MATEMÁTICA. Retas e Planos no Espaço. Geometria de Posição Capítulo 1 LIVRO 4

Transcrição

1 MATEMÁTICA LIVRO 4 Geomeia de Posição Capíulo 1 Reas e Planos no Espaço

2 GEOMETRIA DE POSIÇÃO POSTULADOS POSTULADO DA EXISTÊNCIA Exisem: pono, ea e plano A C s B β Numa ea, ou foa dela, exisem infinios ponos. Num plano, ou foa dele, exisem infinios ponos.

3 POSTULADO DA INCLUSÃO Se dois ponos A e B, disinos de uma ea () ambém peencem a um plano (), enão a ea () esá conida no plano (). A B POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO... de RETAS Dois ponos disinos deeminam uma única ea. A B =AB

4 ... de PLANOS Tês ponos não colineaes deeminam um único plano. Uma ea e um pono foa dela deeminam um único plano. Duas eas concoenes deeminam um único plano. Duas eas paalelas disinas deeminam um único plano. A C β B Cuidado: Tês ponos podem se disinos, poém alinhados, deeminando infinios planos. φ β A B C

5 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO PLANO PARALELAS COINCIDENTES = odos os ponos de são ponos de PARALELAS DISTINTAS e não possuem pono em comum CONCORRENTES P =P Se as eas concoenes fomaem ângulo eo no plano, seão chamadas de eas pependiculaes.

6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO ESPAÇO REVERSAS não exise um único plano que conenha ambas ao mesmo empo Reas evesas oogonais d P Fomam ângulo eo no espaço. Reas evesas não-oogonais d P Não fomam ângulo eo no espaço.

7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS NO ESPAÇO PARALELOS COINCIDENTES = β odos os ponos de são ponos de β PARALELOS DISTINTOS β e β não possuem pono comum

8 SECANTES (OU CONCORRENTES) β A inesecção ene dois planos e β é a ea. β = DIEDRO β Se os planos secanes fomaem ângulo eo no espaço, são chamados de planos pependiculaes. β

9 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS RETA CONTIDA NO PLANO odos os ponos de peencem a RETA PARALELA AO PLANO e não possuem pono em comum

10 RETA INCIDENTE AO PLANO (CONCORRENTE OU SECANTE) P = P Se a ea incidene foma ângulo eo com o plano, seá denominada ea pependicula. P

11 PARALELISMO Uma ea paalela a um plano é paalela com infinias e evesa com infinias eas conidas nesse plano. u s m n p

12 PERPENDICULARISMO Uma ea pependicula a um plano é pependicula a infinias e oogonal a infinias eas conidas nesse plano. P

13 PROJEÇÃO ORTOGONAL DE PONTOS NO PLANO P P DE SEGMENTOS DE RETA NO PLANO A A A B B B A B A B A B

14 EXERCÍCIOS [19. p163] (EXPECEX - SP) Se a ea é paalela ao plano, enão: a) Todas as eas de são paalelas a. b) Exisem em eas paalelas a e eas evesas a. c) Exisem em eas paalelas a e eas pependiculaes a. d) Todo plano que coném inecepa, segundo uma ea paalela a. esolução Um plano pode cone eas paalelas e/ou eas evesas a uma ea paalela a ele. Uma ea incidene e/ou pependicula a um plano não peence a esse plano! Um plano que conenha pode se paalelo ao plano.

15 E. (FAAP - SP) A figua abaixo mosa uma poa eneabea e o cano de uma sala. esolução x As eas e s, s e, x e êm, especivamene, as posições elaivas: a) paalelas, paalelas e pependiculaes. b) paalelas, pependiculaes e evesas. c) paalelas, pependiculaes e pependiculaes. d) evesas, paalelas e pependiculaes. e) pependiculaes, evesas e paalelas. e s s e s paalelas pependiculaes x e evesas obseve que esá conida no plano e a ea x é incidene ao mesmo plano.

16 [21. p163] (FUVEST - SP) Uma fomiga esolveu anda de um véice a ouo do pisma eo de bases iangulaes ABC e DEG, seguindo um ajeo especial. Ela paiu do véice G, pecoeu oda a aesa pependicula à base ABC, paa em seguida caminha oda a diagonal da face ADGC e, finalmene, compleou seu passeio pecoendo a aesa evesa a CG. A fomiga chegou ao véice esolução a) A b) B c) C d) D e) E

17 [39. p165] (UNESP - SP) Ene odas as eas supoes das aesas de um ceo cubo, considee duas, e s, evesas. Seja a pependicula comum a e a s. Enão, a) é a ea supoe de uma das diagonais de uma das faces do cubo. b) é a ea supoe de uma das diagonais do cubo. c) é a ea supoe de uma das aesas do cubo. d) é a ea que passa pelos ponos médios das aesas conidas em e s. e) é a ea pependicula a duas faces do cubo, po seus cenos. s esolução

18 [43. p165] (PUC - SP) Dois planos, β e γ, coam-se na ea e são pependiculaes a um plano. Enão, a) β e γ são pependiculaes. b) é pependicula a. c) é paalela a. d) odo plano pependicula a encona. e) exise uma ea paalela a e a. β esolução γ

19 [25. p164] (FATEC - SP) O pono A peence à ea, conida no plano. A ea s, pependicula a, o inecepa no pono B. O pono C peence a s e disa 2 5 cm de B. Se a pojeção oogonal de AB em mede 5 cm e o pono B disa 6 cm de, enão a disância de A a C, em cenímeos, é igual a: a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5 [AB] =6 +5 [AB]= 61 A esolução 61 B' 6 C 2 5 B B 2 [AC] = + 2 [AC] 2=61+20 [AC]=9 s

20 [54. p166] (UFSCAR-SP) Considee um plano e um pono P qualque no espaço. Se po P açamos a ea pependicula a, a ineseção dessa ea com é um pono chamado pojeção oogonal do pono P sobe. No caso de uma figua F do espaço, a pojeção oogonal de F sobe, é definida pelo conjuno das pojeções oogonais de seus ponos. esolução Com elação a um plano qualque fixado, pode-se dize que: a) a pojeção oogonal de um segmeno de ea pode esula numa semi-ea. b) a pojeção oogonal de uma ea sempe esula numa ea. c) a pojeção de uma paábola pode esula num segmeno de ea. d) a pojeção oogonal de um iângulo pode esula num quadiláeo. e) a pojeção oogonal de uma cicunfeência pode esula num segmeno de ea. A foma de uma pojeção oogonal esá condicionada ao plano onde o objeo seá pojeado.