ENGENHARIA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS. (Atualizada em abril de 2009)

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1 ENGENHARIA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Pofesso : Humbeo Anônio Baun d Azevedo ª LISTA DE EXERCÍCIOS (Aualizada em abil de Dados A (1, 0, -1, B (, 1,, C (1, 3, 4 e D (-3, 0, 4 Deemina: a AB + CB b CA DB c BD + 4AC+ DA d ( 3 CA+ CB e DA CD f (3 DA ( DB 4 4 Dados A (1, 0, -1, B (, 1,, C (1, 3, 4 e D(x, y, z Deemina D de modo que: a AD = AB+ CB b DB = 4 CB+ BA c DC = AD CB d DA= ( AB CB e 4 BD = AC+ CB f CD = AB BA 3 Obe o pono S, siméico do pono P(3, -1,, em elação ao pono M(0, -1, 3 4 O pono siméico do pono A (3, 1, 1, em elação ao pono B (5, -8, é o pono C Deemine as coodenadas desse pono 5 Dados os ponos A (3,7 e B (11,19, Deemine as coodenadas de um pono C, de maneia 1 que AC = BC 4 6 Polonga-se o segmeno AB, no senido de A paa B, aé o pono P, al que o compimeno de AP é o iplo de AB Deemine as coodenadas de P sabendo-se que: A (1, -7 e B(-4, 8 7 Um eângulo de ceno na oigem do sisema caesiano apesena os lados paalelos aos eixos coodenados Se um dos véices é o pono A (-5, 3, Deemine as coodenadas dos ouos ês véices 8 Dados u = (4, 9, v = (, -1, w = (5, 10 e z = (0, 0, calcule: a u v u v c ( w+ v( z w ww u f uv ww v z + b z v d ( u v(3 z+ w e w 9 Dados u = (-1,3,4, v = (0,,-4, w = (3,-1,0 e z = (6,-1,-4, calcule: a u v b u v w ( c ( w+ v( z w d ( u v(3 z+ w e u w f v z ( ww v u ( w u 1

2 10 Veifica qual dos veoes é uniáio (módulo igual a 1: 1 1 a u =, b 3 4 d =, 5 5 u e ( 11 Dados =( 6, 8 u 3 1 =, c 1 u =, 3 3 u = 1,0 1 1 f u =, 3 u v = ( 4, 3, calcula o valo de u v + ( u v 1 Dados = ( x+1, 13 Dados u=(x,1 + : u e v = ( 3, x, calcule o valo de x paa que u v = 0 e v =(,1, calcule x paa que ( u+ v( u v = 0 14 Calcula o valo de x paa que os veoes sejam uniáios (módulo igual a 1: 1 1 a u =, x b u 3 = 3, x, c u = x, 5 1 d u x 1 =, x, e u =, f u =, x, Calcule o módulo dos veoes abaixo: a = ( 4, 4 u b u = ( 7, 1, 7 c u = ( 3,, 6 d u = ( 4,1, 1 e u = ( 13,, 5 f u = ( 6,0,8 1 g u 1 1 =, 8 h u =,, Deemine o valo eal de a, paa que o veo = ( a, 3 u enha módulo igual 5 17 Deemine o valo eal de x, paa que o veo AB enha módulo igual A (,8 e B( x,10 18 Deemine o valo eal de a, paa que o veo u = ( a, 1, 4 enha módulo igual 5 Dados: 19 Calcula o peímeo do iângulo de véices A (3,-1, B (6,3 e C (7, e classificá-lo quano aos lados (O peímeo é epesenado po p ABC 0 Calcula o peímeo do iângulo de véices A (3,3,0, B (0,3,3 e C (3,0,3 e classificá-lo quano aos lados (O peímeo é epesenado po p 1 Sendo A (x,, B (1,0 e C (-1,1, paa que valo eal de x, os veoes AB e AC em mesmo módulo? O pono P (x,x é eqüidisane dos ponos A (3,0 e B (-7,0, paa qual valo de x? 3 Paa que valo de y o pono P (1, y é eqüidisane dos ponos A (1, 0 e B (0,? ABC

3 4 Deemina as coodenadas de um pono P que peença ao eixo das abscissas (Ox e seja eqüidisane dos ponos A (-1,1 e B (5, 7 5 Obe no eixo das odenadas (Oy um pono eqüidisane dos ponos A (-, 0 e B (4, 6 Obe um pono P no eixo das abscissas e eqüidisane dos ponos A (1,0,1 e B (-1,,0 7 Obe um pono P no eixo das odenadas e eqüidisane dos ponos A (1,1,0 e B (0,,1 8 Obe um pono P no eixo das coas e eqüidisane dos ponos A (0,4,-1 e B (4,0, 9 Quais as coodenadas de um pono P que peence ao plano xoy (onde x = y e eqüidisa dos ponos A (1,1,0 e B (-1,0,1? 30 Quais as coodenadas de um pono P que peence ao plano xoz (onde x = z e eqüidisa dos ponos A (3,1,1 e B (-,3,1? 31 Os ponos A (1,1 e B (6,4 são exemidades do lado de um quadado ABCD Qual a áea do quadado ABCD? (áea do quadado A 4 = L 3 Os ponos A (4,1,0 e B (6,, 3 são exemidades do lado do iângulo eqüiláeo ABC Qual medida da áea desse iângulo? (áea do iângulo eqüiláeo L 3 A 3 = 4 33 Dado o iângulo de véices A (0,0, B (5,-3 e C (3,-3, qual a medida da mediana elaiva ao véice A? 34 Veifique se os veoes u e v são paalelos: a u = (4, e v = (1,6 b u = ( 6, 1 e v = ( 1, c u = (8,14 e v = (1,1 d u = ( 3,4 e v = ( 4, 3 e u = ( 1,, 3 e v = ( 4, 8, 1 f u = ( 3, 1, 5 e v = ( 6,, 10 g u = (, 5, 6 e v 5 = ( 1,, 3 35 Calcula x de modo que o quadiláeo de véices A (0,0, B (,5, C (1,11 e D ( x, 1, possua os lados AB e CD paalelos 36 Dados u = (, 5 e v = ( 5,, veifique se os veoes u + v e u v são paalelos: 37 Paa que valoes de x, os ponos A (, 5, B (7, 15 e C (x, 38, são colineaes? 38 Deemine o valo de x, paa que os ponos A (1,0, B (8,3, C (x,6 esejam alinhados 39 Veifique se os veoes u e v são oogonais: a u = ( 3, e v = ( 4, 6 b u = ( 1, 3 e v = ( 3, 1 c u = ( 5, 4 e v = (, 3 d u = ( 7, 0 e v = ( 0, e u = ( 11, e v = ( 8, 0 f u = ( 1,, 3 e v = ( 4,, 0 g u = ( 1, 3, 4 e v = ( 0,, 1 h u = (,, e v = (,, 3

4 40 Dados u = ( x 1, e 7 v = ( x + 5,, calcule x, paa que uv = 0 41 Calcula y de modo que o quadiláeo de véices A (0,0, B (5,1, C (7,3 e ( 3, y possua as diagonais AC e BD pependiculaes 4 Obe x paa que o iângulo ABC seja eângulo em B Dados A (5,4, B (x, e ( 4, D, C 43 Calcula z paa que o iângulo de véices A ( 3, 1,, B( 1, 4, z e C (,3,3 seja eângulo em A 44 Calcula o ângulo fomado pelos veoes u e v : a u = ( 1, e v = ( 1, 3 b u = ( 3, 0 e v = ( 1, 3 c u = ( 1, e v = ( 10, 5 d u = ( 0, e v = ( 11, e u = ( 4, 1, 1 e v = (, 1, f u = ( 3, 0, 4 e v = ( 7, 0, 1 45 Dados u = ( 4, 3 e v = (, 1, deemina o ângulo fomado pelos veoes u + v e u v : 46 Dados os véices A = ( 0,, B = ( 3, 5 e C = ( 0, 6, calcula a medida do ângulo ineno A 47 Calcula a medida do ângulo ineno B, do iângulo cujos véices são A ( 1,,4, B( 4,,0 e C(3,,1 48 Sabe-se que os veoes u = ( k, 1, 0 e v = (, 1, fomam um ângulo de 45º Qual o valo de k? o 49 Dados A (1, 0, B (4, 1 e C (4, y, calcule y de modo que BAC $ = Classifica o iângulo de véices A (1,, B (, 0 e C (0, -1, quano aos ângulos e quano aos lados 51 Calcule o poduo veoial uxv : a u = ( 3, 1, e v = ( 1, 5, b u = ( 1, 7, 4 e v = (, 0, 3 c = ( 4, 4, 4 d = ( 4, 1, 4 u e v = ( 1,0,1 u e v = ( 1,,1 5 Dados u = ( 1, 1,, v = ( 0,, 1, w = ( 3, 1, e z = ( 1, 0,, calcule: a [ u, v, w] b [ z, v, w ] [ u + v, w, z] [ u, v z, w ] c ( d ( 53 Dados A (3, -1, 4, B (, 1, 5, C (3, -1, 0 e D (1, 3, 5, calcula: a AB, AC, AD b BA, BC, BD c AB, BC, DA 4

5 54 Deemina os valoes eais paa a, b, e c, al que os veoes v = ( 4, 3, 5, w = ( b, c, 8 fomem uma base oogonal uv = 0 faça: u 0 v 0 55 Deemina os valoes eais paa a, b, e c, al que os veoes v = ( 3,,, w = ( b, 3, c fomem uma base oogonal uv = 0 faça: u 0 v 0 56 Deemina os valoes eais paa a, b, c e d, al que os veoes v = ( 1,, 7, w = ( b, c, d fomem uma base oogonal uv = 0 faça: u 0 v 0 u u u = ( 1, 3, a, = (, 1, a, = (, 5, a, 57 Deemina as equações paaméicas da ea ( que passa pelo pono A e em como dieo o veo d, em cada caso: a A (1,3 e d = ( 10, b A (4,- e d = ( 3, 3 c A (0,-8 e d 1 = (, 1 58 Dadas às equações da ea x= 3 y= 1+ d A (0,-3,5 e d = (,, 9 e A (1,-7,1 e d 1 = (,, f A (-1,-5, e d = ( 1, 0, 3 (, onde R, deemine: a As coodenadas do pono P, quando = - b As coodenadas do pono P, quando x = 4 c As coodenadas do pono P, quando a ea ( inecepa o eixo das abscissas d As coodenadas do pono P, quando x = y e As coodenadas do pono P, quando y = x f As equações paaméicas da ea (s, que coném o pono P (-,4 e é paalela à ea ( 1 x = 59 Dadas às equações da ea ( y = + 4 z = 3 3, onde R, deemine: a As coodenadas do pono P, quando = - b As coodenadas do pono P, quando x = 1 c As coodenadas do pono P, quando a ea ( inecepa o plano xoz d As coodenadas do pono P, quando y = z e As coodenadas do pono P, quando z = -3x f As equações paaméicas da ea (s, que coném o pono P(-3,1,-5 e é paalela à ea ( 5

6 60 Veifique se a ea ( do execício 59 inecepa o eixo das coas 61 Deemina a equação geal da ea (, que coném o pono A e em como nomal o veo n : a A (-4, e n = ( 1, 3 b A (1,- e n = ( 3, 1 c A (5,-3 e n 1 = (, 1 d A (7,3 e n = ( 1, e A (-1,1 e n = ( 1, 3 f A (-1,- e n = ( 3, 6 Veifique se exisem eas no execício 61 que sejam pependiculaes ou que sejam paalelas (Se as eas são paalelas, seus os veoes nomais êm componenes popocionais e se as eas são pependiculaes, o poduo escala ene os veoes nomais é nulo, iso é, igual a zeo 63 Deemine a medida do meno ângulo fomado pelas eas ( e (s (O ângulo fomado pelas eas é igual ao ângulo fomado pelos seus veoes nomais a ( : x y 5= 0 e ( s: 3x+ y + 1= 0 b ( : x y 1= 0 e ( s: y + 4= 0 64 Deemine a medida do maio ângulo fomado pelas eas ( e (s (O ângulo fomado pelas eas é igual ao ângulo fomado pelos seus veoes nomais a ( : x+ y 1= 0 e ( s: x+ 3y + 3= 0 b ( : 5x 3= 0 e ( s: x+ 3 y + 3= 0 65 Deemine a medida dos ângulos fomados pelas eas ( : 3x y+ 1= 0 e ( s: x+ y 3= 0 (O ângulo fomado pelas eas é igual ao ângulo fomado pelos seus veoes nomais 66 Deemina a equação do plano ( α, que coném o pono A e em como nomal o veo n : a A (-4,, e n = ( 1, 3, b A (5,-,- e n 1 = (, 3, 1 3 c A (3,1,3 e n = ( 3, 1, d A (-1,-1, e n 1 = (, 1, 3 e A (-,4,1 e n = (, 0, 1 f A (5,3,-7 e n = ( 0, 1, 67 Deemina as equações paaméicas da ea (, que passa pelo pono A e é pependicula ao plano α (Se a ea pependicula ao plano, enão ela pode e como veo dieo o veo nomal do plano a A (1, -1, e α: 3x - y + z - 8 = 0 b A (0, -3, 4 e α: x - y + 5z + 1 = 0 c A (1, -, 3 e α: x + 5y - z + 10 = 0 d A (3, -, 5 e α: x - y + 7z - 1 = 0 68 Deemina a equação do plano (α que coném o pono P e é pependicula à ea ( de equações paaméicas, nos casos (Se o plano é pependicula à ea, enão ele pode e como veo nomal o veo dieo da ea x = 1+ a P (, 0, 3 e( y = z = 1+ x =, onde R b P (1, 3, -1 e( y = 4+, onde R z = 6