MOVIMENTO DE SÓLIDOS EM CONTACTO PERMANENTE

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1 1 1 Genealidades Consideemos o caso epesentado na figua, em que o copo 2 contacta com o copo 1, num ponto Q. Teemos então, sobepostos neste instante, um ponto Q 2 e um ponto Q 1, petencentes, espectivamente a cada um dos efeidos copos. Fig 1 - Sólidos em contacto pemanente O campo de velocidades contempoâneas do movimento elativo 2/1 pode caacteiza-se pelas suas coodenadas vectoiais em Q: vq = vq vq w = w w Q21 Q20 Q10 (1) À velocidade elativa v Q21 chama-se habitualmente velocidade de escoegamento do copo 2 sobe o copo 1. Esta designação paece óbvia e a velocidade de escoegamento é necessaiamente igual à difeença das velocidades dos pontos Q 2 e Q 1, elativas a um mesmo efeencial de obsevação ( fixo ou móvel). Assim v = v v Q2 i Q1i Paa melho caacteiza o movimento elativo 2/1, decompõe-se habitualmente o vecto otação numa diecção pependicula ao plano tangente comum e numa diecção petencente a este plano (figuas 1 e 2). A componente tangencial diz-se de olamento e a nomal, de giação ou pivotamento. Assim, podeão ocoe os seguintes casos, num movimento elativo de dois copos em contacto: (2) Escoegamento puo: v 0, ( w ) = 0 e ( w ) = 0 21 n 21 t Rolamento puo: v = 0, ( w ) = 0 e ( w ) 0 21 n 21 t Giação pua: v = 0, ( w ) 0 e ( w ) = 0 21 n 21 t Rolamento + Giação: v 0, ( w ) 0 e ( w ) 0 = 21 n 21 t (3) 0, w 21 n = 0 e w 21 t 0, w 21 n 0 e w21 t = 0, w 0 e w Escoegº + Rolamento: v ( ) ( ) 0 Escoegº + Giação: v ( ) ( ) 0 Escº + Rolº + Giação: v ( ) ( ) 0 21 n 21 t

2 2 Fig 2 - Decomposição habitual do vecto otação do movimento elativo 2 Pemutação do ponto de contacto Em geal, o ponto de contacto ente os copos 2 e 1, não pemanece o mesmo. Vai sendo substituído, ou seja, vai PERMUTANDO de instante paa instante, pelo que, quando obsevado, paece move-se, descevendo uma deteminada tajectóia. Na ealidade, os pontos Q 2 e Q 1 petencem, espectivamente aos copos ígidos 2 e 1. Potanto, nem Q 2 se move sobe o copo 2, nem Q 1 se move sobe o copo 1. Poém, um obsevado ligado ao copo 2, imagina o ponto de contacto a desloca-se, descevendo uma cuva C 2, sobe o copo 2; Um obsevado ligado ao copo 1, imagina o ponto de contacto a deslocase, descevendo uma cuva C 1, sobe o copo 1; e um obsevado exteio fixo, imagina o ponto de contacto a desloca-se, descevendo uma cuva C 0, no espaço fixo S 0. Podemos imagina estas cuvas C 0, C 1 e C 2, descitas po um outo ponto Q 3, não petencente ao copo 2 nem ao copo 1, mas sempe colocado ente estes dois copos, potanto sempe coincidente com o ponto Q que, em cada instante, é ponto de contacto. Movimento de pemutação do ponto de contacto é o movimento deste ponto exteio Q 3, pemanentemente coincidente com esse ponto de contacto. 3 Escoegamento puo Fig 3 - Tajectóias no movimento de pemutação do ponto de contacto Neste caso, como se depeende das expessões (3), não há otação no movimento elativo 2/1. Este movimento é uma TRANSLAÇÃO. É o caso do exemplo da figua 4, em que uma coediça ( copo 2) escoega sobe uma guia (copo 1). Ambos têm, neste caso, a mesma otação, pelo que o vecto otação do movimento elativo é nulo.

3 3 Fig 4 - Exemplo de copos em movimento elativo ESCORREGAMENTO PURO 4 Rolamento puo - SÓLIDOS EM MOVIMENTO PLANO Neste movimento elativo, só há otação em tono de um eixo contido no plano tangente comum aos dois copos que contactam. A figua 5 mosta um exemplo de um destes movimentos. Repesenta o movimento de um cilindo em contacto com uma supefície plana. O movimento plano equivalente, seá o olamento de uma cicunfeência sobe uma ecta com a qual contacta sem escoega. Fig 5 - Exemplo de ROLAMENTO SEM ESCORREGAMENTO Sendo o ponto de contacto um ponto de velocidade elativa nula (velocidade de escoegamento nula, po hipótese), esse ponto coincide com o cento instantâneo de otação do movimento 2/1. Imaginemos os dois copos vitualmente afastados. Podeemos então distingui, como na figua 3, tês pontos na ealidade coincidentes: Q 1, Q 2 e Q 3. Fig 6 - Movimento de pemutação do ponto de contacto O movimento de pemutação do ponto de contacto gea, no copo 2, uma linha que é a cicunfeência envolvente desse mesmo copo. E, no copo 1, gea uma ecta. A tajectóia do ponto de contacto em S 2, é habitualmente designada ROLANTE (o copo 2 é o copo móvel no movimento elativo 2/1). À tajectóia em S 1 (copo fixo no movimento 2/1), chama-se habitualmente BASE.

4 4 4 1 Definição matemática da BASE e da ROLANTE A BASE, sendo a tajectóia do ponto Q3 ( exteio aos dois copos que contactam em Q ), sobe o espaço S 1 ( espaço fixo, no movimento 2/1 ), seá definida pelo vecto de posição desse ponto, em elação a um ponto fixo de S 1. Teemos potanto x1 y1 = O 1Q3 S1 (4) A ROLANTE, sendo a tajectóia do ponto Q3 ( exteio aos dois copos que contactam em Q ), sobe o espaço S 2 ( espaço móvel, no movimento 2/1 ), seá definida pelo vecto de posição desse ponto, em elação a um ponto fixo de S 2. Teemos potanto x y 2 2 O Q = 2 3 S 2 (5) Vejamos como se podeia da foma explícita a estas expessões, no caso da figua 6, confome se mosta na figua 7 Fig 7 - Localização dos efeenciais S 1 e S 2 Teíamos as seguintes expessões genéicas paa as componentes dos vectoes de posição de Q 3, em elação aos copos 1 e 2 BASE ROLANTE x1 = b + R.θ y1 = 0 x2 = + R.sinθ y2 = R.cosθ (6) (7) Claamente, neste caso a BASE é uma ecta e a ROLANTE é uma cicunfeência.

5 5 4 2 Deteminação da velocidade de pemutação O ponto Q 3 move-se sobe o copo 1 ou sobe o copo 2 com a mesma velocidade. Com efeito, poque não há escoegamento, v = v + v = v + v = v (8) Q31 Q32 Q21 Q32 e21 Q 32 A esta velocidade, chama-se VELOCIDADE DE PERMUTAÇÃO V Q12 do ponto de contacto Q. Teemos, potanto, V = v = v Q12 Q31 Q32 VQ = O Q O Q = 2 3 / S1 / S2 (9) (10) Note-se que não é sempe necessáio utiliza esta via paa detemina a velocidade de pemutação. Com efeito, da expessão (9) podemos conclui que se tata de calcula a velocidade, elativa a S 1 ou a S 2, do ponto Q 3. E este ponto PODE SUPOR-SE PERTENCENTE A UM OUTRO ESPAÇO RÍGIDO S 3, paa o qual pode eventualmente se simples caacteiza o espectivo campo de velocidades contempoâneas. Se fo esse o caso, isto é, se fo fácil enconta um espaço ígido S3 que contenha o ponto Q3 e cujo c.v.c. seja fácil de defini, então a velocidade de pemutação, definida pela expessão (9), seá calculada pelo uso simples de uma equação de Mozzi. Seja de novo o caso da figua 7. Podemos imagina um espaço ígido em tanslação com o cento da cicunfeência. Tal espaço contém, como ponto fixo a si, o ponto Q 3. O movimento 3/1 é uma tanslação com o cento do disco. A velocidade de pemutação seá, potanto, a velocidade, em elação a S 1, do cento do disco. O movimento 3/2 é uma otação em tono do cento do disco. A velocidade de pemutação coespondeá, potanto, à de um movimento de otação em tono do cento do disco. Fig 8 - A consideação de um outo copo 3, a que petença Q3, ajuda ao cálculo da velocidade de pemutação. Analisemos um outo exemplo, epesentado na figua 9. Neste caso, um cilindo (copo 2), ola sem escoega no inteio de um outo cilindo (copo 1).

6 6 Fig 9 - Rolamento sem escoegamento de um cilindo em contacto com outo cilindo Neste exemplo, o copo 3 move-se solidáio com os eixos dos cilindos. Deste modo, a ecta C 1 C 2 petence a este copo 3 e contém sempe o ponto de contacto Q. Então, podemos calcula a velocidade de pemutação po um qualque destes pocessos: V = v = v Q12 Q31 Q 32 VQ = C Q C Q = / S1 / S2 VQ 12 = w31 C1Q3 = w32 C2Q3 (11) (12) (13) Na pate dieita da figua 9 vê-se uma epesentação gáfica da velocidade de pemutação, calculada a pati do movimento 3/ Genealização da análise a quaisque movimentos planos Consideemos dois copos em movimento plano, não fisicamente em contacto, como epesenta a figua 10. Fig 10 - Copos em movimento elativo plano Neste caso, o cento instantâneo de otação é um ponto de velocidade elativa nula. Consideando associado a cada copo um espaço ígido, podemos imagina que o espaço S 2 e o espaço S 1 contactam sem escoega no cento instantâneo de otação, já que aí a velocidade de escoegamento ( velocidade elativa 2/1 ) é nula.

7 7 Também neste caso podemos imagina a existência de um ponto não petencente a um qualque dos dois copos, mas pemanentemente coincidente com o CIR. Esse ponto vai muda de posição de instante paa instante, descevendo uma tajectóia no espaço S 1 ( a BASE ) e outa tajectóia em S 2 ( a ROLANTE ). Estas duas cuvas petencem, espectivamente a S 1 e S 2 e contactam sem escoega no ponto I 21. O movimento elativo 2/1 é assim equivalente ao ROLAMENTO SEM ESCORREGAMENTO DA ROLANTE SOBRE A BASE ( figua 11) Paa a deteminação destas duas linhas, podeemos utiliza o seguinte pocesso de cálculo: 1º - Localiza o CIR ( em função do(s) paâmeto(s) cinemático(s) ) 2º - Obte as suas coodenadas em S1 e assim defini a BASE 3º - Obte as suas coodenadas em S2 e assim defini a ROLANTE Teemos, potanto: v + w O I = 0 O I O (14) ROLANTE: x y 2 2 = O 2I21 (15) S2 x y1 = O I = O O + T 21 O I (16) 1 BASE: [ ] S1 S1 S 2 Fig 11 - Movimento 2/1 equivalente ao ROLAMENTO SEM ESCORREGAMENTO da ROLANTE SOBRE A BASE

8 8 4 4 Aceleação elativa do ponto de contacto ( ou do CIR ) O ponto do espaço S2 que, em dado instante, tem velocidade nula elativamente a S1, está, em geal, pemanentemente a se substituído po outo. De facto, em geal ele tem velocidade nula apenas num dado instante, pelo que a sua aceleação é em geal difeente de zeo. Patindo da velocidade de pemutação, podemos afima V = v = v Q 21 Q 32 Q31 (17) Deivando esta velocidade em odem ao tempo, elativamente ao efeencial S 1, obteemos a aceleação do ponto Q 3, elativa a S 1. Então ( Q ) ( Q32 ) a = v = v + w v = a + w v Q31 32 / S1 / S2 21 Q 32 Q Q 32 (18) Pela teoia do movimento elativo, podemos também faze a = a + a + w v (19) Q Q Q Q32 Compaando estas duas últimas expessões, podemos conclui a + w v = (20) Q21 21 Q 0 32 Ou seja, a = V w Q 21 Q (21) Estamos assim a ve como podemos calcula a aceleação elativa do ponto de contacto, a pati do conhecimento da sua velocidade de pemutação e do vecto otação desse movimento. Este pocesso de cálculo pode se muito útil, sempe que a velocidade de pemutação fo fácil de obte. Caso contáio, tal aceleação pode ( e deve ) se calculada a pati das coodenadas vectoiais num ponto do campo de aceleações contempoâneas desse movimento elativo. Fig 12 - Exemplo de cálculo da aceleação de um ponto de contacto

9 9 5 Rolamento puo - SÓLIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL Consideemos o exemplo da figua 13, em que um tonco de cone contacta sem escoega, ao longo de uma geatiz, com uma supefície hoizontal de um outo sólido. Fig 13 - Tanco de cone olando sem escoega sobe uma supefície hoizontal Não havendo escoegamento no contacto ente os dois copos, necessaiamente vai se nula a velocidade elativa em A e B; e passaá po estes pontos o eixo instantâneo de otação do movimento elativo 2/1. Consideemos um outo copo 3, igidamente ligado ao eixo de simetia de evolução do copo 2, cujo movimento em elação ao copo 1 seja uma otação em tono do eixo vetical que passa po O. O movimento elativo 2/3 é claamente uma otação em tono de CD. Decompondo o movimento 2/1 na soma dos movimentos 2/3 e 3/1, obteemos, paa o espectivo vecto otação, a seguinte elação w = w + w Conhecendo as diecções destes vectoes, é claa a epesentação gáfica contida na figua 13, efeente a esta expessão (22). Note-se que o eixo instantâneo de otação do movimento 2/1 está sempe contido no plano ABCD, que se move solidáio com o copo 3. Então podemos afima que o movimento de pemutação do eixo instantâneo de otação é o movimento (elativo ao copo 1 ou ao copo 2) de um eixo contido no copo 3, que passa pelos pontos de contacto. O movimento de pemutação do eixo instantâneo de otação vai gea uma supefície, designada po supefície axóide. Chama-se SUPERFÍCIE AXÓIDE FIXA à supefície geada pelo EIR no espaço fixo ( o espaço 1, no movimento 2/1 ). Chama-se SUPERFÍCIE AXÓIDE MÓVEL à supefície geada pelo EIR no espaço móvel ( o espaço 2, no movimento 2/1 ). O movimento 3/2, (em elação ao espaço móvel), é uma otação em tono de CD. Então a supefície axóide móvel seá uma supefície geada pelo eixo AB, quando este oda em tono de CD (22)

10 10 O movimento 3/1, (em elação ao espaço fixo), é uma otação em tono do eixo vetical que passa po O. Então a supefície axóide móvel seá uma supefície geada pelo eixo AB, quando este oda em tono do eixo vetical que passa po O. A figua 14 mosta as efeidas supefícies axóides.. Fig 14 - Supefícies axóides fixa e móvel, no movimento 2/1 Identificado o movimento de pemutação, a deteminação da velocidade de pemutação de um qualque ponto do EIR é tivial. Assim, po exemplo paa o ponto A, podeemos esceve V = v = v A 21 A 31 A 32 VA 21 = w31 OA = w32 CA (23) (24) Note-se que nem sempe as supefícies axóides têm a foma cónica epesentada na figua 14. São supefícies egadas, mas a foma depende do movimento de pemutação. No caso dos movimentos planos, po exemplo, em que os eixos instantâneos de otação têm todos a mesma diecção ( são pependiculaes ao plano do movimento ), as supefícies axoídes são cilíndicas. A intesecção dessas supefícies com o plano do movimento coincide com as cuvas já anteiomente definidas como ROLANTE e BASE. Assim, como petende ilusta a figua 15, a ROLANTE é a intesecção da SUPERFÍCIE AXÓIDE MÓVEL com o plano do movimento. E a BASE esulta da intesecção da SUPERFÍCIE AXÓIDE FIXA com esse mesmo plano.

11 11 Fig 15 - Supefícies axóides num movimento plano 5 Rolamento com giação + escoegamento Vejamos o exemplo da figua 16, em que um cilindo ( copo 2) está em movimento povocado pela otação do seu eixo de simetia mateial, em tono de uma diecção vetical. Admitamos, po hipótese que o copo 2 contacta com um outo copo 1, de tal modo que não há escoegamento no ponto A, que petence à linha de contacto ente esses dois copos. Fig 16 - Copos em movimento 3D em que há olamento + giação + escoegamento Decompondo o movimento 2/1 na soma dos movimentos 2/3 e 3/1, facilmente concluímos que, nesse movimento 2/1, o ponto O tem velocidade nula. De facto esse ponto está sobe os EIR do movimento elativo 2/3 e do movimento de tanspote 3/1. Também o ponto A tem velocidade nula no movimento 2/1, poque, po hipótese, não há escoegamento em A, nesse movimento. O eixo OA é potanto o EIR do movimento 2/1. E os vectoes otação dos movimentos 2/1, 2/3 e 3/1 elacionam-se de acodo com a expessão (22), como gaficamente se mosta na figua 17.

12 12 Fig 17 - Decomposição do vecto otação do movimento 2/1 Repae-se que o ponto B 2, estando foa do alinhamento OA, não petence ao EIR do movimento 2/1, pelo que a sua velocidade 2/1 é difeente de zeo. Mas o ponto B 1, neste instante coincidente com B 2, tem velocidade 2/1 igual a zeo. Há potanto escoegamento no ponto B, bem como em todos os pontos do contacto 2/1 que não estejam colocados sobe o EIR deste movimento. NO CONTACTO 2/1 HÁ, PORTANTO, ESCORREGAMENTO. O EIR do movimento 2/1 está, neste caso, sempe contido no plano OAC, o qual se move igidamente ligado ao copo 3. O movimento de pemutação do EIR do movimento 2/1 é assim identificável com o movimento (elativo ao copo 1 ou ao copo 2), de uma ecta do espaço ígido do copo 3, coincidente com o efeido EIR. Nesse movimento de pemutação, o EIR 2/1 vai desceve duas supefícies egadas: a supefície axóide fixa, no espaço do copo 1; e a supefície axóide móvel, no espaço do copo 2. Como o movimento 3/1 é uma otação em, tono do eixo vetical que passa po O, a supefície axóide fixa é uma supefície cónica de geatiz OA e eixo coincidente com a vetical de O. Sendo o movimento 3/2 uma otação em tono de OC, a supefície axóide móvel é uma outa supefície cónica com a mesma geatiz OA, mas com eixo OC. A figua 18 petende mosta estas supefícies. Fig 18 - Supefícies axóides no movimento 2/1 Como o contacto ente as duas supefícies axóides se faz pelo EIR do movimento 2/1, não há escoegamento ente elas. O movimento 2/1 (com escoegamento ao longo da linha de contacto eal AB) é assim equivalente ao olamento sem escoegamento da supefície axóide móvel sobe a supefície axóide fixa. O cálculo da velocidade de pemutação de qualque ponto do EIR do movimento 2/1 pode fazese, como no exemplo anteio, ou seja, de acodo com as expessões (23) e (24)