MATEMÁTICA. Módulo 28. Frente IV - Caderno 07. Paralelismo e Perpendicularismo no Espaço Página 229

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1 MATEMÁTICA Fene IV - Cadeno 07 Módulo 28 Paalelismo e Pependiculaismo no Espaço Página 229

2 GEOMETRIA DE POSIÇÃO POSTULADOS POSTULADO DA EXISTÊNCIA Exisem: pono, ea e plano A C s B Numa ea, ou foa dela, exisem infinios ponos. Num plano, ou foa dele, exisem infinios ponos.

3 POSTULADO DA INCLUSÃO Se dois ponos A e B, disinos de uma ea () ambém peencem a um plano (), enão a ea () esá conida no plano (). A B POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO... de RETAS Dois ponos disinos deeminam uma única ea. A B =AB

4 ... de PLANOS Tês ponos não colineaes deeminam um único plano. Uma ea e um pono foa dela deeminam um único plano. Duas eas concoenes deeminam um único plano. Duas eas paalelas disinas deeminam um único plano. A C B Cuidado: Tês ponos podem se disinos, poém alinhados, deeminando infinios planos. φ A B C

5 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO PLANO PARALELAS COINCIDENTES = odos os ponos de são ponos de PARALELAS DISTINTAS e não possuem pono em comum CONCORRENTES P =P Se as eas concoenes fomaem ângulo eo no plano, seão chamadas de eas pependiculaes.

6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO ESPAÇO REVERSAS não exise um único plano que conenha ambas ao mesmo empo Reas evesas oogonais d P Fomam ângulo eo no espaço. Reas evesas não-oogonais d P Não fomam ângulo eo no espaço.

7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS NO ESPAÇO PARALELOS COINCIDENTES = odos os ponos de são ponos de PARALELOS DISTINTOS e não possuem pono comum

8 SECANTES (OU CONCORRENTES) A inesecção ene dois planos e é a ea. = DIEDRO Se os planos secanes fomaem ângulo eo no espaço, são chamados de planos pependiculaes.

9 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS RETA CONTIDA NO PLANO odos os ponos de peencem a RETA PARALELA AO PLANO e não possuem pono em comum

10 RETA INCIDENTE AO PLANO (CONCORRENTE OU SECANTE) P = P Se a ea incidene foma ângulo eo com o plano, seá denominada ea pependicula. P

11 esolução 1. (FAAP - SP) A figua abaixo mosa uma poa eneabea e o cano de uma sala. x s e s paalelas As eas e s, s e, x e êm, especivamene, as posições elaivas: a) paalelas, paalelas e pependiculaes. b) paalelas, pependiculaes e evesas. c) paalelas, pependiculaes e pependiculaes. d) evesas, paalelas e pependiculaes. e) pependiculaes, evesas e paalelas. s e x e pependiculaes evesas obseve que esá conida no plano e a ea x é incidene ao mesmo plano.

12 2. (FEI - SP) Assinale a alenaiva falsa: a) Dados dois ponos disinos A e B exise um plano que os coném. b) Po um pono foa de uma ea exise uma única paalela à ea dada. c) Exise um e um só plano que coném um iângulo dado. d) Duas eas não coplanaes são evesas. e) Tês ponos disinos deeminam um e um só plano. φ esolução A B C

13 3. (UNIFESP - SP) Dois segmenos dizem-se evesos quando não são coplanaes. Nese caso, o númeo de paes de aesas evesas num eaedo, como o da figua, é: esolução a) 6. b) 3. c) 2. d) 1. e) 0. Reas Revesas são aquelas que não em nenhum pono em comum e não esão no mesmo plano... Assim: AB é evesa com CD AD é evesa com BC AC é evesa com BD SÃO 3 PARES!

14 4. (EXPECEX - SP) Se a ea é paalela ao plano, enão: a) Todas as eas de são paalelas a. b) Exisem em eas paalelas a e eas evesas a. c) Exisem em eas paalelas a e eas pependiculaes a. d) Todo plano que coném inecepa, segundo uma ea paalela a. esolução Um plano pode cone eas paalelas e/ou eas evesas a uma ea paalela a ele. Uma ea incidene e/ou pependicula a um plano não peence a esse plano! Um plano que conenha pode se paalelo ao plano.

15 5. (FUVEST - SP) Uma fomiga esolveu anda de um véice a ouo do pisma eo de bases iangulaes ABC e DEG, seguindo um ajeo especial. Ela paiu do véice G, pecoeu oda a aesa pependicula à base ABC, paa em seguida caminha oda a diagonal da face ADGC e, finalmene, compleou seu passeio pecoendo a aesa evesa a CG. A fomiga chegou ao véice esolução a) A b) B c) C d) D e) E