Princípios de conservação e Equação de Evolução

Transcrição

1 Pincípios de consevação e Equação de Evolução Os pincípios fundamenais da Mecânica aplicam-se a copos maeiais e po isso em fluidos aplicam-se a uma poção de fluido e não a um volume fixo do espaço. Ese exo desceve os pincípios de Consevação da massa e a lei de Newon e mosa como, usando o chamado eoema de Reynolds, se passa de um volume maeial paa um volume do espaço. Impliciamene o exo mosa o significado de deivada oal (ou maeial), de deivada local empoal e de deivada conveciva. O exo emina apesenando a foma geal de uma equação de evolução.. CONSERVAÇÃO DA MASSA: A lei de consevação da massa foi populaizada pela fase do químico fancês Lavoisie Nada se ganha, nada se pede, udo se ansfoma. Efecivamene, o que esa fase peende dize é que a massa se conseva: dm d Esa equação só é posa em causa pela eoia da elaividade, onde a massa se pode ansfoma em enegia..2 LEI DE NEWTON, QUANTIDADE DE MOVIMENTO E ENERGIA CINÉTICA A lei de Newon diz que a esulane das foças aplicadas a um copo é igual ao poduo da massa pela aceleação: F M d i FM i d uilizando a lei da consevação da massa, a lei de Newon pode se escia como uma equação de evolução da quanidade de movimeno, em vez de se uma equação de evolução da velocidade. F M + v d dm d d ( Mv ) d

2 Esa equação diz que a esulane das foças aplicadas a um copo é igual à axa de vaiação da sua quanidade de movimeno. A lei de Newon pemie ambém analisa melho o significado de quanidade de movimeno. Inegando a foça e a aceleação do copo ao longo do empo obém-se: T T V F M > Fd M d M Mv d d v Esa equação mosa que a quanidade de movimeno de um copo é o inegal empoal do somaóio das foças aplicadas ao copo. Isso mosa que foças pequenas podem se deeminanes paa um escoameno se acuaem ao longo de muio empo. É o que se passa na amosfea e no oceano com a foça de coiolis. Pecebe a difeença ene quanidade de movimeno e enegia cinéica é um aspeco cíico paa a mecânica dos fluidos. Enegia Tabalho. Enão: e2 e e2 e2 Fde M de M vd d d e e v2 v 2 2 ( Mv ) ( V V ) 2 2 Esa equação mosa que o abalho das foças que acuam um copo é igual à vaiação da sua enegia cinéica duane esse peíodo. Enquano que a quanidade de movimeno vaia desde que a esulane das foças aplicadas sobe o copo sea não nula, a enegia cinéica só vaia se exisi abalho. Assim, as foças pependiculaes ao movimeno modificam a quanidade de movimeno, mas não lhe modificam a enegia cinéica.. TEOREMA DE REYNOLDS A lei de consevação da massa e a lei de Newon aplicam-se a um volume maeial - fequenemene designado po sisema. O eoema de Reynolds pemie elaciona um volume maeial sisema e um volume fixo do espaço. Consideemos o conuno dos volumes maeiais e volume de conolo epesenados na Figua. O volume de conolo fixo é coincidene com o sisema maeial 2, no insane inicial ( ). Sea B o valo de uma popiedade genéica. Sea: B sisema I : valo oal da popiedade no sisema i (com i, 2 ou ) B : valo oal da popiedade no volume de conolo.

3 Vol. de conolo Tês poções de fluido (sisemas, 2 e ) no insane inicial T. Sisema Sisema 2 Sisema Figua : Conuno de ês volumes maeiais e de um volume de conolo fixo no espaço. O volume maeial 2 coincide com o volume de conolo no insane. A axa de Vaiação da popiedade no Sisema i seá: ( ) ( B ) + BsisemaI sisemai e no volume de conolo seá: ( ) ( B ) + B No insane o sisema 2 coincidia com o volume de conolo e poano: ( ) ( ) B B sisema2 em + a elação ene ambos é dada pelo que ena, menos o que sai: ( B ) ( ) + + B + massa _que _ena massa _que _ sai sisema2

4 enão a axa de vaiação no volume de conolo pode se elacionada com a axa de vaiação no sisema que o ocupava no início do inevalo de empo subsiuindo as expessões aneioes na que dá a axa de vaiação no volume de conolo: ( ) ( B ) + B ( B ) ( B ) ) + sisema2 sisema2 quanidade _ que _ ena quanidade _ que _ sai + As quanidades que enam ou saem po unidade de empo designam-se po fluxos A quanidade oal da popiedade exisene no ineio do volume é dada pelo inegal no volume do valo específico dessa popiedade ( β db dv ) B β dv Os fluxos podem se aecivos ou difusivos. O fluxo aecivo epesena o anspoe pela velocidade, sendo dado po: Φa B β ( v. n)da A velocidade é medida sobe a supefície e po conseguine é a velocidade elaiva. à supefície do volume. No caso do volume de conolo fixo é a velocidade do escoameno e no caso do volume maeial é zeo pois ese desloca-se à velocidade do escoameno. O fluxo difusivo pode se calculado a pai da lei de Fic: Φ dif B κ. n da x β ( κ ). nda Ese fluxo exise desde que exisam gadienes da popiedade. Po conseguine o fluxo exise aavés das faces do volume fixo e do volume maeial, sendo o mesmo quando eles são coincidenes. Dese modo ese fluxo não conibui paa as difeenças ene o que se passa no ineio de cada um dos volumes de conolo (fixo

5 e maeial) e não deve se consideado na equação que elaciona ambos os volumes. O que se passa no ineio de ambos os volumes pode enão se elacionado pela equação: βdv d d sisema βdv suface ( βv.n )da Se o volume fo suficienemene pequeno (volume elemena, V) paa que β possa se consideado consane no seu ineio e nas suas faces, bem como a velocidade e a difusividade, esa equação pode se escia como: β V d d β V ( β v. n ) Aenada ( β v. n ) Asaida Mas d( β V ) d d( β ) d( V ) V + β d d d( β ) u V + β V d Se o volume de conolo fo indefomável e ive as faces alinhadas com os eixos coodenados, com compimenos a equação esceve-se como: 2 V + 2 ( βv ) ( βv ) x ( βv2 ) ( βv2 ) + ( ) ( ) x2 x2 2 2 βv x 2 βv + x + 2 x + + subsiuindo a equação aneio nesa e fazendo ende paa zeo, obém-se: v ( βv ) + β, ou d v + d v β Desenvolvendo o segundo emo do segundo membo obém-se a expessão da deivada oal empoal em função da deivada local empoal e da deivada conveciva: + v d

6 A deivada oal epesena po conseguine a axa de vaiação de uma popiedade no ineio de um volume maeial, enquano que a deivada local epesena a axa de vaiação num volume fixo (deivada local empoal) e a deivada conveciva epesena a divegência do fluxo aecivo e po conseguine o anspoe pelo campo de velocidades. 2 Equação de Tanspoe No paágafo aneio quanificámos: O valo oal de uma popiedade no ineio de um volume de conolo (inegal do valo específico dessa popiedade no ineio do volume de conolo); Escevemos a axa de vaiação empoal dessa popiedade num volume de conolo fixo e numa poção de fluido (sisema); Veificámos que a vaiação no seio de um volume de conolo fixo e no seio do fluido que esá a passa po esse volume de conolo fixo esão elacionadas pelo inegal do fluxo aecivo ao longo da supefície do volume fixo e que po isso a axa de vaiação no ineio de volume fixo pode se sineizada como a axa de vaiação de uma popiedade no ineio de um volume de conolo é igual ao que ena, menos o que sai, mais a axa de vaiação no seio de fluido em movimeno Fazendo ende o volume de conolo paa zeo, veificámos que a elação ene a axa de vaiação no seio do fluido e num volume fixo é dada pela elação ene as deivadas oal e pacial empoal, epesenando a deivada conveciva o inegal do fluxo convecivo ao longo da supefície do volume de conolo. Aquando da inodução do conceio do fluido como meio coninuo e do conceio de velocidade num escoameno foi mosado que o movimeno bowniano das moléculas não é quanificado pela velocidade. O efeio desse movimeno esula num anspoe à escala molecula cua inensidade esá associada à facilidade do movimeno das moléculas, quanificada aavés da difusividade. O fluxo esulane dese movimeno depende da difusividade e do gadiene da popiedade, de acodo com a lei de Fic (ambém chamada de Fouie, quando se aa de calo).

7 No caso de a popiedade anspoada se a quanidade de movimeno e de se aa de líquidos, os pocessos de escala molecula envolvem o ompimeno de gupos de moléculas. Po esa azão a difusividade de quanidade de movimeno é aada de foma difeene da difusividade de ouas popiedades, sendo designada po viscosidade. Depois dos conceios inoduzidos acima, esamos agoa em condições de esceve a equação de evolução (ou de anspoe) de uma popiedade. No seio de um fluido em movimeno uma popiedade pode evolui devido aos pocessos de podução e desuição (fequenemene designados po fones e poços ) ou devido ao fluxo difusivo aavés da sua supefície, não quanificado aavés da velocidade do fluido. O anspoe pela velocidade pemiiá elaciona a equação paa um volume de fluido em movimeno, com a equação paa ouo volume de fluido. Consideemos de novo os volumes de conolo fixo e maeial, coincidenes no insane. Calculando os fluxos vamos elaciona o valo de uma popiedade no insane, no ineio do volume de conolo fixo com o seu valo num insane +. A pai do conceio de deivada oal passaemos da equação no volume fixo paa a equação paa um volume maeial. Paa calcula a axa de vaiação no ineio do volume eemos que considea os fluxos difusivo e aecivo: βdv suface ( βv.n ( β ).n )da Definindo um volume de conolo paalelepipédico, indefomável, os fluxos podem se expessos em emos das componenes da velocidade e dos gadienes: V 2 2 βv κ 2 βv κ + x + x x x+ βv2 κ βv2 κ 2 βv κ x x + x βv x 2 x2 2 x 2 x 2+ 2 κ x x+ Fazendo de novo ende o volume paa zeo obém-se a equação de anspoe em coodenadas caesianas:

8 v β βv κ x ou desenvolvendo o emo convecivo: v β v β v + κ x O pimeio e segundo emos do segundo membo da equação anulam-se. Consideando a elação ene a deivada local empoal e a deivada oal a equação pode se escia como: + v κ d x No caso de a popiedade β e fones ou poços (não se consevaiva) a equação deveá se escia como: + v d κ x + ( F P) Quando consideamos um volume de conolo que acompanha o fluido esamos a usa um fomalismo lagangeano (deivada oal difusão + fones poços), enquano que quando consideamos um pono fixo do espaço esamos a usa um fomalismo euleiano (deivada localaecção+difusão+fones - poços). Se a popiedade anspoada fo a massa volúmica do fluido, o emo difusivo é nulo e a podução/desuição dependem da divegência da velocidade. Fazendo βρ v e ( F P) ρ Obém-se a equação da coninuidade. Fazendo βρv i e (F-P) Somaóio das foças aplicadas, obém-se a equação de anspoe de quanidade de movimeno.

9 Noa final Ese exo apesena o conceio de equação de evolução paa uma popiedade genéica como o somaóio do que ena mais o que sai, mais o que se poduz e menos o que se desói. O exo mosa ainda a elação ene um volume maeial (fomulação lagangeana) e um volume de conolo fixo (fomulação euleianas), mosando que ambas esão elacionadas pelo fluxo aecivo, da mesma maneia que a deivada oal empoal (lagangeana) esá elacionada com a pacial pela deivada conveciva, a qual, em emos difeenciais em o mesmo significado que o inegal do fluxo aecivo numa fomulação inegal. Esas equações são a base do esudos dos pocessos de anspoe de qualque popiedade no ambiene e da pópia mecânica dos fluidos. As equações mosam que quando as equações se onam não lineaes quando a popiedade anspoada é a velocidade. Essa não lineaidade aém do faco de a velocidade se anspoa a ela pópia e é esponsável pelo faco de as chamadas foças de inécia (massa vezes aceleação) seem popocionais ao quadado da velocidade.