Mecânica dos Fluidos 1 Capítulo 2. Luis Fernando Azevedo Laboratório de Engenharia de Fluidos DEM/PUC-Rio

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1 Mecânica dos Fluidos 1 Capíulo 2 Luis Fenando Azevedo Laboaóio de Engenhaia de Fluidos DEM/PUC-Rio

2 A hipóese do meio conínuo Uma eoia complea paa o movimeno de fluidos deveia leva em consideação a esuua molecula do fluido. A fomulação das equações básicas paa o movimeno de cada molécula poduziia um númeo muio gande de equações, onando a solução do poblema impaicável. Paa condições nomais de empeaua de pessão, exise uma fomulação simplificada que poduz excelenes esulados: modelo de fluido como um meio conínuo

3 A hipóese do meio conínuo nese modelo assume-se que: o fluido é um meio conínuo, no qual qualque popiedade local do fluido pemanece inaleada, não impoando o amanho da amosa examinada. Considee, po exemplo, a popiedade massa específica, ρ, definida como, ρ lim 0 M

4 A hipóese do meio conínuo A hipóese do conínuo falha quando é da odem do caminho live médio ene colisões moleculaes Uma idéia de odem de gandeza deses volumes: considee um pequeno volume de gás nas CNTP de 10-6 cm 3 cubo de 0,1 x 0,1 x 0,1mm. ese volume é da odem dos menoes sensoes disponíveis em laboaóio Ese volume coném ceca de moléculas, o que possibilia a uilização da hipóese do conínuo

5 A hipóese do meio conínuo Algumas siuações onde espea-se que a hipóese do meio conínuo falhe: movimeno de maeiais paiculados em suspensão no a aeossóis deeminação da foça de aaso sobe saélies em óbia númeo de Knudsen Kn = λ = L ca min holive médio ene colisões dim ensão caaceísica do escoameno

6 A hipóese do meio conínuo Quando uilizamos a hipóese do meio conínuo Qualque popiedade é definida em odo espaço Não há vazios no fluido As popiedades podem se epesenadas po funções conínuas do espaço e do empo Um pono no escoameno passa a se uma egião muio pequena no escoameno, poém gande o suficiene paa não viola a hipóese do meio conínuo

7 Conceio de campo Podemos desceve as popiedades do escoameno em emos do conceio de campo e uiliza odo o feamenal maemáico exisene Seja o veo posição e o empo, x,x f é um campo descevendo o valo de uma dada popiedade Coodenadas caesianas, x = xî y z f x, y,z, = f, θ,z, = f, θ, φ,

8 Exemplos de alguns campos de ineesse Campos escalaes Massa específica, Tempeaua, Pessão, Campos veoiais Velocidade, Aceleação, Foça, ρ x, T x, p x, V x, a x, F x, Campos ensoiais Tensão, Gadiene de velocidade, Taxa de defomação, T x, v V x, D x,

9 O campo de velocidade: casos paiculaes De uma maneia geal, o campo de velocidade é idimensional e dependene do empo, V x, escoameno ansiene, i-dimensional No caso de não have dependência do empo, em-se o escoameno em egime pemanene, V x escoameno pemanene, i-dimensional O escoameno é uni, bi ou i-dimensional, dependendo do númeo de coodenadas espaciais necesáias paa descevê-lo,

10 O campo de velocidade: casos paiculaes escoameno 1-D, V, θ,z = Vê Vθ êθ V V = V z ê z z ê z escoameno 2-D, V x, y,z = u x, y,z î v x, y.z w x, y,z V x, y = u x, y î v x, y

11 Tajeóia, linha de coene e linha de ina São linhas que auxiliam a visualização e inepeação do escoameno, Tajeóia: é a cuva que desceve o caminho pecoido po uma paícula de fluido ao longo do empo Paa oná-la visível no laboaóio, é necessáio maca uma deeminada paícula e acompanha seu movimeno aavés de múliplas foogafias A equação da ajeóia pode se obida pela solução simulânea das 3 equações difeenciais epesenadas po: dx d V x, = com condições iniciais: x = x em 0 0 =

12 Linha de coene: são cuvas, passando po um dado pono no espaço, que, paa um dado insane de empo fixo, são angenes ao veo velocidade em odos os ponos Imagine um escoameno no plano xy y V θ u v linha de coene v an θ = = u dy dx x dx dy assim, = = u v dz w Obs: 1 não há fluxo de massa aavés de uma linha de coene 2 linhas de coene não se cuzam

13 Linha de ina linha de emissão Suponha que injeamos um coane coninuamene em um pono do escoameno com coodenadas x 1, começando em = T 1 e obsevamos a linha de coane em um empo poseio = T 2 >T 1 A linha de ina é a cuva fomada po odas as paículas de fluido que no inevalo T 1 < < T 2 passaam po Em egime pemanene, ajeóia, linha de coene e linha de ina coincidem x 1

14 Campo de Tensão As foças que agem em um elemeno de fluido podem se de dois ipos: - Foças de copo ou de campo: foças devido à ação de campos que agem igualmene em odo o elemeno à disância. Po exemplo, foças devido à ação do campo gaviacional, campos eleomagnéicos d, elemeno de volume df B df B = ρ g d aceleação local da gavidade massa específica

15 Campo de Tensão - Foças de supefície: foças devido ao conao do elemeno com o maeial que o envolve. Esa foça pode exisi na foneia com uma supefície sólida, ou quando se sepaa um elemeno de fluido paa esudo. da nˆ,nˆ, n d foça po unidade de áea ρ g d Pincípio de Cauchy das ensões: em ono de qualque supefície imagináia no maeial exise uma disibuição do veo nˆ cuja esulane e momeno são equivalens àquelas causadas pelo maeial que envolve a supefície.

16 Campo de Tensão Pode-se mosa que o elemeno de fluido esá em equilíbio esáico sob a ação das foças de supefície, mesmo quando em movimeno nˆ nˆ nˆ da nˆ da = nˆ da nˆ = nˆ nˆ z x a c o da nˆ b y nˆ face nomal áea foça/áea abc nˆ da nˆ oac nˆ da obc î nˆ î da î oab nˆ da

17 x a c o z da nˆ b y nˆ face nomal áea foça/áea abc nˆ da nˆ oac nˆ da obc î nˆ î da î oab nˆ da Paa emos equilíbio esáico, nˆ da nˆ da î nˆ î da nˆ da = 0 usando, nˆ = nˆ nˆ = nˆ nˆ î nˆ î nˆ = nˆ [ î î ]

18 nˆ = nˆ [ î î ] nˆ = nˆ T T é o enso das ensões Paa nˆ na dieção dos 3 eixos coodenados î, e escevendo em emos dos componenes nas 3 e, dieções, î = î = î [ î î ] [ î ] [ î ] [ î ] [ ] [ ] = î [ î ] [ ] [ ]

19 î î T = [ ] [ ] [ ] = î î î î î î î î T [ ] [ ] [ ] î î [ ] [ ] [ ] î î [ ] = î î î î î î T é de T maiz a log o

20 [ ] = î î î î î î T zz zy zx yz yy yx xz xy xx î î î î îî T noação usual, σ σ σ =

21 [ ] T = î î î î î î [ ] T = σ xx yx zx σ xy yy zy σ xz yz zz ou seja, na noação σ xx, xy, ec, o pimeio índice indica a face do cubo onde a ensão aua, o segundo índice indica a dieção da ensão

22 [ ] T = σ xx yx zx σ xy yy zy σ xz yz zz y xz σ yy yz yx σ xx zy xy xy z σ zz zx xz σ xx x

23 Os planos são consideados posiivos de acodo com a sua nomal Convenção de sinais paa a ensão: Tensão posiiva quando seu senido e o plano onde aua são ambos posiivos ou ambos negaivos nˆ nˆ

24 É impoane conhecemos a elação ene a ensão aplicada e a axa de defomação poduzida no fluido. Considee o elemeno de fluido ene 2 placas paalelas infinias dl Foça dfx Velocidade du M M P P y x N dα O dy dx elemeno de fluido em d elemeno de fluido em

25 dl Foça dfx Velocidade du M M P P y dα dy x N O dx elemeno de fluido em d elemeno de fluido em A ensão cisalhane aplicada é: yx dfx = da Duane o inevalo de empo d, o elemeno é defomado de MNOP paa M NOP. A axa de defomação do fluido é dada po: y dα d Da figua, dl = du d dl dy an dα an dα dα = dl = dy dα du d = dy dα dα = d du dy

26 Qual a elação ene a ensão de cisalhameno e a axa de defomação? Hipóese: Fluido Newoniano: axa de defomação é lineamene popocional à ensão cisalhane. yx du = µ dy, paa escoameno uni dim ensional µ : viscosidade dinâmica ou viscosidade absolua Unidade SI: N s 2 m kg m s [ µ ] = = [ Pa s] = Oua unidade: Poise : 1 g cms cenipoise cp : 10 2 g cm s

27 A viscosidadee vaia com a empeaua e com a pessão Líquidos: µ T Foças inemoleculaes de cuo alcance Gases: µ T Toca de quanidade de movimeno ene moléculas em egiões adjacenes É comum no esudo de mecânica dos fluidos apaece a azão: υ = µ ρ Viscosidade cinemáica: Oua unidade: m 2 [] ν = no SI s cm Sokes : 1 s 2 ceni Sokes cs : 10 2 cm s 2

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29 Exemplos numéicos.

30 Fluidos não Newonianos fluidos que não obdecem à lei de Newon da viscosidade a lei de Newon só se aplica a gases e líquidos de micoesuua simples paa maeiais de mico-esuua mais complexa o compoameno mecânico é qualiaivamene difeene ocoência na indúsia Peóleo: fluidos de pefuação, peóleos pesados, emulsões, soluções poliméicas, ec. Plásicos: polímeos fundidos, soluções poliméicas, ec Exaiva: lama, agilas, suspensões de minéios, ec. Alimenos: maneiga, kechup, maionese, massasm passa, iogue, ec..

31 a função xy viscosidade a definição da função viscosidade é η = & γ é a ensão cisalhane. No escoameno simples de cisalhameno é xy γ& = du dy no mesmo escoameno pincipais ipos de desvio do compoameno newoniano dependência com a axa de cisalhameno dependência com o empo de cisalhameno viscoelasicidade

32 dependência com a axa de cisalhameno xy Modelo powe law = Kγ& n K: índice de consisência N: índice de compoameno Modelo de Bingham = o µ P & γ ensão limie de escoameno µ op viscosidade plásica

33 Fluido newoniano η = µ Modelo powe law η = Kγ& n 1 Modelo de Bingham η = & γ o µ P

34 dependência xy com o empo de cisalhameno Fluidos ixoópicos Viscosidade cai com o empo de cisalhameno Exemplos: inas, suspensões coloidais, emulsões Fluidos eopéicos Viscosidade cesce com o empo de cisalhameno Exemplo:suspensões conc. de amido.

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