8.2 Indução eletromagnética e a lei das malhas

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1 8. Indução eleomagnéica e a lei das malhas Vimos na úlima seção que a lei das malhas na foma E dl = não vale na pesença de campos magnéicos empoalmene vaiáveis. Iso não é nenhuma agédia, é fácil consea esa lei. A pópia seção 8. fonece a vesão coea da lei. No luga do eo B / d : do lado dieio devemos esceve um B E dl = d (8..). Pono, podeíamos emina aqui. Mas vale a pena olha o lado esquedo de lei (8..) um pouco mais dealhadamene. O cene da quesão de aplica a lei das malhas é de subsiui o campo eléico na inegal de caminho po expessões que envolvam as coenes que fluem numa malha. Enão, po exemplo, no caso de um fio conduo compido usamos j = σ E, sendo σ a conduividade do maeial, e chegamos à conclusão de que a conibuição paa a inegal é R I. Mas há conduoes especiais nos quais nem oda coene se deve à ação do campo eléico, e neses há que descona a pacela de coene que flui não po causa do campo eléico, mas apesa do campo eléico. Nese caso chegamos a uma conibuição paa a inegal do ipo RI E. Há ainda os capacioes cuja conibuição é elacionada com a inegal empoal da coene que ena no capacio. Resumindo esas conibuições, podemos esceve a lei das malhas com o lado dieio conseado da seguine foma: c c R I Ee R c C Cc q + I d B + = d (8..). Nesa fómula emos um somaóio sobe o conjuno R de odos os esisoes da malha (incluindo esisências inenas de fones), um sobe o conjuno C de odos os capacioes da malha e um sobe o conjuno E de odas as eleomoâncias. Na fómula (8..) odas as coenes I, I C e as seas de definição das eleomoâncias são definidas no mesmo senido da inegação de linha. Na seção aneio descobimos um novo ipo de eleomoância, a sabe, uma povocada pelo movimeno de um conduo num campo magnéico. Enão, paa inclui movimenos, vamos agoa pemii que a malha se possa defoma ou muda de posição e de oienação no espaço. Nese caso apaece ese novo ipo de eleomoância magnéica. Chegaemos a um esulado muio ineessane e páico se desacamos esa eleomoância das demais e a invesigamos dealhadamene. Quando movemos um conduo com velocidade v numa egião do espaço com campo magnéico B, aua a foça FM = q v B sobe os poadoes de caga q exisenes no maeial conduo. Esa foça deve podui uma velocidade de deiva deses poadoes de caga da mesma maneia como a foça eléica povoca velocidade de deiva. Paa a paícula que anspoa caga não fa nenhuma difeença se a foça é eléica ou magnéica. No caso da foça eléica sabemos que ela esula numa densidade de coene σ E. Paa pode apoveia ese conhecimeno e pode ansfei-lo paa o caso da foça magnéica, devemos esceve esa densidade de coene em emos da foça eléica. Iso é fácil: 4

2 σ σ σ E = qe = F El q q (8..3). e subsiuimos nesa igualdade a foça eléica F El pela foça magnéica, obemos a densidade de coene emanescene causada pelo movimeno do conduo no campo magnéico: σ j magnéico = q v B (8..4). q Foa desa densidade de coene emanescene pode have densidades de coenes emanescenes povocadas po desequilíbios emodinâmicos, ais como: gadienes de empeaua ou desequilíbios químicos. Enão a densidade de coene emanescene oal j é a soma de uma pacela magnéica e uma émica: j = j + j (8..5). magnéico émico Lembamos da seção 5.4 que a eleomoância exisene num echo da malha de um pono a aé um pono b ea b j E = d l (8..6). σ Enão com conduoes em movimeno e na pesença de campo magnéico, emos uma eleomoância magnéica E magnéica a = v B dl (8..7) na malha. Na inegal de linha, v expessa as velocidades do maeial conduo que foma a malha. Vamos esceve esa eleomoância sepaadamene foa do somaóio das demais eleomoâncias: q + I d B R I + v B d = d c c Ee c C l R C c em (8..8). Depois de desaca a pacela magnéica, o somaóio sobe as fones se esende somene sobe o conjuno E em das eleomoâncias de desequilíbio emodinâmico, ais como: pilhas volaicas e emopaes. Já que pemiimos que os conduoes da malha podem se move, devemos imagina uma supefície paa cada insane cuja beiada é fomada pelos elemenos da malha. Consequenemene anoei esa dependência empoal nos domínios de inegação. O pono ineessane nesa fómula é que a eleomoância magnéica foma juno com o lado dieio da fómula uma expessão simples e compaca. Enão vamos ansfei a inegal de linha de v B paa o ouo lado da fómula e vamos invesiga esa inegal mais dealhadamene. 4

3 q + I d B R I + = + ( v B) dl d c c Ee R c C Cc em (8..9) Na inegal (8..7) há um poduo iplo, e sabemos que podemos oca a odem dos faoes ciclicamene sem alea o valo do poduo: v B dl = dl v B (8..). Agoa imagine ese caminho de inegação, iso é, o caminho fomado pelos conduoes da malha, num insane e um empo infiniesimal depois, no insane + δ. Muliplicando e dividindo a inegal da fómula (8..) po δ, obemos um veo deslocameno v δ. v B d = d vδ B δ l ( l ) Fig. 8.. Conduo de uma malha em dois insanes e (8..). + δ. Um veo deslocameno δ v e o veo de avanço do pocesso de inegação δ l fomam um paalelogamo infiniesimal. A figua 8.. mosa um exemplo dese veo simbolicamene. Nese exemplo a malha se deslocou paa v δ cima. Mas ela pode se desloca + δ δl v δ ambém paa baixo, pode gia, ou δl pode aé se defoma. Deixamos a análise desas ouas possibilidades como execício. Imagine ambém que avancemos po um veo deslocameno infiniesimal δ l no pocesso de inegação. O poduo veoial dl vδ que apaece na inegal do lado dieio da fómula (8..) esula num poduo δ l vδ nese avanço. Ese veo é o veo supefície do paalelogamo infiniesimal fomado pelos veoes δ l e v δ δ l v δ B que conibui paa a inegal é jusamene o fluxo. O poduo iplo magnéico aavés dese paalelogamo. Imaginem paa cada insane uma supefície oienável ( ) associada à malha. No inevalo de empo [, + δ ] esas supefícies ( ) vaem um volume V [, +δ ]. A beiada dese volume em ês paes: a supefície oienável associada à malha no insane, a supefície ( + δ ) associada à malha no insane + δ e uma fia laeal que consise dos ponos vaidos pelos elemenos da malha duane o inevalo [, + δ ]. No pocesso de inegação, os paalelogamos fomados pelos veoes δ l e v dl vδ B é simplesmene o fluxo δ cobem esa fia laeal. Enão a inegal do campo magnéico aavés desa fia laeal. Agoa podemos uilia a lei de Gauss do campo magnéico paa expessa esa inegal de fluxo com a ajuda das inegais de fluxo do campo magnéico aavés das supefícies 43

4 e ( + δ ). A junção das supefícies ( + δ ), da supefície do volume V [, +δ ]. Com a lei B d = sabemos que, iso é, da supefície com oienação inveida e a fia laeal fomam uma supefície fechada, a sabe, a B d = d v δ B + B d + B d = ( l ) V [, +δ] +δ (8..). Um dealhe impoane deve se consideado nesa igualdade. A inegal B d é somene eo se usamos em odas as paes da supefície fechada o valo de B coespondene ao mesmo insane. Ese insane pode se qualque um, mas em que se o mesmo em odas as paes da supefície. Aqui vamos escolhe o insane. Enão em odas as inegais da fómula (8..) B é omado no insane, mesmo na inegal que + δ : usa a supefície Com d vδ B + B d + B d = ( l ) +δ B d = B d (8..3). (8..4), podemos esceve a inegal de linha (8..7) como a difeença de duas inegais de supefície: ( dl vδ ) B = B d B d ( +δ ) Enão a lei das malhas fica com o seguine aspeco: q + c c R I Ee R c C Cc em I d + = B = B d B d d δ ( ) +δ (8..5). (8..6). O lapso de empo δ ea suposamene infiniesimal. Iso significa que esamos desde logo avisando que peendemos oma um limie δ e que emos de odem supeio ao δ podem se despeados. Podemos logo coloca o limie na fene da expessão e podemos apoveia e esceve a deivada empoal pacial do campo magnéico com o mesmo limie: 44

5 q + c c R I Ee R c C Cc em I d + = = lim B d B d + { B ( + δ ) B } d δ δ ( +δ ) (8..7). B + δ B que é pequena, da { } Na úlima inegal esamos inegando a função odem δ. Enão comeemos apenas um eo de odem supeio ao nesa inegal o domínio de inegação pelo domínio ( + δ ) δ se subsiuimos. Esa aleação não modifica o esulado do limie. Faendo esa aleação, obemos algo sumamene simples: q + c c R I Ee R c C Cc em I d + = = lim B d δ δ B d + B + δ B ( +δ ) ( +δ ) d = lim B( + δ ) B d = B d δ δ ( ) d +δ (8..8). { } d = Enão chegamos a uma fomulação bem elegane da lei das malhas: a soma das conibuições dos esisoes, capacioes e a conibuição negaiva das eleomoâncias emodinâmicas é igual ao negaivo da axa de vaiação do fluxo magnéico aavés da malha: c c e R c C Cc em q + I d d R I + E = B d (8..9). d Nos livos, o emo B d d d é gealmene chamado de foça eleomoi induida. É quesionável se ese nome ajuda na compeensão da suil combinação de dois efeios físicos que se unem num único emo. Ese emo dφ d m = d def. d B d (8..) coném duas conibuições: uma oigináia da dependência empoal do campo magnéico e uma oua oigináia da dependência empoal da supefície de inegação. A pimeia cia um campo eléico não consevaivo, a segunda veio do ouo lado da 45

6 fómula (8..) e ea um descono das conibuições paa a inegal de linha E dl que expessamos em emos de coenes. Tínhamos que descona a coene geada pela foça magnéica que indevidamene ea conada nos emos do ipo RI. É impoane enende a dedução da lei das malhas (8..9). Uma aplicação cega da fómula pode facilmene fonece esulados eados. No apêndice A discuiemos dois exemplos de aplicações eôneas da fómula (8..9). Há um aspeco muio ineessane nesa incível coopeação dos dois efeios físicos d esulando na única expessão compaca B d d na fómula (8..9). Lembem-se da discussão sobe o valo do fao de popocionalidade ene E dl e B / d? Podemos medi ese fao e enconaemos algo como ( inceea expeimenal) ±. Mas se ese fao fosse algo difeene do exao valo, a incível coopeação da eleomoância magnéica com a geação de campo eléico não consevaivo não aconeceia. Podemos enão acedia no exao valo α =? Não! A belea maemáica não pode se usada como agumeno. Mas exise ouo agumeno elacionando esa fómula compaca (8..9) com pincípios muio fundamenais. Lembem-se das pimeias expeiências que fiemos paa edescobi a lei de indução? Agumenamos com uma fomiguinha ineligene agaada nas espias de uma bobina. A coene obsevada não deve depende da escolha do pono de visa. Podemos adoa o pono de visa do laboaoisa que vê uma bobina andando e um ímã paado, ou o pono de visa da fomiga que vê um ímã andando e uma bobina paada. Ambos os obsevadoes êm que explica a mesma coene obsevada. Um obsevado usa uma eleomoância magnéica e o ouo um campo eléico não consevaivo. Pode-se mosa que esa libedade de muda o pono de visa exise somene com esa incível coopeação dos dois efeios. Enão emos uma boa aão paa acedia que α vale exaamene. No apêndice B discuimos esa quesão com mais dealhe. Execícios: E 8..: Uma bobina de N espias é enolada em um ooide com aio ineno a, aio exeno b e alua h. Uma fone vaiável injea uma coene dependene do empo na bobina. A coene na bobina é I P = I cos( ω). Calcule a coene no anel de esisência R mosado na figua. (despee o campo magnéico geado pela coene no anel). Fig. 8..: Indução de coene num anel que enlaça uma bobina ooidal. B ω Fig. 8..3: Indução de coene num anel que gia num campo magnéico. E 8..: Um anel cicula de aio = 5 cm é monado num eixo hoional como mosa a figua. O anel consise em um maeial facamene conduo e o eixo não condu eleicidade. A esisência eléica do anel 46

7 vale R = kω. Com ajuda de um moo o eixo é poso em oação de al foma que o anel execua 6 oações compleas po segundo. Toda a expeiência é manida num campo magnéico unifome de T (= Vsm - ). Em = o plano do anel esá pependicula ao campo. Calcule a coene no anel como função do empo. Nese cálculo você deve despea o campo magnéico geado pela coene no anel. 8. Apêndice A: As amadilhas na lei de indução. N I Fig Moo pepéuo eléico. Apesa de emos um fluxo magnéico vaiável não há coene induida. Considee o cicuio da figua Ese é um cicuio com um esiso ligado em duas malhas com duas chaves. No ceno da malha da esqueda, há um ímã pemanene com o lado noe viado paa cima. Ese ímã cia um fluxo magnéico inenso posiivo na malha da I esqueda e um fluxo de módulo muio meno negaivo na malha da N dieia. A oienação das supefícies é paa cima. Agoa imagine que a chave esava inicialmene fechada e a chave, abea. Nesa siuação o esiso esá ligado numa malha gande com fluxo magnéico posiivo. Num ceo insane ocamos os esados dos dois ineupoes simulaneamene. Enão epeninamene o esiso fica ligado numa pequena malha com fluxo magnéico negaivo. Enão há uma vaiação empoal do fluxo magnéico na malha ligada ao esiso e quem usa a fómula (8..9) ingenuamene pode pensa que na hoa da mudança dos esados dos ineupoes deve apaece uma coene no esiso. Com ese ipo de aanjo podeíamos ganha enegia indefinidamene. Clao que iso não funciona. Não haveá coene alguma nese esiso. Quem enendeu a dedução da fómula (8..9) pecebe imediaamene que não aconece nada, pois não há campo magnéico vaiável no empo e nem conduoes em movimeno no campo magnéico (os ineupoes podem se ineupoes eleônicos sem peças mecânicas móveis). O segundo exemplo de uso incoeo da fómula (8..9) apesena de cea foma o caso conáio: coene induida não nula com fluxo magnéico consane. Imagine que um disco conduo eseja giando com velocidade ω na fene de uma baa imanada. Dois conaos, feios de gafie, encosam-se a ese disco, um no ceno e o ouo peo da beiada. Eses conaos esão ligados num esiso. Fig Indução unipola. ω A figua 8..5 mosa esa expeiência b esquemaicamene. Pecebemos logo que esa expeiência não se encaixa dieio na nossa análise. N a Não emos uma malha que pode se descia po uma cuva no espaço. Deno no disco, a coene flui de foma disibuída. Mas pode-se-ia pensa num caminho idealiado que coespondeia à linha ponilhada que esá desenhada ene os conaos. e fiemos iso, eemos uma malha com fluxo magnéico consane. Mas nese caso haveá uma coene induida. Ela pode se medida e o efeio é conhecido pelo o nome de indução unipola. Ene os conaos, emos uma eleomoância que pode se calculada pefeiamene com a fómula 47

8 b E = v B dl (8..). a Fig Indução unipola com indicação de caminho que pemie aplica a fómula (8..9) Nesa expessão, v ω epesena as velocidades do b maeial do disco ao longo do caminho eo de inegação. e colocamos um esiso infiniamene N a gande e medimos a coene no cicuio com um ampeímeo infiniamene sensível, ou seja, se conecamos um volímeo ideal nos conaos de gafie no luga do esiso, iíamos medi esa eleomoânica. O esulado seia o mesmo usando a fómula (8..9), mas não com a malha do caminho ponilhado ene a e b da figua 8..5, mas com um caminho que acompanhaia o maeial do disco como indicado da figua No caso de um esiso finio, eemos uma disibuição conínua de densidade de coene no disco e a apoximação de cicuio não é válida. 8. Apêndice B: α = e a elaividade do movimeno Analisaemos uma expeiência imaginada de indução bem simples paa facilia a agumenação. No luga de uma malha com bobina, cuja geomeia seia complicada, usaemos um simples anel cicula de aio que se apoxima de uma baa magnéica com velocidade consane v. A esisência do anel vale R e vamos imagina que um ampeímeo eseja embuido nese anel que possa se lido pelo obsevado do laboaóio e ambém pelo obsevado que se move juno com o anel. O plano do anel esá pependicula à y velocidade e o eixo de simeia do anel coincide com o eixo de v x simeia da baa imanada. Usaemos ese eixo como eixo de um sisema de coodenadas caesianas aponando do ímã paa o anel. Vamos esceve a velocidade do anel na foma v = v ˆ com v >. A figua 8..7 mosa esa expeiência com N indicações da oienação da malha e do veo supefície da supefície cicula que associaemos ao anel. Fig Expeiência imaginada de indução de coene num anel cicula que se apoxima de uma baa imanada. O ímã esá paado no efeencial do laboaóio e o campo magnéico geado pelo ímã não depende do empo. Num sisema de coodenadas cilíndicas, o campo magnéico em a foma B, ϕ, = ˆ ϕ B, + ˆ B, (8..). Vamos supo que R seja ão gande que o campo magnéico geado pela coene no anel possa se despeado. No efeencial do laboaóio emos a eleomoância magnéica 48

9 E magnéica π (( ˆ) ( ˆ (, ) ˆ (, ))) ˆ = v B dl = = v ϕ B + B ϕ ϕ dϕ = π ˆ ˆ = v B, ϕ ϕ ϕ ϕ dϕ = v B, π Esa eleomoância gea uma coene no anel que vale I v B = ( ), π (8..3) (8..4), R sendo a oienação que define a coene posiiva com o mesmo senido da oienação da malha. Agoa vamos olha o campo magnéico no efeencial do anel. Nese efeencial vamos ambém defini coodenadas cilíndicas,, ϕ, e vamos escolhe a oigem de coodenadas no ceno do anel. Desa foma, a coodenada dos ponos da supefície cicula associada ao anel em pemanenemene o valo eo. Nese efeencial o campo magnéico depende do empo. Paa o cálculo do fluxo da axa de vaiação do campo, pecisamos apenas da componene dese campo. Na medida em que o anel passa = v, a componene do campo magnéico na supefície cicula pelos lugaes do anel ainge os valoes (, =, ) = ( =, ) B B v (8..5). Na vedade a análise da ansfomação do campo magnéico paa o efeencial do anel é um pouco mais complicada do que iso. Numa disciplina mais avançada de eleomagneismo se apende que emos de fao soe com a componene do campo paalela à velocidade. Esa não sofe nenhuma ansfomação complicada. Nese aspeco a fómula (8..5) esá coea. Mas em um ouo dealhe que esá eado. Apende-se na eoia da elaividade que o empo macado po um elógio no efeencial do anel não coincide com o empo mecado po um elógio no efeencial do laboaóio. Paa evenos que ocoem no plano do anel, os empos do efeencial do anel se elacionam com os empos do efeencial do laboaóio da seguine foma = v (8..6). c Nesa fómula c indução no efeencial do anel, devemos calcula o fluxo do campo B / e não do campo B /. Temos 8 3 m / s é a velocidade da lu no vácuo. Paa aplica a lei de Nesa aplicação da lei de Ohm foi desconsideada uma coeção elaivísica. Mais ade comenaemos a espeio desa coeção. Compae B. Lesche Teoia da Relaividade Edioa Livaia da Física 5. 49

10 (,, ) (, ) B = B = d ( v) d v v c = = (, ) B = = v = v (8..7). em esa esanha difeença ene empos macados no efeencial do anel e no laboaóio, eíamos obido o esulado sem o fao ( v / c ) /. Paa velocidades usualmene empegadas em laboaóios, ese fao esá muio peo de. Você pode convence-se disso usando nossa famosa fómula n + ε + nε paa ε <<. De fao ese ipo de complicação elaivísica ocoe ambém com a lei de Ohm. Aqui usamos esa lei com um medido de coene inegado no conduo, poano em epouso no efeencial do conduo e com um volímeo não necessaiamene paado nese efeencial. Paa a discussão do valo do fao de popocionalidade α, podemos nos liva desas complicações elaivísicas. Vimos na fómula (8..4) que a coene induida no anel é de odem v e a difeença ene e ( v / c ) / é de odem v. Enão podemos nos liva da difícil aefa de pensa sobe uma foma elaivísica da lei de Ohm simplesmene supondo uma velocidade infiniesimal. Paa v infiniesimal emos π B (, =, ) B (, ) d = v d dϕ = = ϕ= = v = v lim B (, v + ε) ˆ d B (, v) ˆ d = ε ε = v lim B(, ϕ, ) d B(, ϕ, ) d ε ε deslocado = v+ε = v (8..8) O que esá na chave da úlima linha desa fómula é a difeença de duas inegais de supefície inegadas sobe discos ciculaes deslocados um em elação = -v + ε = -v δl ε ε δl x N y ao ouo po uma disância ε. A esa alua do desenvolvimeno, odo leio já deve se especialisa na aefa de eesceve esa difeença de inegais de fluxo com a ajuda da lei V B d =. A figua 8..6 mosa o volume finalidade. V usado paa esa Fig Volume de alua ε paa a aplicação da lei de Gauss do campo magnéico. A difeença de inegais de supefície da fómula (8..8) deve se ansfomada numa inegal de linha. Com o volume V ene os dois discos e supondo um ε infiniesimal obemos ε 4

11 = B d = B, ϕ, d B, ϕ, d + ε d B V ( ) ( ) = v +ε = v Combinando iso com a (8..8) obemos (,, ) (8..9). = v π B, v ( l ˆ) B = d = v ( d ˆ ) B(, ϕ, v) = l (8..3). Agoa vamos usa a lei de indução, poém com um fao de popocionalidade α ainda indeeminado: B E d = α d (8..3). Com o esulado (8..3) emos paa a inegal de linha do campo eléico: E d = α v π B, v (8..3). No efeencial do anel não há eleomoância magnéica e a única conibuição paa a inegal de linha do campo eléico é RI. Enão segue I = α v π B, v R (8..33). Compaando ese valo com o valo (8..4) obido com os cálculos feios no efeencial do laboaóio, concluímos que α em que e o valo. Esa conclusão é exaa e não depende das coeções elaivísicas, pois ela segue dividindo a difeença dos dois esulados po v e omando o limie v. Mas, mesmo não omando ese limie, os dois esulados, quando calculados igoosamene, coincidem paa qualque valo de v. A (8..33) adquie no cálculo elaivísico um fao ( v / c ) / e a (8..4), ambém po causa de uma coeção elaivísica da lei de Ohm. 4