LOM Teoria da Elasticidade Aplicada

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1 Depatamento de Engenhaia de Mateiais (DEMAR) Escola de Engenhaia de Loena (EEL) Univesidade de São Paulo (USP) LOM30 - Teoia da Elasticidade Aplicada Pate 3 - Fundamentos da Teoia da Elasticidade (Coodenadas Polaes) Pof. D. João Paulo Pascon Loena - 08

2 3.8. Relações Básicas em Coodenadas Polaes A solução analítica de váios poblemas mecânicos em coodenadas etangulaes se tona muito tabalhosa ou mesmo impossível de se obtida. Em algumas dessas situações, é mais conveniente utiliza coodenadas polaes como, po exemplo, em poblemas envolvendo baas cuvas, discos e anéis ciculaes. foma: As coodenadas polaes ( e θ) podem se elacionadas às etangulaes da seguinte x y (3.4.) y θ actan x (3.4.) ou então: x y cosθ (3.5.) senθ (3.5.) Tensões polaes e equilíbio difeencial No caso pola, definimos a tensão nomal adial σ, a tensão nomal tangencial σθ e a tensão cisalhante pola τθ. Consideando o elemento pola da Figua 3., chegamos às seguintes expessões de equilíbio difeencial: F 0 F 0 (3.6.) (3.6.) onde F e Fθ são as foças voluméticas nas dieções adial e pola.

3 Figua 3.. Equilíbio difeencial paa tensões polaes Defomações e deslocamentos polaes Em coodenadas polaes, definimos também as seguintes componentes planas de defomação: ε (defomação nomal adial), εθ (defomação nomal tangencial) e γθ (distoção pola). Tais componentes seguem as mesmas definições usuais da mecânica dos sólidos (ε = ΔL/L0 e γ = vaiação de ângulo eto). O campo de deslocamentos no caso pola é fomado pelas seguintes componentes: u ou u (deslocamento adial); e v ou uθ (deslocamento cicunfeencial). Assim como no caso catesiano, é possível mosta as seguintes elações de compatibilidade ente deslocamento e defomação: u v u u v v (3.7.) (3.7.) (3.7.3)

4 Patindo das expessões acima, podemos demonsta a compatibilidade ente os campos de defomações polaes: (3.8) Lei de Hooke paa EPT Consideando estado plano de tensão (EPT), temos as seguintes elações constitutivas: (3.9.) E (3.9.) E (3.9.3) G ou então: E E (3.30.) (3.30.) G (3.30.3) Função de Aiy O método da função de Aiy também é aplicado paa se esolve poblemas mecânicos em coodenadas polaes. Despezando as foças de volume, definimos a função pola de Aiy da seguinte foma: 3

5 (3.3.) (3.3.) (3.3.3) Combinando as equações de equilíbio (3.6), a compatibilidade de defomação (3.8) e as definições da função pola de Aiy (3.3), chegamos à equação de compatibilidade em temos de ϕ: 0 (3.3) 3.9. Aplicação em Poblemas Axissiméticos Um poblema mecânico axissimético é definido como sendo um poblema que possui um eixo de simetia. Matematicamente falando, em um poblema axissimético, os campos que descevem as vaiáveis mecânicas (como deslocamento, tensão e defomação) não dependem da coodenada θ. Dessa foma, podemos simplifica consideavelmente as equações do item 3.8: F 0 (3.33.) d d d F 0 (3.33.) d du (3.34.) d u (3.34.) 4

6 dv v (3.34.3) d d d d 0 (3.35) d d d d d 0 (3.36.) (3.36.) (3.36.3) d d d d 0 d d d d (3.37) O fato de o cisalhamento pola se nulo em um poblema axissimético implica que tanto a distoção pola quanto a foça volumética tangencial também devem se nulas. A solução geal da equação (3.37) é a seguinte: log log A A A A (3.38.) 3 4 A A log A 3 (3.38.) A A log 3 (3.38.3) onde A, A, A3 e A4 são constantes de integação (obtidas de condições de contono) Tubos de paede gossa A teoia elementa de vasos de pessão de paede fina é bastante simples, mas só é válida paa casos nos quais a espessua é muito pequena em compaação com o aio do vaso. Quando a espessua é elativamente gande, essa teoia elementa da mecânica dos sólidos deve se 5

7 substituída po uma teoia mais elaboada, descita em coodenadas polaes: tubos (ou vasos) de pessão de paede gossa. Vamos defini inicialmente a geometia do poblema. O tubo é cilíndico vazado e possui aio inteno a, aio exteno b e compimento L. As seguintes hipóteses seão admitidas: poblema axissimético; deslocamento cicunfeencial nulo; caegamento axial unifome; e mateial em egime elástico-linea sob EPT. O tubo é submetido a uma pessão intena pi e a uma pessão extena po. Com as consideações acima, temos apenas as tensões nomais, as defomações nomais e o deslocamento adial, que dependem apenas da coodenada. Despezando a foça volumética adial (F) e combinando o equilíbio difeencial adial (3.33.) com as equações de compatibilidade (3.34) e com a lei constitutiva (3.30), chegamos ao seguinte esultado: d u du u 0 d d (3.39) A solução geal da equação difeencial acima é: C (3.40) C u onde C e C são constantes de integação. A pati da solução geal (3.40) e das condições de contono em temos de tensão adial a p e b i p, podemos obte as expessões o de cálculo que esolvem o poblema do tubo de paede gossa: a pi b po pi po ab b a b a a pi b po pi po ab b a b a p p a b a p i b p o i o u E b a E b a (3.4) (3.4) (3.43) 6

8 O campo de tensões acima coesponde ao caso no qual apenas as constantes A e A3 da solução geal (3.38) são difeentes de zeo. A teoia de tubo de paede gossa pode se aplicada paa se esolve o poblema de ajuste de cilíndicos concênticos. Imaginemos que dois tubos pecisam se encaixados (um dento do outo), mas que o diâmeto exteno do tubo inteno é um pouco maio do que o diâmeto inteno do tubo exteno. A difeença ente tais diâmetos é chamada de intefeência adial (δ). Após o encaixe, haveá uma pessão de contato (p) ente os dois tubos, que pode se elacionada à intefeência adial da seguinte foma: o R R i pr o i E o o R E i R i (3.44) onde R é o aio comum (ou aio nominal); o é o aio exteno do tubo exteno; i é o aio inteno do tubo inteno; Eo e νo são as constantes elásticas do tubo exteno; e Ei e νo são as constantes elásticas do tubo inteno. 7