estão vinculadas a um deteminado sistema de coodenadas;. Só cabem no egime elástico e linea (na oma como aqui oam apesentadas); 3. Cada uma dessas matizes é a invesa da outa: {} []{} F ; {} [ K]{} ; {} [][]{} F K [][] F K I [] F [] K - 4. No utuo seá visto que nem sempe elas são invesíveis.

5 Cuso de nálise Maticial de stutuas 5 II.4 Montagem das Matizes de Flexibilidade e igidez pelo P.T.V. II.4. xemplo da estutua composta de hastes com solicitação axial II.4.. Matiz de Flexibilidade Fig II.3 stutua composta de hastes com solicitação axial: (a) - Sistema de coodenadas globais ( e ); (b) e (c) Coeicientes de igidez; (d) e (e) Coeicientes de lexibilidade. Da esistência dos mateiais, obtém-se as elações da haste com solicitação nomal: σ ε F σ u ε F u u F

6 6 Notas de ula - uiz. C. Moniz de agão Filho matiz de lexibilidade da estutua pode então se montada a pati do conceito de seus coeicientes: - é o deslocamento na coodenada povocado pela aplicação de uma oça unitáia também na coodenada : u - é o deslocamento na coodenada povocado pela aplicação de uma oça unitáia na coodenada : - é o deslocamento na coodenada povocado pela aplicação de uma oça unitáia na coodenada : u - é o deslocamento na coodenada povocado pela aplicação de uma oça unitáia também na coodenada : u ogo, obtém-se: [] F II.4.. Matiz de igidez matiz de igidez pode se obtida pela simples invesão da matiz lexibilidade, obtendose: () F det [ ] [ ] () t F det F K

7 Cuso de nálise Maticial de stutuas 7 matiz de igidez pode ainda se obtida atavés da conceituação de seus coeicientes, e das elações existentes na haste submetida à caegamentos axiais. - é a oça na coodenada decoente da imposição de um deslocamento unitáio também na coodenada, mantendo-se as demais coodenadas estingidas. F - é a oça na coodenada decoente da imposição de um deslocamento unitáio na coodenada, mantendo-se as demais coodenadas estingidas. - é a oça na coodenada decoente da imposição de um deslocamento unitáio na coodenada, mantendo-se as demais coodenadas estingidas. - é a oça na coodenada decoente da imposição de um deslocamento unitáio na coodenada, mantendo-se as demais coodenadas estingidas. Obtendo-se po im a mesma matiz de igidez: [ ] K

8 8 Notas de ula - uiz. C. Moniz de agão Filho II.4. xemplo da estutua engastada e live II.4.. evisão do Pincípio dos Tabalhos Vituais P.T.V. O tabalho vitual das oças extenas é igual ao tabalho vitual das oças intenas, paa todos os deslocamentos vituais abitáios impostos. W ext P δ, W M dϕ int, M Pela esistência dos mateiais, tem-se que d ϕ ds. ogo: J M W ext W int P δ M J (expessão instituída po Moh paa estutuas submetidas à lexão somente) ds P caga extena vitual M esoço de momento inteno (vitual) δ deslocamento eal (a calcula) dϕ deslocamento angula conhecido (eal)

9 Cuso de nálise Maticial de stutuas 9 II.4.. Matiz de Flexibilidade Fig. II.4 Viga engastada e live com duas coodenadas desloc. na coodenada devido a uma caga unitáia também na coodenada ; O coeiciente pode se então obtido pelo P.T.V. como sendo o deslocamento (eal) da extemidade da viga segundo a coodenada decoente da intodução de uma oça unitáia (eal) segundo a coodenada. pati de uma oça vitual unitáia aplicada no nó da extemidade, obtém-se o seguinte estado de caegamento (vitual): () s s, s de até M

10 Notas de ula - uiz. C. Moniz de agão Filho Já o estado de deomação (eal) onece os esoços decoentes da aplicação do conjunto de ações extenas (eais). Po Hipótese, as ações extenas paa obtenção de são: () s s, s de até M δ s s ds J 3 s 3J 3 3J De oma análoga, o coeiciente pode se obtido pelo P.T.V. como sendo o deslocamento (eal) da extemidade da viga segundo a coodenada decoente da intodução de uma oça unitáia (eal) segundo a coodenada. pati de uma oça vitual (também unitáia) aplicada no nó da extemidade segundo a coodenada, obtém-se o seguinte estado de caegamento (vitual): () s, s de até M O estado de deomação elativo ao coeiciente é obtido pelas aplicação das ações extenas (eais), elacionando o deslocamento (que se que conhece) do topo da viga segundo a coodenada às deomações coespondentes ao longo de toda estutua (obtíveis pelo DMF e es. Mat.):

11 Cuso de nálise Maticial de stutuas () s s, s de até M δ ( s) s ds J J J Da mesma oma, paa os deslocamentos e obtém-se: Desta oma, pode-se calcula os deslocamentos pelo P.T.V.: J J

12 Notas de ula - uiz. C. Moniz de agão Filho J J s integais podem se obtidas atavés da tabela II apesentada no livo Cuso de nálise stutual de José Calos Sussind, vol., 98:

13 Cuso de nálise Maticial de stutuas 3 matiz de Flexibilidade da estutua em estudo é potanto: 3 3 [] F 3J J 6J 3 6 J J s unidades dos coeicientes da matiz de lexibilidade são: m m un [] F N m N ad ad N m N II.4..3 Matiz de igidez matiz de igidez pode se obtida pela invesão da matiz de lexibilidade: det 3 J 4 J J [] F co[] F J J 3 J 3J [ K] J 3 6 J 6 J 4 J [ K] [ K] det J J [] F J J 3 3J t II.4..4 plicações pati de ações extenas conhecidas { P } extemidade da viga? 3 3J J N, quais os deslocamentos na 3 m N 3 3 J 3J J 3 J J J, m pati de deslocamentos impostos {}, quais os esoços na extemidade, ad da viga? J 6 J P,8 J 3,,5 J P 6 J 4 J,

14 4 Notas de ula - uiz. C. Moniz de agão Filho II.5 Teoemas da ecipocidade de Betti-Maxwell Teoema de Betti O tabalho poduzido po um sistema de oças em equilíbio quando se desloca devido às deomações poduzidas po um outo sistema de oças em equilíbio, é igual ao tabalho poduzido po este segundo sistema de oças quando se desloca devido às deomações poduzidas pelo pimeio sistema. Teoema de Maxwell O deslocamento segundo i, causado po j, é igual ao deslocamento segundo j, causado po i ( ij ji ). Implicando em: gandeza mecânica a aplica segundo i, paa mante a coniguação deomada com j, é igual à gandeza mecânica aplicada j, paa mante a coniguação deomada com i ( ij ji ). s matizes de igidez e Flexibilidade são sempe siméticas.