Forma Integral das Equações Básicas para Volume de Controle

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1 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Foma Integal das Equações Básicas paa olume de Contole Fomulação paa vs Fomulação paa volume de contole: fluidos são capazes de distoção e de defomação contínua, assim é difícil de identifica e acompanha ceta massa de fluido na pática, muitas vezes estamos inteessados no efeito do movimento do fluido em alguma máquina de fluxo (bombas, tubinas, compessoes, etc.), num moto de combustão intena, ou numa estutua (tubulações, bocais, asas de aeoplanos, aeofólios de caos de coida, etc.), ente outos, e não no movimento da massa fluida em si. Assim, muitas vezes é mais conveniente aplica as leis básicas a um volume fixo de espaço, ao invés de a uma massa fixa e definida de fluido.

2 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez As leis Básicas do Sistema (como equações de taxas) 1- Consevação da massa: A massa, M, de um é constante dm 0 onde : M massa dm ( ) ( ρ d ) 2- Segunda Lei de Newton: Paa um movendo-se elativo a um efeencial inecial, a soma de todas as foças extenas atuando no é igual à taxa de vaiação da quantidade de F onde P movimento linea do com o tempo dp P é a quantidade de movimento linea dm ρd massa (, ) ( )

3 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez 3- Pimeia Lei da Temodinâmica Lei da consevação da enegia de um δ Q δ W de, como equação de taxa : Q& W& de onde a enegia total do é dada po : E massa ( edm ) ( e ρ ) d onde : e u gz

4 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Relação ente as Deivadas do Sistema e a Fomulação do olume de Contole N: qualque popiedade extensiva do h: popiedade intensiva (po unidade de massa) do Assim: N massa ηdm ( ) ( ) d Potanto: N N M P,, então então η η 1 N E, então η e

5 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Passagem da fomulação de Sistema à Fomulação de olume de Contole (.C.) Como massa cuza as fonteias do volume de contole, vaiações no tempo da popiedade extensiva N associadas ao.c. envolvem o fluxo de massa e as popiedades tanspotadas (po convecção) pelo fluxo de massa. Uma foma conveniente de leva em conta o fluxo de massa é aplica um pocesso limite envolvendo um e um volume de contole coincidentes em um ceto instante. A equação final elaciona a taxa de vaiação da popiedade extensiva abitáia, N, paa um com as vaiações no tempo dessa popiedade associadas com um volume de contole.

6 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez DERIAÇÃO Configuação do e do volume de contole

7 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Cont. ista ampliada da sub-egião (3)

8 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Cont. ista ampliada da sub-egião (1)

9 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Foma Integal das Equações Básicas paa olume de Contole (cont.) Teoema do Tanspote de Reynolds: Relação fundamental ente a taxa de vaiação de qualque popiedade extensiva abitáia, N, de um e as vaiações dessa popiedade associadas com um volume de contole dn t C d + SC da (1) - O Teoema do tanspote de Reynolds foi deduzido no instante em que o e o volume de contole coincidem; isto é vedade pois quando t 0 o e o volume de contole ocupam o mesmo volume e tem as mesmas fonteias. - Esta fomulação é válida paa volume de contole fixo e não defomável.

10 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Intepetação Física dn : é a taxa de vaiação total de qualque popiedade extensiva abitáia do t C d : é a taxa de vaiação no tempo da popiedade extensiva abitáia, N, dento do volume de contole: η é a popiedade intensiva coespondente a N (po unidade de massa) ρd é um elemento de massa contido no volume de contole d é a quantidade total da C popiedade extensiva, N, contida dento do volume de contole SC da : é a taxa líquida de fluxo da popiedade extensiva N atavés da supefície de contole: ρ da é a taxa de fluxo de massa atavés do elemento de áea da po unidade de tempo da é a taxa de fluxo da popiedade extensiva N atavés da áea da

11 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Dois pontos impotantes sobe o Teoema do Tanspote de Reynolds 1. A velocidade na equação (1) é medida em elação ao volume de contole 2. Paa o desenvolvimento da equação (1) consideamos um volume de contole fixo em elação às coodenadas de efeência x, y e z. Potanto, a vaiação da popiedade extensiva abitáia, N, dento do volume de contole deve se avaliada po um obsevado fixo no volume de contole Teoema do tanspote de Reynolds paa o caso de um volume de contole movendo-se com velocidade unifome: dn onde : d + t C SC SC ( ) da Teoema do tanspote de Reynolds paa o caso de um.c. defomável e movendo-se abitaiamente: dn onde : d t C + SC ( ) da ( ) ( ) x, y, z, t x, y, z, t SC

12 Núcleo de Engenhaia Témica e Fluidos Mecânica dos Fluidos (SEM5749) Pof. Osca M. H. Rodiguez Avaliação da integal de supefície do Teoema do Tanspote paa o caso especial do Escoamento Unifome Escoamento unifome numa seção implica que as popiedades e velocidade são constantes sobe toda a áea da seção. Supondo que na seção: ρ é constante e η é um escala e é constante: A n da n n A n η ± ρ [ ] A n n n (Quado nego)