5 Estudo analítico de retas e planos

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1 GA3X1 - Geometia Analítica e Álgeba Linea 5 Estudo analítico de etas e planos 5.1 Equações de eta Definição (Veto dieto de uma eta): Qualque veto não-nulo paalelo a uma eta chama-se veto dieto dessa eta Equação vetoial da eta Sejam u um veto dieto de uma eta e A um ponto de. z X A λ u u y x Um ponto X petence a se, e somente se, AX e u são paalelos, ou seja, se, e somente se, existe um númeo eal λ tal que AX = λ u. Isso equivale a X = A+λ u Assim, a cada númeo eal λ fica associado um ponto X de e, ecipocamente, se X é um ponto de, existe λ satisfazendo a equação. Esta equação se chama equação vetoial da eta, ou equação vetoial da eta na foma vetoial Equações paaméticas da eta Suponhamos que X = (x,y,z), A = (x 0,y 0,z 0 ) e u = (a,b,c). Escevendo a equação vetoial em coodenadas, obtemos ou seja, (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 )+λ(a,b,c) = (x 0 +λa,y 0 +λb,z 0 +λc) x = x 0 +λa y = y 0 +λb z = z 0 +λc Este sistema de equações é chamado sistema de equações paaméticas da eta, ou sistema de equações da eta na foma paamética Equações siméticas da eta Se nenhuma das coodenadas do veto dieto de é nula, podemos isola λ no pimeio membo de cada uma das equações do sistema de equações paaméticas. λ = x x 0 a λ = y y 0 b 1 λ = z z 0 c

2 Potanto, x x 0 = y y 0 = z z 0 a b c Este sistema de equações é chamado sistema de equações da eta na foma simética Equações eduzidas da eta Às equações siméticas da eta x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c pode-se da outa foma, isolando duas vaiáveis e expessando-as em função da teceia. Isolando y e z em função de x, temos: { y = mx+n z = px+q que são chamadas equações eduzidas da eta (na vaiável x). Podemos, ainda, dize que esta é a equação de uma eta que passa po um ponto A = (0,n,p) e tem a dieção do veto u = (1,m,p). Isolando x e z em função de y, temos { x = my +n z = py +q que são as equações eduzidas da eta (na vaiável y). Podemos dize que esta é a equação de uma eta que passa po um ponto A = (n,0,p) e tem a dieção do veto u = (m,1,p). Isolando x e y em função de z, temos { x = mz +n y = pz +q que são as equações eduzidas da eta (na vaiável z). Podemos dize que esta é a equação de uma eta que passa po um ponto A = (n,p,0) e tem a dieção do veto u = (m,p,1). Execício 5.1: Seja a eta deteminada pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3, 2, 3). a) Obtenha equações de nas fomas vetoial, paamética e simética. 2

3 b) Veifique se o ponto P = ( 9,10, 9) petence a. c) Obtenha dois vetoes dietoes de e dois pontos de, distintos de A e B. Execício 5.2: Moste que as equações 2x 1 3 = 1 y 2 = z +1 descevem uma eta, escevendo-as de modo que possam se econhecidas como equações na foma simética. Exiba um ponto e um veto dieto da eta. Execício 5.3: São dados os pontos A = (0,1,8) e B = ( 3,0,9), e a eta : X = (1,2,0)+λ(1,1, 3). Detemine o ponto C de tal que A, B e C sejam vétices de um tiângulo etângulo. 3

4 5.1.5 Retas paalelas aos planos e aos eixos coodenados Se uma ou mais coodenadas do veto u foem nulas, temos casos paticulaes de etas paalelas aos planos ou aos eixos coodenados: 1 o ) Uma só das componentes de u = (a,b,c) é nula Neste caso, o veto u é otogonal a um dos eixos coodenados e, potanto, a eta é paalela ao plano dos outos eixos. Assim: a) Se a = 0, u = (0,b,c) Ox, então yoz z A u y x 0 b) Se b = 0, u = (a,0,c) Oy, então xoz z u A y 0 y x c) Se c = 0, u = (a,b,0) Oz, então xoy z z 0 A u y x 4

5 2 o ) Duas das componentes de u = (a,b,c) são nulas Neste caso, o veto u tem a dieção de um dos vetoes i = (1,0,0), j = (0,1,0) ou k = (0,0,1) e, potanto, a eta é paalela ao eixo que tem a dieção de i ou de j ou de k. Assim: a) Se a = b = 0, u = (0,0,c) k, então Oz z A k y 0 y x 0 b) Se a = c = 0, u = (0,b,0) j, então Oy x z y 0 A j y x 0 c) Se b = c = 0, u = (a,0,0) i, então Ox x z z 0 A i y 0 y x Obsevação: Os eixos Ox, Oy e Oz são etas paticulaes. Eixo Ox : Reta que passa pela oigem O e tem a dieção do veto i. Eixo Oy : Reta que passa pela oigem O e tem a dieção do veto j. Eixo Oz : Reta que passa pela oigem O e tem a dieção do veto k. 5

6 5.2 Equações de plano Assim como um veto não-nulo detemina a dieção de uma eta, um pa de vetoes não paalelos detemina a dieção de um plano. Estes vetoes são chamados vetoes dietoes do plano. Definição (Pa de vetoes dietoes de um plano): Se u e v são não-nulos e não paalelos, e são paalelos a um plano π, o pa ( u, v) é chamado pa de vetoes dietoes de π Equação vetoial do plano Sejam A um ponto do plano π e ( u, v) um pa de vetoes dietoes de π. v A X π Um ponto X petence a π se, e somente se, u, v e AX são paalelos ao plano π, ou seja, existem númeos eais λ e µ tais que Isso equivale a u AX = λ u+µ v X = A+λ u+µ v Po meio desta igualdade fica associado, a cada pa (λ,µ) de númeos eais, um ponto X do plano π. Recipocamente, se X petence a π, existem λ e µ satisfazendo a equação. Esta equação é chamada equação vetoial do plano π, ou equação do plano π na foma vetoial Equações paaméticas do plano Suponhamos que X = (x,y,z), A = (x 0,y 0,z 0 ), u = (a,b,c) e v = (m,n,p). A equação vetoial do plano fica ou seja, (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 )+λ(a,b,c)+µ(m,n,p) x = x 0 +λa+µm y = y 0 +λb+µn z = z 0 +λc+µp Este sistema de equações é chamado sistema de equações paaméticas do plano π, ou sistema de equações do plano pi na foma paamética. Execício 5.4: Seja π o plano que contém o ponto A = (3,7,1) e é paalelo a u = (1,1,1) e v = (1,1,0). 6

7 a) Obtenha duas equações vetoiais de π. b) Obtenha equações paaméticas de π. c) Veifique se o ponto (1,2,2) petence a π. d) Veifique se o veto w = (2, 2, 5) é paalelo a π. Execício 5.5: a) Esceva uma equação vetoial do plano que tem equações paaméticas x = 6+λ+µ y = 1+7λ+4µ z = 4+5λ+5µ 7

8 b) Obtenha tês pontos não-colineaes desse plano Equação geal do plano Vamos apesenta agoa uma foma de equação de plano que não depende de paâmetos: ela estabelece, dietamente, elações ente as coodenadas x, y e z dos pontos do plano, sem ecoe às vaiáveis auxiliaes λ e µ. Conhecendo um ponto e um pa de vetoes dietoes do plano Seja π o plano que contém o ponto A(x 0,y 0,z 0 ) e tem vetoes dietoes u = (,s,t) e u = (m,n,p). Sabemos que um ponto X = (x,y,z) petence a π se, e somente se, AX, u e v são paalelos a um mesmo plano, ou seja, x x 0 y y 0 z z 0 s t m n p = 0 Desenvolvendo este deteminante pelos elementos da pimeia linha, obtemos s t n p (x x 0) t m p (y y 0)+ s m n (z z 0) e, intoduzindo a notação s t n p = a t m p = b s m n = c ax 0 by 0 cz 0 = d podemos esceve aquela igualdade sob a foma ax+by +cz +d = 0 Um ponto X petence a π se, e somente se, suas coodenadas satisfazem a esta equação, chamada equação geal do plano π, ou equação do plano π na foma geal. Natualmente, se ax+by+cz+d = 0 é equação geal de um plano, qualque equação equivalente a ela também pode se usada paa desceve esse plano. Execício 5.6: Obtenha uma equação geal do plano π descito em cada caso. a) π contém o ponto A = (9, 1,10) e é paalelo aos vetoes u = (0,1,0) e v = (1,1,1). 8

9 b) π contém os pontos A = (1,0,1), B = ( 1,0,1) e C = (2,1,2). Execício 5.7: Obtenha uma equação geal do plano que tem equações paaméticas x = 1+2λ 3µ y = 1+λ+µ z = λ µ Execício 5.8: Obtenha equações paaméticas do plano π : x + 2y z 1 = 0. 9

10 Conhecendo um ponto e um veto nomal ao plano Definição (Veto nomal a um plano): Dado um plano π, qualque veto não-nulo otogonal a π é um veto nomal a π. Seja A = (x 0,y 0,z 0 ) um ponto petence a um plano π, e n = (a,b,c), n 0 um veto nomal ao plano. n X A π O ponto X = (x,y,z) petence a π se, e somente se, AX é otogonal a n, isto é, n AX = 0 (a,b,c) (x x 0,y y 0,z z 0 ) = 0 a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 ax ax 0 +by by 0 +cz cz 0 = 0 ax+by +cz ax 0 by 0 cz 0 = 0 Se indicamos po d a expessão ax 0 by 0 cz 0, esta igualdade fica Esta é a equação geal do plano π. ax+by +cz +d = 0 Execício 5.9: Obtenha uma equação geal do plano π que contém o ponto A = (1,0,2), sabendo que n = (1,1,4 é um veto nomal a π. Execício 5.10: Obtenha uma equação geal do plano π que contém o ponto A = (9, 1,0) e é paalelo aos vetoes u = (0,1,0) e v = (1,1,1). 10

11 5.2.4 Planos Paalelos aos Eixos e aos Planos Coodenados Quando uma ou duas componentes de n são nulas, ou quando d = 0, está-se em pesença de casos paticulaes. Planos que passam pela oigem (d = 0) ax+by +cz = 0 Planos paalelos aos eixos coodenados Se apenas uma das componentes do veto n = (a,b,c) é nula, o veto é otogonal a um dos eixos coodenados, e, potanto, o plano π é paalelo ao mesmo eixo: a) se a = 0, n = (0,b,c) Ox π Ox z y x b) se b = 0, n = (a,0,c) Oy π Oy z y x c) se c = 0, n = (a,b,0) Oz π Oz 11

12 z y x Planos paalelos aos planos coodenados Se duas das componentes do veto n = (a,b,c) é nula, n é paalelo a um dos vetoes i ou j ou k, e, potanto, o plano π é paalelo ao plano dos outos deteminado pela oigem e pelos outos dois vetoes: a) se a = b = 0, n = (0,0,c) = c k π xoy z z 0 y x b) se a = c = 0, n = (0,b,0) = b y π xoz z y 0 y x c) se b = c = 0, n = (a,0,0) = a i π yoz 12

13 z y x 0 Obsevação: Os planos coodenados são planos paticulaes Plano xoy : Plano que passa pela oigem O e tem a dieção dos vetoes i e j ( n = k). Plano xoz : Plano que passa pela oigem O e tem a dieção dos vetoes i e k ( n = j). Plano yoz : Plano que passa pela oigem O e tem a dieção dos vetoes j e k ( n = i). 5.3 Inteseção de etas e planos Inteseção de duas etas Execício 5.11: Dados os pontos A = (1,2,1) e B = (3,0, 1), veifique se são concoentes as etas AB e : X = (3,0, 1) + λ(1,1,1). Se foem, obtenha o ponto de inteseção. 13

14 Execício 5.12: Veifique se as etas e s são concoentes e, se foem obtenha o ponto de inteseção. x = 4+λ x = 9+4λ a) : y = 1 λ s : y = 2+λ z = 1+λ z = 2 2λ x = 4λ b) : y = 1+8λ z = 1 2λ s : x 1 = y 4 = z c) : x 2 = y 3 = z s : x = y = 1+z

15 d) : X = (3, 1,2)+λ( 2,3,1) s : X = (9, 10, 1)+λ(4, 6, 2) Execício 5.13: Duas patículas ealizam movimentos descitos pelas equações X = (0,0,0)+λ(1,2,4) e X = (1,0, 2)+λ( 1, 1, 1), t R. As tajetóias são concoentes? Pode have colisão das patículas em algum instante? Inteseção de eta e plano Execício 5.14: Obtenha a inteseção da eta com o plano π. a) : X = (1,0,1)+λ(2,1,3) π : x+y +z = 20 15

16 b) : X = (0,1,1)+λ(2,1, 3) π : X = (1,0,0)+λ(1,0,0)+µ(0,1,1) c) : x 3 = y 1 2 = z 3 8 π : 2x+y z 6 = 0 d) : X = (2,3,1)+λ(1, 1,4) π : X = ( 4, 6,2)+λ(2,1,3)+µ(3,3,2) Inteseção de dois planos Execício 5.15: Detemine a inteseção dos planos π 1 e π 2 : a) π 1 : x+2y +3z 1 = 0 π 2 : x y +2z = 0 16

17 b) π 1 : x+y +z 1 = 0 π 2 : x+y z = 0 c) π 1 : x+y +z 1 = 0 π 2 : 2x+2y +2z 1 = 0 d) π 1 : x+y +z 1 = 0 π 2 : 3x+3y +3z 3 = 0 Execício 5.16: Sendo π 1 : X = (1,0,0)+λ(1,1,1)+µ( 1,0,2) e π 2 : X = (2,0, 1)+ λ(1,2,1)+µ(0,1,1), moste que π 1 π +2 é uma eta e obtenha uma equação vetoial paa ela. 17

18 5.4 Posição elativa de etas e planos Posição elativa de etas São quato as possibilidades paa duas etas e s do espaço: seem evesas, concoentes, paalelas distintas ou paalelas coincidentes. Sejam A um ponto e um veto dieto da eta, e B um ponto e s um veto dieto da eta s. As etas e s podem se: Coplanaes: situadas no mesmo plano. Neste caso, podem se: Paalelas (distintas ou coincidentes): e s são paalelos. = s s s s π π Concoentes:, s e AB são coplanaes e e s não são paalelos. B A s s Revesas: não situadas no mesmo plano. Nesse caso,, s e AB não são coplanaes. A B s s Podemos estabelece o seguinte oteio paa estuda a posição elativa de e s. Se e s são paalelos, e s são paalelas. Paa constata se são distintas ou coincidentes, basta veifica se A petence a s. Se e s não são paalelos, as etas não são paalelas, podendo se concoentes ou evesas. Se, s e AB são coplanaes, e s são concoentes; se, s e AB não são coplanaes, e s são evesas. Altenativamente, podemos basea-nos na inteseção de e s, que se obtém esolvendo o sistema fomado pelas equações dessas etas. Se houve uma única solução, as etas são concoentes. Se o sistema fo indeteminado, então = s. Se fo incompatível, e s paalelas distintas ou evesas, confome os vetoes dietoes sejam paalelos ou não. 18

19 Execício 5.17: Estude a posição elativa das etas : X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) e s, nos casos: a) s : X = (0,1,0)+λ(1,1,1) b) x : X = (1,3,6)+λ(0,2,6) Posição elativa de eta e plano Paa uma eta e um plano π, são tês as possibilidades: Reta contida no plano: Paa que esteja contida em π é suficiente que dois de seus pontos, distintos, petençam a π ( π = ). v u π Reta paalela ao plano: Uma eta e um plano são paalelos quando não têm pontos comuns ( π = ø). v u π 19

20 GA3X1 - Geometia Analítica e Álgeba Linea Reta tansvesal ao plano: A inteseção de e π eduz-se a um único ponto ( π = P). v P u π Paa estuda a posição elativa de e π, utilizaemos o seguinte fato básico: é tansvesal a π se, e somente se, seu veto dieto não é paalelo a π. Equivalentemente, é paalela a π (ou está contida em π) se, e somente se, é paalelo a π. Conhecendo os vetoes dietoes do plano Se ( u, v) é um pa de vetoes dietoes de π, podemos estuda a posição elativad de e π seguindo o oteio: Se u, v e não são coplanaes, e π são tansvesais. Se u, v e são coplanaes, e π não são tansvesais. Sabeemos se está contida em π ou se e π são paalelos veificando se um ponto escolhido em petence ou não a π. Conhecendo um veto nomal ao plano Dados = (m,n,p) e π : ax + by + cz + d = 0 ( n = (a,b,c)) podemos adota um oteio altenativo: Se n 0, e π são tansvesais. Se n = 0, e π não são tansvesais. Paa esclaece se está contida em π ou é paalela a π, basta escolhe um ponto de A de e veifica se ele petence a π. Há também o método da inteseção, que consiste em detemina π e intepeta os esultados obtidos sob o ponto de vista da posição elativa. Execício 5.18: Estude a posição elativa de e π: x = 1+λ a) : y = 1 λ π : x+y z +2 = 0 z = λ b) : X = (1,1,0)+λ(1, 1,1) π : x+y 2 = 0 20

21 Execício 5.19: Estude a posição elativa de e π. a) : X = (1,1,1)+λ(3,2,1) π : X = (1,1,3)+λ(1, 1,1)+µ(0,1,3) b) : X = (2,2,1)+λ(3,3,0) π : X = (1,0,1)+λ(1,1,1)+µ(0,0,3) Posição elativa de planos Sejam π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 dois planos quaisque. Os vetoes nomais a π 1 e π 2 são, espectivamente, n 1 e n 2. Os planos π 1 e π 2 podem se: Paalelos: π 1 e π 2 são paalelos se, e somente se, n 1 e n 2 são paalelos. Nestas condiçõesa 1,b 1,c 1 ea 2,b 2,c 2 são popocionais. Neste caso, π 1 eπ 2 podem se ainda: Paalelos Coincidentes: Se d 1 e d 2 também seguem a mesma popoção. Neste caso, π 1 = π 2 π 1 = π 2 21

22 Paalelos distintos: Se d 1 e d 2 não seguem a mesma popoção. Neste caso, π 1 π 2 = ø. π 1 π 2 Tansvesais: Se n 1 e n 2 não são paalelos. Neste caso, π 1 π 2 =. π 1 π 2 Execício 5.20: Estude a posição elativa dos planos π 1 e π 2 : a) π 1 : 2x y +z 1 = 0 π 2 : 4x 2y +2z 9 = 0 b) π 1 : x+10y z 4 = 0 π 2 : 4x+40y 4z 16 = 0 Execício 5.21: Estude a posição elativa dos planos π 1 : X = (0,0,0)+λ(1,0,1)+µ( 1,0,3) π 2 : X = (1,0,1)+λ(1,1,1)+µ(0,1,0) 22

23 5.5 Pependiculaidade e otogonalidade Pependiculaidade e otogonalidade ente etas A difeença ente os temos etas otogonais e etas pependiculaes é que duas etas otogonais podem se concoentes ou evesas e duas etas pependiculaes são obigatoiamente concoentes. Assim, o segundo é um caso paticula do pimeio. Natualmente, duas etas são otogonais se, se somente se, cada veto dieto de uma é otogonal a qualque veto de outa. Execício 5.22: Veifique se as etas : X = (1,1,1)+λ(2,1, 3) e s : X = (0,1,0)+ λ( 1,2,0) são otogonais. Caso sejam, veifique se são pependiculaes. Execício 5.23: Obtenha equações paaméticas da eta s que contém o ponto P = ( 1,3,1) e é pependicula a : x 1 = y 1 = z

24 5.5.2 Pependiculaidade ente eta e plano Se n é um veto nomal ao plano π e é um veto dieto da eta, então e π são pependiculaes se, e somente se, e n são paalelos. n π Execício 5.24: Veifique se a eta e o plano π são pependiculaes. : X = (0,1,0)+λ(1,1,3) π : X = (3,4,5)+λ(6,7,8)+µ(0,10,11) Execício 5.25: a) Obtenha equações na foma simética da eta que contém o ponto P = ( 1,3,5) e é pependicula ao plano π : x y +2z 1 = 0. b) Esceva uma equação geal do plano π que contém a oigem e é pependicula à eta : X = (1,1,0)+λ(2,3,7). 24

25 5.5.3 Pependiculaidade ente planos Se n 1 e n 2 são vetoes nomais aos planosπ 1 eπ 2, então os planos são pependiculaes se, e somente se, n 1 e n 2 são otogonais, isto é, n 1 n 2 = 0. n 1 n 2 π 1 π 2 Execício 5.26: Veifique se π 1 : X = (0,0,1)+λ(1,0,1)+µ( 1, 1,1) e π 2 : 2x 7y+ 16z 40 = 0 são pependiculaes. 5.6 Medida angula Medida angula ente etas Sejam e s duas etas, um veto dieto de e s um veto dieto de s. A medida angula ente e s é a medida angula ente os vetoes e s, se esta petence ao intevalo [ 0, π 2], e é a medida angula ente e s se petence a [ π 2,π]. Indica-se po ang(,s). Pela definição, sendo θ a medida angula ente as etas e s e sendo ϕ a medida angula ente os vetoes e s, temos cosθ = cosϕ = s s Execício 5.27: O lado BC de um tiângulo equiláteo está contido na eta : X = (0,0,0)+λ(0,1, 1), e seu vétice oposto é A = (1,1,0). Detemine B e C. 25

26 GA3X1 - Geometia Analítica e Álgeba Linea Medida angula ente eta e plano Sejam uma eta e π um plano. A medida angula ente e π é π ang(,s), sendo 2 s uma eta qualque, pependicula a π. Indica-se pelo símbolo ang(,π). s n ϕ θ π Sejam um veto dieto de, n um veto nomal a π, ϕ = ang(,s) e θ = ang(,π). Lembando que n é um veto dieto de s, podemos esceve cosϕ = n n Pela definição, θ = π ϕ; logo, cosϕ = senθ e, potanto, 2 senθ = n n Execício 5.28: Obtenha a medida angula ente a eta : X = (0, 1, 0) + λ( 1, 1, 0) e o plano π : y +z 10 = Medida angula ente planos A medida angula ente os planos π 1 e π 2, indicada po ang(π 1,π 2 ), é a medida angula θ ente duas etas quaisque 1 e 2, espectivamente pependiculaes a π 1 e π 2. π 1 1 θ θ 2 π 2 Se n 1 e n 2 são, espectivamente, vetoes nomais a π 1 e π 2 espectivamente, então n 1 é um veto dieto de 1 e n 2 é um veto dieto de 2 : cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 26

27 GA3X1 - Geometia Analítica e Álgeba Linea Execício 5.29: Sendo π 1 : x y+z = 20 e π 2 : X = (1,1, 2)+λ(0, 1,1)+µ(1, 3,2), calcule ang(π 1,π 2 ). 5.7 Distância Distância ente pontos Sejam A = (x 1,y 1,z 1 ) e B = (x 2,y 2,z 2 ). A distância d(a,b) ente A e B é ou seja, d(a,b) = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 + BA, Execício 5.30: Calcula a distância ente os pontos P 1 = (7,3,4) e P 2 = (1,0,6) Distância de ponto a eta Sejam A e B dois pontos quaisque de, distintos. P h A Q B A áea do tiângulo ABP é AP AB então AB h = AP AB 2 e, como h = d(p,), 2 AP AB d(p,) = AB 2 ; logo, se h é a altua elativa ao vétice P, 27

28 Indicando po o veto AB, que é um veto dieto de, obtemos AP d(p,) = em que é um veto dieto e A é um ponto de, ambos escolhidos abitaiamente. Execício 5.31: Calcule a distância de P = (1,1, 1) à inteseção de π 1 : x y = 1 e π 2 : x+y z = Distância de ponto a plano Paa calcula a distância d(p,π) do ponto P ao plano π, basta escolhe um ponto A de π e um veto n, nomal a π, e calcula a noma da pojeção otogonal de AP sobe n. P d(p, π) n Q A π poj n AP = 28 AP n n

29 GA3X1 - Geometia Analítica e Álgeba Linea Logo, d(p,π) = AP n Suponhamos que P = (x 0,y 0,z 0 ), A = (x 1,y 1,z 1 ) e π : ax+by+cz+d = 0. Então, n = (a,b,c) é um veto nomal a π, e vale a elação ax 1 +by 1 +cz 1 = d, pois A petence a π. Potanto, AP n = a(x 0 x 1 )+b(y 0 y 1 )+c(z 0 z 1 ) AP n = ax 0 +by 0 +cz 0 (ax 1 +by 1 +cz 1 ) AP n = ax 0 +by 0 +cz 0 +d n Desse modo, a distância do ponto P ao plano π fica d(p,π) = ax 0 +by 0 +cz 0 +d a2 +b 2 +c 2 Execício 5.32: Calcule a distância do ponto P ao plano π. a) P = (1,2, 1) π : 3x 4y 5z +1 = 0 b) P = (1,3,4) π : X = (1,0,0)+λ(1,0,0)+µ( 1,0,3) Distância ente etas Paa calcula a distância d(, s) ente as etas e s, vamos considea sepaadamente tês casos: Retas Paalelas: Neste caso, escolhemos um ponto qualque de uma das etas e calculamos a sua distância à outa eta. P s d(, s) 29

30 GA3X1 - Geometia Analítica e Álgeba Linea Retas Concoentes: Neste caso, d(,s) = 0, pois s = ø. No entanto, vale paa as etas concoentes a fómula paa distância de etas evesas dada abaixo. Retas Revesas: Obseve a figua: B s Q s P A s π Existe um único plano π que contém e é paalelo a s; se B é um ponto qualque de s, então d(, s) = d(b, π). Um veto nomal a π é s; escolhendo um ponto A qualque de e aplicando a fómula da distância de ponto a plano paa calcula d(b,π), obtemos AB s d(,s) = s Obsevação: Não é necessáio estuda a posição elativa das etas e s antes de calcula sua distância. Paa aplica a fómula acima é necessáio, de qualque modo, calcula s. Se s 0, podemos aplica a fómula acima; caso contáio, se s = 0, as etas são paalelas, e então calculamos a distância de um ponto qualque de uma delas à outa. Execício 5.33: Calcula a distância ente as etas { x = 1 2λ y = 2x+3 : s : y = 1+4λ z = 2x z = 3 4λ 30

31 5.7.5 Distância ente eta e plano Paa calcula a distância ente uma eta e um planoπ, escolhemos um veto dieto da eta e um veto nomal n ao plano, calculamos n, e então: Se n 0, é tansvesal a π e, potanto, π = ø. Neste caso, d(,π) = 0. Se n = 0, podemos te está contida em π, e d(,π) = 0. é paalela a π e d(,π) é a distância de um ponto qualque de ao plano Distância ente planos Paa calcula a distância ente dois planos π 1 e π 2, analisamos inicialmente o paalelismo ente seus vetoes nomais n 1 e n 2. Se ( n 1, n 2 ) não são paalelos, então π 1 e π 2 são tansvesais e sua inteseção é nãovazia. Logo, d(π 1,π 2 ) = 0. Se ( n 1, n 2 ) são paalelos, então π 1 e π 2 são paalelos e d(π 1,π 2 ) é a distância de um ponto qualque de um deles ao outo. Execício 5.34: Calcula a distância ente os planos π 1 : 2x 2y +z 5 = 0 e π 2 : 4x 4y +2z +14 = 0 Refeências CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometia Analítica: um tatamento vetoial. São Paulo: Pentice Hall, STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Geometia Analítica. São Paulo: Peason Education do Basil,