2.1. Fluxo Eléctrico 2.2. Lei de Gauss 2.3. Aplicações da Lei de Gauss a Isolantes Carregados 2.4. Condutores em Equilíbrio Electrostático

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1 2. Lei de Gauss 1

2 2.1. Fluxo Eléctico 2.2. Lei de Gauss 2.3. Aplicações da Lei de Gauss a Isolantes Caegados 2.4. Condutoes em Equilíbio Electostático Lei de Gauss: - É uma consequência da lei de Coulomb. - Outo pocedimento paa o cálculo dos campos elécticos. mais indicado paa o cálculo do campo eléctico de distibuições de caga simética. - Guia paa o entendimento de poblemas mais complicados. 2

3 2.1. Fluxo Eléctico Base quantitativa a ideia de linhas do campo eléctico. Fluxo eléctico é uma medida do númeo de linhas do campo eléctico que atavessam uma deteminada supefície. Quando a supefície atavessada envolve uma deteminada quantidade de caga eléctica, o númeo líquido de linhas que atavessam a supefície é popocional à caga líquida no inteio da supefície. O númeo de linhas contado é independente da foma da supefície que envolve a caga (Lei de Gauss) 3

4 E Campo eléctico unifome (em módulo e diecção), áea A ao campo Áea A O númeo de linhas po unidade de áea é popocional ao módulo do campo eléctico. Φ E A (N.m 2 /C) Fluxo Eléctico Campo Eléctico Áea da supefície ao campo 4

5 Se a supefície não fo ao campo o númeo de linhas (ou o fluxo) atavés dela pode se meno. A θ E A A A cos θ θ : ângulo ente a nomal à supefície, A, e o campo eléctico unifome. Nº Linhas que atavessam A é igual ao númeo de linhas que atavessam a áea pojectada A (pependicula a ). Logo, neste caso: Φ A ΦA' E 5

6 Φ E A cos θ E A Fluxo atavés de uma supefície de áea fixa, tem: Valo máximo, E A, quando a supefície é pependicula ao campo eléctico (cos 0º 1) Valo nulo, quando a supefície é paalela ao campo eléctico (cos 90º 0) Em situações mais geais, o campo eléctico pode vaia sobe a supefície consideada. E cosθ θ 6

7 Exemplo 1: Supefície Gaussiana φ i E. A. cosθ i i E A i i Poduto escala A B ABcosθ 7

8 Φ lim E A E da A 0 i i i supeficie Definição geal do fluxo eléctico Integal sobe uma supefície hipotética Em geal o valo de Ф depende da configuação do campo e da supefície que se tive escolhido. Usualmente: calcula-se o fluxo atavés de uma supefície fechada (supefície que divide o espaço em uma egião inteio e uma exteio); ex: uma esfea A i são nomais à supefície (apontam paa foa ). Fig. anteio: 1: está paa o inteio e θ > 90º u E u E 3: está paa foa e θ < 90º φ E A < 0 u u φ E A> 0 8

9 O fluxo total ou líquido, atavés da supefície, é popocional ao númeo líquido de linhas que atavessam a supefície. nº de linhas que saem nº de linhas que entam Saem > entam fluxo líquido positivo Entam > saem fluxo líquido negativo Fluxo líquido: Φ E da E n da Integal sobe uma supefície fechada Componente do campo eléctico àsupefície O cálculo do fluxo líquido atavés de uma supefície fechada pode se muito tabalhoso Poém, se o campo E à supefície, em cada ponto, e tive módulo constante cálculo diecto. Execício 2.1 9

10 Execício 1: Um campo eléctico não unifome é dado po : E 3x(N/C m)ˆ i + 4(N/C) ˆj Atavessa a supefície gaussiana cúbica mostada na figua. Calcule o fluxo eléctico atavés da face dieita e atavés da face do topo. Face dieita: Face topo Face dieita 10

11 Execício: (cont.) x 3 m Face topo: Nota: tente calcula agoa o fluxo na face esqueda 11

12 2.2. Lei de Gauss Relação geal ente o fluxo eléctico líquido atavés de uma supefície fechada (supefície Gaussiana) e a caga pontual no inteio da supefície. Caga +q no cento de uma esfea de aio : Supefície Gaussiana +q da E q E k ˆ 2 na supefície Gaussiana. E adial E // Ai, i E A E A cos 0º E A Φ i n i i da EdA E da q k E n 2 da E cte. na supefície 12

13 Supefície Gaussiana Esféica da A 4π 2 kq 2 q Φ 2 ( 4π ) 4πkq ε 0 1 k 4πε O fluxo é independente de 0 O fluxo líquido atavés duma supefície Gaussiana esféica é popocional à caga, q, no inteio da supefície. q S 1 S 2 S 3 Ф ao númeo de linhas que atavessam a supefície. O fluxo líquido atavés de qualque supefície fechada que envolve uma caga pontual q é dado po Фq/ε 0 13

14 Caga pontual no exteio de uma supefície fechada. q nº de linhas que entam nº de linhas que saem Logo: O fluxo líquido atavés de uma supefície fechada que não envolve nenhuma caga, é nulo. 14

15 Caso geal de muitas cagas pontuais, ou de uma distibuição continua de cagas. Pincípio de sobeposição: o campo eléctico de muitas cagas é igual à soma vectoial dos campos elécticos povocados pelas cagas individuais. Logo o fluxo total seá: E da ( E + E + E... ) da S q 1 q 2 q 3 S S q1 Φ S ε 0 q + q 2 3 Φ S ' ε 0 Φ S '' 0 15

16 Resumo: Lei de Gauss: Φ E da q in ε 0 Caga líquida no inteio da supefície Campo eléctico em qualque ponto da supefície Gaussiana O fluxo eléctico líquido, atavés de qualque Supefície Gaussiana fechada, é igual à caga líquida no inteio da supefície, dividida po ε 0. q in : caga eléctica líquida no inteio da Supefície Gaussiana. E : campo eléctico total (contibuições das cagas no inteio e no exteio da Supefície Gaussiana). 16

17 Na pática, a Lei de Gauss só é útil num limitado númeo de situações, nas quais existe um elevado gau de simetia (distibuições de cagas que têm simetia esféica, cilíndica ou plana). A Supefície Gaussiana é uma supefície matemática. Se a Supefície Gaussiana é cuidadosamente escolhida o integal do fluxo seá fácil de calcula. 17

18 2.3. Aplicações da Lei de Gauss. E Cálculo do campo eléctico,, de uma dada distibuição de cagas. A Lei de Gauss é útil quando há um elevado gau de simetia na distibuição de cagas: e.g., esfeas, cilindos compidos ou chapas planas, todas unifomemente caegadas. A supefície deve se sempe escolhida de modo que tenha a mesma simetia da distibuição de caga. 18

19 a) Campo eléctico de uma caga pontual Supefície Gaussiana esféica, aio Supefície Gaussiana +q da E Campo adial, paa foa E à supefície P sup. E // da E da E da cos0º E da Lei de Gauss: Φ E da q in ε 0 2 EdA E da E.4π q ε 0 E cte. na supefície 19

20 Módulo do campo q E πε k q Foça electostática sobe uma segunda caga pontual q 0 Módulo F q E 0 k qq 0 2 Lei de Coulomb 20

21 b) Distibuição de caga num isolante com simetia esféica Esfea isolante; aio a; densidade de caga σ unifome; caga total +Q. 1) Intensidade do campo num ponto exteno à esfea, > a. a Φ Supefície Gaussiana esféica, aio concêntica E da q in ε 0 2 EdA E da E.4π E k ε 2 0 Resultado equivalente ao que foi obtido paa uma caga pontual!!! Q Q 21

22 2) Intensidade do campo no inteio da esfea ( < a). Esfea Gaussiana a q in no inteio da Supefície Gaussiana de Volume V é < Q qin ρ dv ρ 4 π 3 3 Exemplo a) E cte; E Sup. Gauss. P sup 22

23 Lei de Gauss < a 2 EdA E da E.4π qin ε 0 E 3 q ρ 4 3π ρ 2 4 4πε ε in 2 ( πε ) Como ρ Q V Q 4 π a 3 3 (Definição) Q kq 3 4 πε paa: < a a a E

24 E 0 quando 0 (simetia) 1 Quando : E E em 2 0!! a (fisicamente impossível) kq E 3 a E E kq 2 a 24

25 c) Distibuição de cagas num isolante com simetia cilíndica E Acha à distância de uma ecta unifomemente caegada, com caga +q, com compimento infinito e densidade de caga linea constante (λq/l cte.) E Simetia : ecta e tem diecção adial. E E l da E Vista das faces do cilindo Supefície Gaussiana q in λl Sobe a Supefície Gaussiana S: E cte, E S Psup ( E // da) Fluxo nas pates teminais do cilindo Gaussiano é nulo. ( E // faces; E da) 25

26 Lei de Gauss: φ c E da E da qin ε λl 0 ε 0 A 2π l (áea da supefície cilíndica) E 1 λ l λ λ E da E( 2π l) E 2k 1 ε 2πε 0 Cálculo mais tabalhoso pela Lei de Coulomb. Recta finita E 1 E 0 cte; E / Sup. P sup q in λl Lei de Gauss não tem utilidade paa o cálculo de uma ecta finita caegada. Pontos vizinhos da ecta, e afastados das extemidades 1 boa estimativa do valo eal do campo. Pouca simetia na distibuição de caga é necessáio calcula dediante a Lei de Coulomb 26

27 d) Folha Isolante Plana e Infinita Electicamente Caegada Densidade de caga σ po unidade de áea unifome E plano folha, diecção oposta em cada face. E Cilindo ecto equidistante do plano. E // supefície cilíndica S Ф sup 0 Sup. Gaussiana Ф paa foa, de cada base do ( ) cilindo ФE A E base Fluxo total Ф total 2EA E E() (a qualque distância do plano o campo é unifome) q ε in Φ 2EA σ A ε 0 0 E σ 2ε 0 27

28 2.4. Condutoes em Equilíbio Electostático Um bom conduto eléctico (ex: cobe) contém cagas (e - ) que não estão ligadas a nenhum átomo e podem desloca-se no seu inteio. Conduto em equilíbio electostático: quando não há um movimento líquido de cagas no inteio do metal. Popiedades de um conduto em equilíbio electostático: 1. O campo eléctico é nulo em qualque ponto no inteio do conduto. 2. Qualque excesso de caga, num conduto isolado, deve esta, necessáia e inteiamente, na supefície do conduto. 3. O campo eléctico na face extena da supefície de um conduto é pependicula à supefície do conduto e tem o módulo igual a Eσ/ε 0, onde σ é densidade a caga po unidade de áea no ponto da supefície. 4. Num conduto com foma iegula, a caga tende a acumula-se nos locais onde o aio de cuvatua da supefície é pequeno, isto é, onde a supefície é pontiaguda. 28

29 Popiedade 1 Placa condutoa num campo eléctico E E E d O campo inteno opõe-se ao campo exteno E E + d 0 No inteio do conduto Bom conduto equilíbio em ~ s (~ instantâneo) E 0! Se as cagas lives seiam aceleadas. 29

30 Popiedade 2 Lei de Gauss Supefície. Gaussiana Conduto com foma abitáia E 0 E 0 (1.) em todos os pontos do inteio do conduto em qualque ponto da Supefície Gaussiana Ф0 Lei de Gauss q in 0 Como não pode have caga líquida no inteio da Supefície Gaussiana que está abitaiamente póxima da supefície do conduto qualque excesso de caga, num conduto, deve esta na supefície do conduto. A Lei de Gauss não nos diz como o excesso de caga se distibui sobe a supefície (seá povado mais a fente). 30

31 Popiedade 3 Lei de Gauss Consideando uma supefície Gaussiana cilíndica: Ф supefície 0 (atavés da supefície cilíndica) Ф (fluxo líquido) E n A (atavés da base) campo eléctico na face extena pependicula à supefície. Lei de Gauss: Φ E da E A qin ε σa n n 0 ε 0 q in σ A E n σ ε 0 Caga (local) po Unidade de áea Áea da base do cilindo Execício

32 Popiedade 4 Lei de Gauss: elaciona o campo eléctico sobe a face extena da supefície de um conduto em equilíbio com a distibuição de caga no conduto à supefície. E inteio Ф 0 (q in 0) atavés da supefície gaussiana inteio. pependicula á supefície (se tivesse uma componente E A intodução de um campo exteno num conduto sem caga (1) poduz deslocamento dos electões lives (2) de modo a que a caga induzida na supefície anule o campo no inteio do conduto (3) tangencial, as cagas lives desloca-se-iam sobe a supefície, ciaiam coentes, e o conduto não estaia em equilíbio). E 32

33 Exemplo (Gaiola de Faaday) Gaiola de Faaday. Os copos dento da gaiola condutoa isolada estão potegidos dos aios extenos, mesmo ao tocaem a pate inteio da gaiola. Este fenómeno é chamado de blindagem electostática. Os passageios de automóveis e aviões ficam potegidos dos aios em dias de tempestade, dado estaem isolados da tea. 33

34 Exemplo (Gaiola de Faaday) Como funciona? A gaiola de Faaday consiste numa blindagem eléctica que é conseguida ao ciamos uma supefície oca feita com uma ede ou malha metálica, isolada da tea. No caso da gaiola da página anteio, a cavidade ocupa a maio pate do volume do mateial. Se a ede ou malha metálica fo elativamente fina, as cagas podeão se espalha unifomemente na supefície extena da gaiola. Esta estutua pevine que sinais elécticos muito fotes, po exemplo povenientes de um elâmpago, ciem campo elécticos muito intensos dento da gaiola. Isto é conseguido pelo facto que de o campo eléctico exteno induzi a mobilidade de cagas na supefície da gaiola cujo campo eléctico vai cancela o campo eléctico exteno no inteio da supefície da gaiola. Este fenómeno eléctico ocoe natualmente e está pevisto pela Lei de Gauss. Deste modo um demonstado dento da gaiola não sofe qualque choque eléctico ao toca a supefície intena quando esta é atingida po uma descaga eléctica poveniente de um aio. É pecisamente este pincípio que faz com que os viajantes de um automóvel ou de um avião pemaneçam em seguança em condições advesa de tempestades elécticas. 34

35 Exemplo (balde de Faaday) A figua seguinte mosta outa expeiência de Faaday elacionada com o equilíbio electostático de um mateial conduto. Ao apoximamos uma esfea caegada positivamente de um balde de foma cicula, que se enconta electicamente isolado (a), veificamos que ocoe um desvio no ponteio do electómeto ligado ao balde quando a esfea se enconta no seu inteio (b). A deflexão no ponteio deve-se ao facto que a caga positiva da esfea induzi uma caga negativa (atacção) na supefície intena do balde e uma distibuição de caga positiva (epulsão) na supefície extena do balde. Faaday constatou que o ponteio não se desviou mais, mesmo quando a esfea tocou no fundo do balde (C) e quando foi etiada do balde (d). Contudo constatou que após etia a esfea do balde esta encontava-se agoa descaegada. Apaentemente, quando a esfea tocou no fundo do balde houve uma passagem de uma quantidade de caga negativa, do balde paa a esfea, exactamente igual à quantidade de caga positiva que se encontava na esfea, logo ficando electicamente neuta (equilíbio electostático). O balde ao pede a caga negativa ficou só com uma quantidade de caga positiva exactamente igual à que a esfea possuía. 35