Equações de Conservação

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1 Equações de Consevação Equação de Consevação de Massa (continuidade) Equação de Consevação de Quantidade de Movimento Linea ( a Lei de Newton) Equação de Benoulli Equação de Enegia (1 a Lei da temodinâmica) Equação de Benoulli Modificada Instalações hidáulicas Peda de caga Fato de atito 1

2 Teoema de Tansote de Reynolds emite tansfoma as equações aa sistema (massa fixa) aa volumes de contole (volume fixo) Vaiação total = taxa de vaiação + fluxo líquido saindo com o temo de da gandeza gandeza esecífica de uma gandeza esecífica no VC atavés da de um sistema VC sistema dm = d V 1 dm = d V f = gandeza esecífica ; = massa esecífica ; d = volume infinitesimal d m = massa infinitesimal ; d m = d ; d F = gandeza no volume infinitesimal ; d F = f d m = f d

3 taxa de acumulação de uma gandeza esecífica VC dm = d V t f dm VC t f d VC V 1 quantidade da gandeza que cuza a suefície: f d m = f da L= = f da V n dt = f V n da V n V d m= da L= = da V n dt fluxo líquido de massa cuzando a f V n d A V V n V n df d t sistema t f d VC f V n d 3 A

4 Equação de Consevação de Massa Sistema: sistema dm = d d d t d sistema d m 0 0 d t Volume de contole: t d VC V nd A0 A Vaiação com o temo da da massa do volume de contole B Fluxo líquido de massa atavés da suefície de contole 4

5 Consevação de Massa d V nd A0 t m VC VC d V nd A VC V cosq d A V n d A m V n A = fluxo de massa Se escoamento enta (q > 90) cos q < 0 Se escoamento saí (q < 90) cos q >0 Vn d A m s m e V q n m t VC m m e s 5

6 Considee 1 entada e 1 saída V nd A V nd A V nd A A enta A sai A enta V cos qd A A sai V cos qd A Se escoamento áea: entada cos q = - 1 e saída cos q = +1 V nd A V d A V d A V A V A enta sai sai enta Aenta Asai t m VC V A V A enta sai 6

7 Regime emanente: / t=0 Hióteses: O VC não se move em elação ao sistema de coodenadas O estado da massa em cada onto do VC não vaia com o temo Fluxo de massa atavés da e o estado de massa que cuza a não vaiam com o temo t d VC Regime emanente: V nd A0 m t VC 0 Regime emanente, com 1 entada e 1 saída: m m e m s e m s m cte 7

8 Consevação de Massa t d VC V nda0 Incomessível ( = cte): d V nda0 t VC Incomessível ( = cte) e egime emanente: V nda 0 m Fluxo volumético 8

9 Execícios (4) 1. Considee o escoamento em egime emanente de água atavés do disositivo mostado na figua. As áeas são: A 1 = 185 cm ; A =46cm ; A 3 =A 4 =370cm. A vazão em massa saindo atavés da seção (3) é m 3 =56,5 kg/s. A vazão em volume entando ela seção (4) é de 4 =0,08 m 3 /s. Na seção (1) a velocidade é unifome e igual a V 1 3î m / s Se a oiedades foem consideadas unifomes y atavés de todas as entadas e saídas de fluxo, detemine a velocidade do escoamento na seção (). (1) x 60 () (3) 30 9

10 . Um tanque com volume de 0,05 m 3 contem a a essão absoluta de 800kPa e temeatua de 15 o C. Em t=0, o a escaa do tanque atavés de uma válvula com uma áea de escoamento de 65 mm. O a que assa ela válvula tem uma velocidade de 300 m/s e massa esecífica de 6 kg/m 3. As oiedades no esto do tanque odem se consideadas unifomes a cada instante de temo. Detemine a taxa instantânea de vaiação da massa esecífica do a no tanque, em t=0. 10

11 3) Água escoa num tubo com diâmeto de m. A velocidade dento do tubo é dada o V ( 1 / R ) i m / s Detemine: a) A vazão volumética de água entando no tubo; b) A velocidade média no tubo meno com diâmeto de 0 cm. Considee egime emanente. Obs: velocidade média é definida como a vazão volumética dividida ela áea. 11

12 3. Equação de Consevação de Quantidade de Movimento (ª. Lei de Newton) Na fomulação integal, vamos usa o teoema de tansote de Reynolds: dn dt sist t h d h V VC n da h N N m Poiedade extensiva Poiedade intensiva

13 Consevação de Quantidade de Movimento Linea N mv h V d( mv ) dt sist t Vd V V VC n da Taxa de vaiação da quantidade de movimento no volume de contole Pela segunda Lei de Newton: Fext d ( mv ) dt Vd V V n t VC da sist Fx Fluxo de quantidade demovimento atavés da suefície de contole Fext vxd vx V n da t VC Fy v yd v y V n da t VC

14 1) Exemlos:

15 )

16 3) Uma coeia tansotadoa ecebe aeia de um alimentado a uma taxa de 500 kg/s. A velocidade da aeia saindo do alimentado é de 5 m/s. A coeia se move a 3 m/s. Desezando o atito da coeia, calcule a foça necessáia aa move a coeia enquanto ela está caegada. A aeia sobe a coeia move-se com a velocidade da coeia.

17 4) Considee o escoamento simético ao edo de um cilindo. O volume de contole,excluindo o cilindo é mostado na figua. A distibuição de velocidade a jusante do cilindo é aoximada o uma aábola, como mostado. Detemine a foça de aasto o meto do comimento tansvesa agindo sobe o cilindo. A massa esecífica do a é 1,3 kg/m 3

18 5)

19 6)

20 0

21 1

22

23 Linha de coente: linha tangente ao veto velocidade V V 1 Tubo de coente: é a egião do escoamento delimitada o linhas de coente. 3

24 Equação de Benoulli Considee um tudo de coente, egime emanente, sem edas Eq. Continuidade: d V nd A0 t VC V nd A0 m VA cte Eq. Quantidade de Movimento Fext Vd V V n t VC d A g A dz m V V ) ( 1 da VA dv d g dz dv 4

25 integando g z V cte Equação de Benoulli 5

26 6 Tubo de Pitot: Medido de velocidade H g h g H g h g m 1 * * 1 h * * H h g se h g m m m 1 1 h g V m ) (

27 Exemlos: 1) Calcule a velocidade de deno de um tanque atavés de um equeno oifício na ate infeio do tanque, suondo um fluido incomessível. 1 V =? ) Um duto com áea de 1m se contai gadualmente aa uma áea de 0,4 m, confome a figua. A queda de essão é medida com um manômeto com deflexão de 10 cm. O líquido utilizado no manômeto ossui massa esecífica de 500 kg/m 3. Calcule a vazão de água no duto ( agua = 1000 kg/m 3 ). 1 z h 10cm 7

28 1a. Lei da Temodinâmica aa sistemas: de Q W + Q convenção + W - Q - W Taxa de vaiação de enegia de sistemas = = taxa de enegia que enta taxa de enegia que sai de dt Q dt - W dt Potência: enegia/temo Unidades: J/s = W (Watts) ; Btu/h, HP=0,75 kw= 545 Btu/h 8

29 1a. Lei da Temodinâmica aa volumes de contole: dt 0 : dt 0 : lim dt0 lim dt0 Q dt W dt Q taxa de tansfeên cia de calo W taxa de tansfeên cia de tabalho de dt Q dt - W dt de dt Q W + Q convenção + W - Q - W de dt sistema t e d VC e V n d A 9

30 1a. Lei aa volumes de contole; Q W enegia t e e d VC u V gz e total = intena + cinética + otencial V n d A Existem divesas fomas de tabalho, logo é conveniente eesceve esta equação, exlicitando algumas fomas de tabalho Tabalho: W W sueficie W eixo W outos 30

31 Tabalho: Foça: Foça nomal: W W sueficie W eixo W W df d df df nomal suefície da n : essão nomal comessiva df nomal Tabalho sob o VC df outos tangencial W nomal da n d Foça tangencial: df tangencial d A t Tabalho sob o VC W tangencial d A t d : tensão viscosa 31

32 Potência: W W df d W d t W n W t W W e W df dv outos Potência devido aos esfoços nomais, taxa de tabalho de fluxo W n V n d A V n d A Potência devido aos esfoços tangencias W V t d A se V t W t 0 t 3

33 33 Em geal gz V u e 1a. Lei aa volumes de contole 0 outos t W W VC e A d n V gz V u d gz V u t W Q VC outos t e A d n V e d e t W W W Q u h entalia

34 Instalações hidáulicas Objetivo: Cálculo de eda de caga e otência em instalações de bombeamento Consideando egime emanente uma entada e uma saída: Consevação de Massa d V nd A0 t VC m V 1 A1 V A 34

35 35 Instalações hidáulicas 1a. Lei da temodinâmica h L e dm Q u u g g V g V z z m g W g g ) ( Enegia mecânica o unidade de massa do escoamento Peda de enegia ente os ontos 1 e Peda de caga VC e A d n V gz V u d gz V u t W Q L e h g V g V z z m g W ) ( g g

36 W Peda de caga zeo eda da caga = eda da caga contínua + eda de caga localizada e m g h L1 hl 1 hl 1 g g 1 continua ( z z1 ) zeo eda da caga contínua L AC V V 1 h g g L1 zeo Gealmente a eda da caga é deteminada emiicamente. h L 1 g eda da caga em acidente D D 36

37 Peda de caga continua Escoamento hidodinamicamente desenvolvido, na esença de gadiente de essão s P m dx A t ( +/x dx) A t F ext 0 At ( x dx) At s Pm dx 0 s x At Pm x Dh 4 Indeendente do egime de escoamento 37

38 38 Definindo queda de essão adimensional ou fato de atito Peda de caga continua 1 m h u D x f 1 m h u D f x Peda de caga: g u D L f g h m continua L g L x

39 fato de atito f x 1 u m D h deende do númeo de Reynolds Re u m D h 39

40 O númeo de Reynolds que caacteiza a tansição neste caso é Re u m D h Re 300 lamina Re > 300 tubulento A velocidade caacteística é a velocidade média u m u m Q A T 1 A T u da A dimensão caacteística é o diâmeto hidáulico, D h D h 4 A P m t A t é a áea tansvesal do escoamento e P m é o eímeto molhado, o fato 4 é intoduzido o conveniência. 40

41 fato de atito f Paa escoamento lamina, fre=cte D x 1 u m h Re u m D h Paa geometia simles, o fato de atito ode se calculado analiticamente Duto cicula: f Re =64 Placas aalelas: f Re = 96 Duto quadado: f Re = 56 Duto anula: f Re deende da azão de aios ex / in 41

42 fato de atito f x 1 u m D h Paa escoamento tubulento, o fato de atito é deteminado emiicamente. Além de deende o no. de Reynolds, Re u m D h também deende da ugosidade elativa e /D h f f (Re, e D h ) 4

43 A ugosidade elativa deende do mateial da tubulação e do diâmeto da mesma 43

44 O fato de atito ode se avaliado a ati do diagama de Moody 44

45 Existem algumas coelações matemáticas como oção aa o diagama de Moody Blasius (Tubo liso): f 0, 3164 Re 0, 5 Colebook: f 1 e / D,51 0,0 log,5 3,7 Re f 0,5 Estimativa inicial Mille f o 0,5 e / D log 3,7 5,74 Re 0,9 45

46 Pedas de caga localizadas (acidentes): hl AC k V g ou Leq V hl AC f D g 46

47 Execício 1: Detemine o nível h do esevatóio aa mante a vazão indicada: Tubulação lisa Q= 0,03 m 3 /s D = 75 mm Entada do tubo: k = 0,5 Saída: atm Viscosidade: m = 10-3 kg/(ms) h z D= 75 mm Q L=100m 47

48 Execício : Água com = 1000 kg/m3 e n/ = 1 x 10-6 m /s é bombeada ente dois esevatóios com a vazão Q = 5,6 x 10-3 m 3 /s atavés de uma tubulação de L=10 m e D= 50 mm de diâmeto. A ugosidade elativa do tubo é e / D=0,001. Calcule a otência necessáia da bomba. Dados de coeficiente de eda de caga: Entada canto vivo: k=0,5 Saída canto vivo: k=1,0 Válvula globo abeta: k=1,0 Joelho a 90 o : k=0,9 Válvula de gaveta ½ abeta: k=0,1 48

49 Execício 3: Considee a instalação da figua ao lado. O tubo ossui uma ugosidade elativa de e/d = 0,001 e ossui um diâmeto D= 100 mm. Detemina a vazão máxima da instalação. Considea as edas localizadas somente na válvula de gaveta. H=4m L=180m D=100mm Q 49