❷ Uma recta e um ponto exterior à recta definem um e um só plano.

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1 Uma resolução da Ficha de Trabalho (10.º Ano) POSIÇÕES RELATIVAS, PERSPECTIVAS, CORTES. 1. FORMAS DE DEFINIR UM PLANO: ❶ Três pontos não colineares definem um e um só plano. ❷ Uma recta e um ponto exterior à recta definem um e um só plano. ❸ Duas rectas concorrentes definem um e um só plano. ❹ Duas rectas paralelas definem um e um só plano. 2. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RECTAS NO ESPAÇO (Pág. 16): ❶ Duas rectas são COMPLANARES se estão contidas num mesmo plano. ❷ Duas rectas são NÃO COMPLANARES se não existir nenhum plano que as contenha. Por exemplo, na figura abaixo (que aparece na primeira nota) as rectas r e t são não complanares. ❸ Duas rectas são PARALELAS se forem complanares e se não se intersectarem (paralelas no sentido estrito ou estritamente paralelas). ❹ Duas rectas são COINCIDENTES se todos os pontos de uma recta pertencerem à outra recta (na prática basta verificar para dois pontos pois dois pontos definem uma e uma só recta). ❺ Duas rectas são CONCORRENTES (ou SECANTES) se têm um e um só ponto em comum. NOTAS: Ângulo de duas rectas não complanares é o ângulo de duas rectas paralelas às dadas, concorrentes num ponto qualquer do espaço. 1:8

2 Duas rectas são PERPENDICULARES se o ângulo por elas formado for de POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RECTA E UM PLANO (Pág. 16): ❶ Uma recta é PARALELA a um plano se não intersecta o plano, ou seja se não tem pontos em comum com o plano. Na figura abaixo (que aparece na primeira nota), a recta r é paralela ao plano α, por ser paralela à recta r do plano α. ❷ Uma recta está CONTIDA no plano se todos os pontos da recta são pontos do plano. Na prática basta verificar para dois pontos uma vez que dois pontos definem uma e uma só recta. ❸ Uma recta é CONCORRENTE (ou SECANTE) com um plano se tem um e um só ponto em comum com o plano. NOTAS: [riscar o que está errado] Uma recta paralela a um plano É NÃO É paralela a todas as rectas do plano. Na fig. abaixo a recta r é paralela ao plano α, sendo também paralela à recta r mas não é paralela à recta s do mesmo plano (apesar de não ter nenhum ponto em comum), por não ser complanar com s. Uma recta perpendicular a um plano É / NÃO É perpendicular a todas as rectas do plano. 4. POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS (Pág. 16): ❶ Dois planos são PARALELOS se não têm nenhum ponto em comum, caso em que são paralelos no sentido estrito. Dois planos coincidentes também se dizem paralelos no sentido lato. 2:8

3 ❷ Dois planos são CONCORRENTES (ou SECANTES) se não forem paralelos, ou seja se a sua intersecção for uma recta. ❸ Dois planos são PERPENDICULARES se dividirem o espaço em quatro diedros iguais, ou seja de 90º. ❹ Dois planos são OBLÍQUOS se forem concorrentes mas não perpendiculares. 3:8

4 5. CRITÉRIOS DE PARALELISMO E DE PERPENDICULARIDADE (Pág. 37): ❶ CRITÉRIO DE PARALELISMO DE UMA RECTA A UM PLANO: Se uma recta s é paralela a uma recta r contida num plano α, então a recta s é paralela ao plano α. ❷ CRITÉRIO DE PERPENDICULARIDADE DE UMA RECTA A UM PLANO: Se uma recta t for perpendicular a duas rectas r e s concorrentes de um plano α, então a recta t é perpendicular ao plano α. ❸ CRITÉRIO DE PARALELISMO DE DOIS PLANOS: Se um plano β contém duas rectas r e s concorrentes e cada uma delas for paralela a um outro plano α, então os planos α e β são paralelos entre si. Na figura abaixo o plano δ não é paralelo ao plano β, apesar de existirem em δ duas rectas r e s paralelas a β, mas as referidas rectas não são concorrentes 4:8

5 ❹ CRITÉRIO DE PERPENDICULARIDADE DE DOIS PLANOS: Se um plano β contém uma recta r perpendicular a um plano α, então os dois planos são perpendiculares. 6. DOIS TEOREMAS SOBRE RECTAS E PLANOS ❶ UM PLANO INTERSECTA PLANOS PARALELOS SEGUNDO rectas paralelas. ❷ PLANOS PERPENDICULARES À MESMA RECTA SÃO paralelos ENTRE SI. 5:8

6 7. PRINCIPAIS REGRAS DA PERSPECTIVA CAVALEIRA (Pág. 49): ❶ O que é visto na horizontal e na vertical direcções paralelas ao plano de projecção é representado em verdadeira grandeza. ❷ O que é visto em profundidade, é representado formando um ângulo, geralmente, de 45º com a vertical e a horizontal, sendo as grandezas reduzidas para metade. ❸ Segmentos de recta paralelos no espaço são representados por segmentos de recta paralelos na projecção. ❹ Segmentos de recta visíveis são representados por linhas a cheio e os invisíveis por linhas a tracejado. ❺ Pontos médios de segmentos de recta são representados pelospontos médios dos segmentos de recta desenhados. ❻ Segmentos de recta concorrentes no espaço são representados por segmentos de recta concorrentes. ❼ Pontos colineares no espaço são representados por pontos colineares 8. DESENHAR SECÇÕES PRODUZIDAS NUM SÓLIDO POR UM PLANO (Pág. 55): Quando se corta um sólido através de um plano, geralmente divide-se o sólido inicial em duas partes. Na figura abaixo está representada em perspectiva uma pirâmide que foi cortada através de um plano β paralelo ao plano α que contém a base da pirâmide. A secção produzida na pirâmide pelo corte aparece a vermelho. A pirâmide foi dividida em duas partes, a superior que é a pirâmide 2 e a inferior que é um tronco de pirâmide. Quando se pede a secção produzida desenha-se apenas o polígono que limita o corte. Principais regras para desenhar a secção produzida num sólido por um plano: ❶ Só se podem unir pontos do plano de corte que pertençam à mesma face. ❷ O sólido é sempre cortado na totalidade. ❸ Secções produzidas em planos paralelos são paralelas. 6:8

7 9. EXERCÍCIO: Em cada uma das seguintes figuras está representado um prisma triangular, C C. Desenha a secção sendo P um ponto do plano ABC e Q um ponto da aresta [ ] produzida pelos planos identificados e justifica a tua construção: a) PAA. Resolução: Os pontos A e P pertencem ao plano de corte e à mesma face do prisma (face superior), por isso podemos uni-los. Mas o ponto P não está numa aresta, pelo que na figura anterior o segmento [AP] não corta toda a face de cima. Assim, temos que prolongar a recta AP até cortar toda a face, ou seja até chegar à aresta BC, determinando assim o ponto R da figura abaixo. Os pontos A e A pertencem ao plano de corte e à mesma face, por isso podemos uni-los. 7:8

8 O segmento [AR] pertence à face superior do prisma e A pertence ao plano de corte e à face inferior do prisma. Como estas faces são paralelas, as secções aí produzidas têm que ser paralelas. Assim, por A traçamos uma paralela a [AR) até cortar toda a face inferior do prisma, determinando assim o ponto S. Os pontos R e S pertencem ao plano de corte e à mesma face do prisma (face anterior direita), pelo que podemos uni-los, concluindo assim a secção produzida pelo plano PAA, que é um rectângulo. Note que como o segmento [A S] vai ficar invisível deve ser representado a tracejado TPC: Acabar a correcção desta ficha, realizar a actividade 3 da página 57 e o jogo Secções num Cubo do CD do aluno, que se encontra no Tema 1 Geometria. 8:8