Introdução à Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos

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1 Inodção à Análise Difeencial dos Moimenos dos Flidos Eqação de conseação de massa (coninidade) Definições ailiaes: Fnção coene Deiada maeial Aceleação Roação de flidos Eqação de Conseação de Qanidade de Moimeno Linea ( a Lei de Neon) Eqação consiia paa flidos Neonianos Eqação de Naie-Sokes 1

2 Eqação de Conseação de Massa Sisema: sisema dm = d d d d sisema d m 0 0 d olme de conole: d C SC nd A0 d m= da L= = da n d A aiação com o empo da da massa do olme de conole B Flo líqido de massa aaés da spefície de conole

3 Coninidade - coodenadas caesianas: ρ ρ i i ρ 0 di( ρ ) 0 3

4 di di( ( ) ) 0 0 ( I ( ) I ) aiação aiação da da massa massa Flo Flo líqido líqido de de massa massa com com o o empo empo po po po po nidade nidade de de olme olme nidade nidade de de olme olme A A eqação eqação acima acima pode pode se se escia escia sabendo sabendo qe qe como como di di ( ρ) ( ρ) (ρ) (ρ) ρ ρ ρ ρ D DA A A A Definido Definido o o opeado opeado : deiada : deiada maeial, maeial, o o oal oal o o sbsania sbsania A D A D aiação aiação local local aiação aiação empoal empoal conecia conecia emos emos D D ( II ( II ) ) 1 di A lim A n 0 S ds Flo líqido po nidade de olme

5 Eqação de Conseação de Massa o Coninidade di ( ) 0 o D di ( ) D 0 Casos Paiclaes 1. Regime Pemanene: di ( ) 0. Incompessíel: di ( ) 0 5

6 6 Coodenadas cilíndicas 0 0 (ρ ρ ) di

7 7

8 8

9 Fnção Coene paa Escoameno Incompessíel Bi-dimensional Fnção de Coene paa Escoameno Incompessíel Bi-dimensional coninidade 0 o 0 Definição: fnção de coene, o, sbsiindo na coninidade: 0 sempe edade 9

10 Linha de coene: Linha imagináia nm campo de escoameno al qe em m deeminado insane de empo, o eo elocidade em qalqe pono é angene a esa linha em cada pono Obs: Paa m escoameno em egime pemanene, as linhas de coene coespondem às ajeóias das linhas Linha de coene an d d d d d 0 d d d Eqação da linha de coene d d 0 d 0 10

11 aão olméica Q Q AB = Q BC B A C Q Q AB BC d d d d d d

12 1

13 14

14 15 a D D D D a D D a Aceleação: aceleação aceleação local empoal conecia k a j a i a a k j i, Em coodenadas caesianas: D D a e j e j e i e i

15 Aceleação: Em coodenadas cilíndicas: a a e e e a e a, a D e e D aceleação aceleação local empoal conecia D a D D a D D a D e e e e cenífga coiolis 16

16 Eecício: Considee o escoameno nidimensional, pemanene, incompessíel, aaés do do plano e conegene mosado. O campo de elocidade é dado po [ 1 ( / L)] i Deemine o componene da aceleação de ma paícla moendo-se no campo de escoameno. 1 X 1 =0 X =L a a a a e egime pemanene: 0 D D 1-D: D D a a e ; a a a e a 0 a e a L L 17

17 Eqação de Conseação de Qanidade de Moimeno Linea (a Lei de Neon) F e ma d f e D D d fs fc D D foça de copo: f C foça olméica,e: foça gaiacional f g g foça de spefície: f S f p f 18

18 f p - foça de pessão: foça nomal compessia d P ( ) dd (,, ) P ( d) dd d df p, = P d d - (P d d + P/ d d d) = - P/ d f p, = - P/ logo f p, = - P/ e f p, = - P/ f p P i P P j k d f p P 19

19 f foça iscosa: foça definida po m enso, em cada face possi 3 componenes, dois angenciais e m nomal

20 Foça de spefície iscosa eslane na dieção conenção n d d n F, d d d F, f, 1

21 Pocedendo de foma análoga paa as oas dieções f, f, f, f f f

22 pode-se demonsa pelo so da eqação conseação de qanidade de moimeno angla qe o enso é siméico 3

23 4 Eqação difeencial de qanidade de moimeno na foma eoial coodenadas caesianas P g ρ D D ρ τ τ τ P ρg ρ τ τ τ P ρg ρ τ τ τ P ρg ρ

24 Casos Paiclaes: Eqação de Ele (flido pefeio, não iscoso) D ρ ρg gadp D Eqação da Hidosáica: ρg gad P Paa flidos iscosos, pecisamos de ma infomação adicional: elação ene a ensão cisalhane e a aa de defomação do elemeno de flido 5

25 Eqações Consiias Desceem o compoameno do maeial qal a esposa desa maeial (aa defomação) paa m deeminado esfoço Flidos Neonianos: ensão é dieamene popocional a aa de defomação Considee o escoameno ene placas d l = d d Taa de defomação d d = d d F, U sin (d ) d an (d ) cos (d ) d d d d d d d Lei da iscosidade de Neon: F A d d iscosidade absola (popiedade do flido): dimensão: M/L (Pa s) = iscosidade cinemáica: / U 6

26 Taa de defomação angla: d d an an lim 0 D Taa de defomação linea: d lim 0 D () () =d =(/) =d =(/) () =d =(/) () =d =(/) Taa de defomação olméica: () 7

27 8 I 3 T di ] ) (gad gad [ gad T ) (gad ; I ij d Em noação eoial, a aa de defomação de m elemeno de flido, pode se escia como:

28 9 Eqação Consiia paa flidos Neonianos 3, 3, 3, I f T di 3 gad gad di di di = ] ) ( [

29 30 Eqação de Naie-Sokes: Eqação de conseação de qanidade de moimeno linea paa flido Neonianos (coodenadas caesianas) p g 3 p g 3 p g 3

30 31 A eqação de Naie-Sokes simplifica bem se a massa específica e a iscosidade foam consane A maioia dos líqidos podem se consideados como flidos incompessíeis (maioia dos líqidos) A iscosidade da maioia dos gases é apoimadamene consane 0 μ P ρg ρ μ P ρg ρ μ P ρg ρ Naie-Sokes (popiedades consanes) μ P g ρ D D ρ coodenadas caesianas

31 3 Naie-Sokes (popiedades consanes) em coodenadas cilíndicas 1 μ P ρg ρ 1 μ P ρg ρ 1 μ P ρg ρ Dieção adial Dieção angla Dieção aial

32 linhas mamene pependiclaes, qe se cam no ceno da paícla.. Roação: A oação i j k de ma paícla de flido é definida como a elocidade angla média de qaisqe das linhas mamene pependiclaes, qe se cam no ceno da paícla.. b i j k a o a b d an an = o + / b a o a enão ( / 1 ) lim / 0 ( / ) / b 0 lim0, oa lim0 =d =(/) = o + / enão ( / ) ( / ) / ( / ) / oa lim0 lim0, oa lim0 / ( / ) / lim 0, ob lim0 = o + / enão ( =-d / ) =-(/) lim / () ( / ) / ob 0 lim 0, ob lim0 enão () 0 d = o + / 33

33 34 oa ob o e 1 1 log k j i / / / de 1 oacional, oicidade:

34 EXERCÍCIO 1. Uma apoimação úil paa o componene da elocidade nm escoameno lamina, incompessíel, de camada limie, é ma aiação paabólica de =0 na spefície ( =0 ) aé a elocidade da coene lie =U na boda da camada limie ( = d ). A eqação do pefil é U d d onde d c 1/ e c é ma consane. Deemine a epessão paa o componene da elocidade. Obenha a aão /U na boda da camada limie 35

35 . Um disco do jogo de hocke no a pode se modelado como sendo cicla, spoando po m camada de a qe sai de múliplos e diminos oifícios na mesa do jogo. Admia qe m disco fla a ma disância h = 1 mm acima da mesa, aaés da qal o a fli eicalmene a ma elocidade média de o = 0,08 m/s. Considee o a como incompessíel. Obenha ma epessão paa o componene de elocidade do escoameno na dieção adial sob o disco. Considee o escoameno como nifome na dieção eical. Se o diâmeo do disco fo de D = 75 mm, deemine a magnide e localiação da aceleação máima a qe é sbmeida ma paícla de flido sob o disco. D h o 36

36 3. Um flido escoa em m canal fomado po das placas paalelas de laga b = 1m, como com elocidade i 1 h cos onde h é a meia disância ene as placas. Elemenos esfiadoes e aqecedoes esaegicamene colocados nas placas podem ma aiação de massa específica somene na dieção eical e o empo. No insane de empo = p/, o. Deemine ma epessão paa a massa específica. 37

37 Eecício. Considee o escoameno ene das placas paalelas, esacionáias, sepaadas pela disância h. O escoameno ocoe deido a difeença de pessão. A coodenada é medida a pai da linha de ceno do espaço ene elas. O campo de elocidade é dado po = ma [ 1- (/h) ]. Aalie as aas de defomação linea e angla. Deemine a ensão cisalhane na placa em = h e = - h. Obenha ma epessão paa a oicidade,. Deemine o local onde a oicidade é máima. = e = ma [ 1- (/h) ] ; = = 0 defomação angla: defomação linea: ensão cisalhane n n 1 0 ma ; h 0 ; 0 ma 38 h ( h) ma h ( h) ma h

38 Eecício. Considee o escoameno ene das placas paalelas, esacionáias, sepaadas pela disância h. O escoameno ocoe deido a difeença de pessão. A coodenada é medida a pai da linha de ceno do espaço ene elas. O campo de elocidade é dado po = ma [ 1- (/h) ]. Aalie as aas de defomação linea e angla. Deemine a ensão cisalhane na placa em = h e = - h. Obenha ma epessão paa a oicidade,. Deemine o local onde a oicidade é máima. oicidade = e + e + e 1 ma ; h 0 é máima nas paedes: em =h e =-h 39