MATEMÁTICA. Módulo 28. Frente IV -Caderno 07. Paralelismoe Perpendicularismono Espaço Página 229

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1 MATEMÁTICA Fene IV -Cadeno 07 Módulo 28 Paalelismoe Pependiculaismono Espaço Página 229

2 GEOMETRIA DE POSIÇÃO POSTULADOS POSTULADO DA EXISTÊNCIA Exisem: pono, ea e plano A C s B Numa ea, ou foa dela, exisem infinios ponos. Num plano, ou foa dele, exisem infinios ponos.

3 POSTULADO DA INCLUSÃO Se dois ponos A e B, disinos de uma ea () ambém peencem a um plano (), enão a ea () esá conida no plano (). A B POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO... de RETAS Dois ponos disinos deeminam uma única ea. A B =AB

4 ... de PLANOS Tês ponos não colineaes deeminam um único plano. Uma ea e um pono foa dela deeminam um único plano. Duas eas concoenes deeminam um único plano. Duas eas paalelas disinas deeminam um único plano. A C B Cuidado: Tês ponos podem se disinos, poém alinhados, deeminando infinios planos. φ A B C

5 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO PLANO PARALELAS COINCIDENTES = odos os ponos de são ponos de PARALELAS DISTINTAS e não possuem pono em comum CONCORRENTES P =P Se as eas concoenes fomaem ângulo eo no plano, seão chamadas de eas pependiculaes.

6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO ESPAÇO REVERSAS não exise um único plano que conenha ambas ao mesmo empo Reas evesas oogonais d P Fomam ângulo eo no espaço. Reas evesas não-oogonais d P Não fomam ângulo eo no espaço.

7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS NO ESPAÇO PARALELOS COINCIDENTES = odos os ponos de são ponos de PARALELOS DISTINTOS e não possuem pono comum

8 SECANTES (OU CONCORRENTES) A inesecção ene dois planos e é a ea. = DIEDRO Se os planos secanes fomaem ângulo eo no espaço, são chamados de planos pependiculaes.

9 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS RETA CONTIDA NO PLANO odos os ponos de peencem a RETA PARALELA AO PLANO e não possuem pono em comum

10 RETA INCIDENTE AO PLANO (CONCORRENTE OU SECANTE) P = P Se a ea incidene foma ângulo eo com o plano, seá denominada ea pependicula. P

11 esolução 1. (FAAP - SP) A figua abaixo mosa uma poa eneabea e o cano de uma sala. x s e s paalelas As eas e s, s e, x e êm, especivamene, as posições elaivas: a) paalelas, paalelas e pependiculaes. b) paalelas, pependiculaes e evesas. c) paalelas, pependiculaes e pependiculaes. d) evesas, paalelas e pependiculaes. e) pependiculaes, evesas e paalelas. s e x e pependiculaes evesas obseve que esá conida no plano e a ea x é incidene ao mesmo plano.

12 2. (FEI - SP) Assinale a alenaiva falsa: a) Dados dois ponos disinos A e B exise um plano que os coném. b) Po um pono foa de uma ea exise uma única paalela à ea dada. c) Exise um e um só plano que coném um iângulo dado. d) Duas eas não coplanaes são evesas. e) Tês ponos disinos deeminam um e um só plano. φ esolução A B C

13 3. (UNIFESP - SP) Considee o sólido geoméico exibido na figua, consiuído de um paalelepípedo encimado po uma piâmide. Seja a ea supoe de uma das aesas do sólido, confome mosado. H D G Quanos paes de eas evesas é possível foma com as eas supoes das aesas do sólido, sendo uma das eas do pa? a) 12 b) 10 c) 8 d) 7 e) 6 C V E A F B esolução AD é paalela a EH. AD é paalela a BC. AD é paalela a FG. AD é pependicula a AB. AD é pependicula a CD. AD é pependicula a DH. AD é pependicula a AE. AD é evesa a BF. AD é evesa a CG. AD é evesa a EF. AD é evesa a GH. AD é evesa a VE. AD é evesa a VF. AD é evesa a VG. AD é evesa a VH.

14 4. (EXPECEX - SP) Se a ea é paalela ao plano, enão: a) Todas as eas de são paalelas a. b) Exisem em eas paalelas a e eas evesas a. c) Exisem em eas paalelas a e eas pependiculaes a. d) Todo plano que coném inecepa, segundo uma ea paalela a. esolução Um plano pode cone eas paalelas e/ou eas evesas a uma ea paalela a ele. Uma ea incidene e/ou pependicula a um plano não peence a esse plano! Um plano que conenha pode se paalelo ao plano.

15 5. (UNESP - SP) Ene odas as eas supoes das aesas de um ceo cubo, considee duas, e s, evesas. Seja a pependicula comum a e a s. Enão, a) é a ea supoe de uma das diagonais de uma das faces do cubo. b) é a ea supoe de uma das diagonais do cubo. c) é a ea supoe de uma das aesas do cubo. d) é a ea que passa pelos ponos médios das aesas conidas em e s. e) é a ea pependicula a duas faces do cubo, po seus cenos. s esolução