Aula 4. (uniforme com ); (Gradiente de B ) // B ; 2. Movimento de Partículas Carregadas em Campos Elétrico

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1 Aula 4 Nesta aula iniciaemos o estudo da dinâmica de uma única patícula, sujeita aos campos elético e magnético unifomes ou não no espaço. Em paticula, a deiva do cento guia paa os seguintes casos: x E e (unifome com ); E (unifome com E ) e x (unifome com ); E e (Gadiente de ) ; E e (Gadiente de ) // ; E e Cuvado.. Movimento de Patículas Caegadas em Campos Elético E e Magnético Fluidos Newtonianos (po exemplo a água) são densos demais paa que o movimento individual das patículas seja consideado. Neste egime de alta densidade, as colisões dominam e o fluido é então descito pelas equações de fluido.

2 No outo extemo, quando a densidade de patículas é baixa (po exemplo patículas em aceleadoes), somente o movimento individual das patículas, deve se consideado. Agoa, leia com atenção a fase abaixo Os plasmas são esquiofênicos, pois oa pefeem se compotaem como fluidos e oa, como uma coleção individual de patículas. (José Leonado Feeia) Neste capítulo estudaemos um destes compotamentos: o movimento individual de patículas sujeitas a campos elético e magnético..1 Campos E e Unifomes x Paa E e (unifome com ): Campo Magnético na dieção.

3 A equação de movimento de uma única patícula de massa m e caga elética q, sujeita aos campos elético e magnético da figua acima, é dada pela expessão.1.1 abaixo F d m dt q.1.1 Em temo das componentes x,, e, a equação.1.1 tansfoma-se no sistema de equações.1. m dx dt q m d dt q m d dt x.1. Dica: Paa enconta o sistema.1., lembe-se do poduto vetoial ente os vetoes unitáios do. A solução da componente da equação de movimento, sugee um movimento de tanslação ao longo de, segundo a equação.1.3 R 3 m d dt cons tan te.1.3

4 Agoa, obseve que as componentes tansvesais da equação de movimento em.1. estão acopladas, potanto devemos desacoplá-las, paa isso vamos difeencia em t a componente em e substitui o esultado na componente em x d dt m d dt x, q d dt, x Calcula! d dt x, q m x,.1.4 A equação difeencial.1.4, desceve um movimento hamônico simples com feqüência de gio ou ciclotônica igual a ω c q m com ω c (po convenção) A solução típica da equação.1.4 é conhecida, isto é ( ±ω ct+δ x, ) x, e.1.5

5 , onde é a velocidade no plano x- pependicula ao campo, δ x, é um fato de fase e os sinais de ± (devido ao sinal da caga elética) indica o sentido de gio, paa a dieita ou paa esqueda. Agoa, a pati da solução.1.5, assumindo δ x,, consideando a definição da feqüência ciclotônica e utiliando uma das equações do sistema.1., é possível detemina as velocidades nas dieções x e (dieção tansvesal), assim como os deslocamentos em x e Calcula! x exp( iω ct) ± i exp( iω ct).1.6 Integando em t, as duas equações do sistema.1.6, os deslocamentos em x e podem se deteminados Calcula! x x i exp( iωct) ωc ± exp( iωct).1.7 ωc

6 A pati do sistema.1.7, vamos defini o aio de Lamo que é o aio da óbita da patícula em tono do cento guia ( x, ) fixado L ω c m q Como as velocidades e os deslocamentos são gandeas eais (não imagináios), devemos toma apenas a pate eal das equações dos sistemas.1.6 e.1.7 x x ± x + + cos( ω sin( ω L L c sin( ω t) c cos( ω t) c t) c t) Calcula!.1.8 Potanto o movimento da patícula, deve se uma supeposição dos movimentos de tanslação ao longo de (segundo a equação.1.3) e de gio no plano x- (segundo o sistema.1.8), confome mosta a figua abaixo

7 Tajetóia Helicoidal paa Íons num Campo Magnético. O sentido do gio pode se tanto paa a esqueda quanto paa a dieita, dependendo do sinal da caga elética da patícula, quanto ao aio de Lamo, maio ou meno, dependendo da massa da patículas, confome mosta a figua abaixo Sentido de Gio das Patículas Caegadas em.

8 Obsevação: O movimento ciclotônico das patículas em tono do campo magnético exteno, gea uma segundo campo magnético, contáio ao exteno. Este fenômeno é conhecido como efeito diamagnético, confome mosta a figua abaixo Efeito Diamagnético. Paa E (unifome com E ) e (unifome com x ):

9 E Campos e Unifomes e Cuados A equação de movimento de uma única patícula de massa m e caga elética q, sujeita aos campos elético e magnético da figua acima, é dada pela expessão.1.8 abaixo F d m dt q( E + ).1.9 Em temo das componentes x,, e, a equação.1.8 tansfoma-se no sistema de equações.1.1 m dx dt m d m d qe dt x + q dt q qe x.1.1

10 Agoa, a solução da componente da equação de movimento, sugee um movimento etilíneo aceleado ao longo de, segundo a equação.1.11 qe m t As componentes tansvesais da equação de movimento em.1.9 estão, novamente acopladas, potanto devemos desacoplá-las, paa isso vamos utilia a definição de feqüência ciclotônica, difeencia em t a componente em e substitui o esultado na componente em x d dx mω c dt dt dx qex ± ω c dt m d dt ω c E x Calcula! Podemos eesceve a equação.1.1, sem peda de genealidade, da seguinte maneia

11 E Ex + ω c + d x dt.1.13 A solução da equação difeencial.1.13 é ± i exp( iω t) c E x.1.14 Calcula! Substituindo a solução.1.14 na componente do sistema.1.1, podemos detemina x Calcula! x exp( iωct).1.15 As soluções.1.11,.1.14 e.1.15 indicam um movimento helicoidal com uma deiva do cento guia na dieção devido aos campos campos E e unifomes e cuados, confome mosta a figua abaixo

12 Deiva do Cento Guia devido aos Campos Unifomes e Cuados. E e Podemos enconta uma expessão geal paa a velocidade de deiva do cento guia, paa isso vamos considea um sistema de efeência que viaja junto como o cento guia d m dt ( E + q( E + ) ).1.16 Agoa, se ealiamos o poduto vetoial de com a equação.1.16, temos

13 ( E + ) E + ( ) E ( ) ( ) Como estamos inteessados na componente tansvesal ao campo magnético, isto é, na velocidade de deiva do cento guia, então Calcula! E /.1.17 gc E A expessão.1.17 é a velocidade de deiva do cento guia, devido ao campos elético e magnético cuados. Note que gc é independende da caga elética q, da massa m e da velocidade tangencial da patícula. A figua abaixo, mosta a tajetóia da patícula num campos E e unifomes e cuados

14 Deiva do Cento Guia de Elétons e Íons. Obsevação: Em geal, uma patícula num campo magnético, que posteiomente é submetida a um outo campo, teá como velocidade de deiva do cento guia a seguinte expessão geal 1 F q F.1.18 Paa obte a equação.1.18, basta substitui qe po uma outa foça F na equação.1.9 e ealia os mesmos pocedimentos paa obte a equação A figua abaixo, mosta as possíveis tajetóias de uma única patícula de caga elética q e massa m, paa difeentes valoes ente a velocidade

15 tangencial ou de gio e a velocidade de deiva do cento guia F a) b) c) Tajetóias: a) F, b) > F e c) < F. Como um exemplo, considee o campo gavitacional que age numa única patícula de massa m e caga elética q

16 m g q g.1.19 A expessão.1.19 é a velocidade de deiva do cento guia devido à ação dos campos gavitacional e magnético. A deiva gavitacional, difeentemente da deiva devido ao campo elético, depende da caga elética q da patícula, em conseqüência suge no plasma uma coente J g, devido ao movimento de deiva contáio de elétons e íons, confome mosta a figua abaixo Deiva Gavitacional paa Elétons e Íons.

17 Agoa, vamos detemina a coente que cicula no plasma, devido à deiva gavitacional J g nq q Mg mg J g n q q i + e qi qe g J g n( M + m) Um fenômeno natual, elacionado com a velocidade de deiva gavitacional, é o eletojato: coente elética na ionosfea teeste, que cicula no sentido de oeste paa leste e em latitudes que vão do equado até a altas latitudes, confome mosta a figua abaixo J g

18 Mapeamento Espacial de um Eletojato oeal.. Campos E e não Unifomes Em situações eais, plasmas espaciais ou aplicados estão sujeitos a campos magnéticos não unifomes, o que pode gea váios tipos de velocidade de deiva do cento guia. Paa facilita na esolução de poblemas com campos magnéticos não unifomes, utilia-se a teoia de óbita. Esta teoia assume que: O aio da óbita da patícula, na egião de não unifomidade do campo magnético, deve pemanece apoximadamente o mesmo, isto é, inalteado.

19 Paa isso, utilia-se de uma expansão em temos de L L,onde L é o aio de Lamo e L, o compimento da egião onde o campos elético e magnético são não unifomes. Estudaemos os casos mais simples, onde discutiemos os váios casos de não unifomidade do campos elético e magnético não unifomes, um de cada ve. Paa (Gadiente de ) : Campo Magnético não Unifome:. As componentes da equação de movimento de uma única patícula de massa m e caga elética q,

20 sujeita ao campo magnético da figua acima, é dada pelas equações do sistema..1 abaixo Fx q ( ) F qx ( ) d F m dt..1 Paa avalia o efeito da vaiação de na dieção, vamos aplica a teoia de óbita, ou seja, expandi numa séie de Talo em tono do cento guia (x, ) da patícula + ( ) +... ( ) Reescevendo o sistema..1, a pati da expansão.. e dos esultados já conhecidos, isto é, velocidade nas dieções x e e deslocamento na dieção, paa a óbita de uma única patícula num campo magnético unifome (ve sistema.1.8), temos

21 ± ± ) ( ) cos( ) cos( ) ( ) cos( ) ( c L c c L c x F t t q F t t sin q F ω ω ω ω m..3 Calcula! Agoa, vamos utilia as 3 componentes eescitas do sistema..3, paa enconta a média do veto foça que age na patícula, duante uma óbita completa ( ) q d F F d F F x F Fd F L x ˆ ) ( 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ± + + π π π θ θ θ..4 Calcula! Note que na equação..4, as médias nas dieções x e são nulas, como espeado, pois devido ao gadiente de ao longo da dieção, uma foça esultante nesta dieção, deve agi na patícula, duante uma óbita completa.

22 Substituindo o esultado acima, na expessão geal paa a velocidade de deiva (ve equação.1.18), temos Calcula! 1 F ˆ L ( ) m xˆ q..5 A expessão..5 é a velocidade de deiva do cento guia, devido ao gadiente de na dieção. A figua abaixo, mosta a deiva do cento guia da óbita da patícula, devido ao gadiente de Deiva do Cento Guia da Óbita da Patícula, devido ao Gadiente de. Se é abitáio (em qualque dieção), podemos enconta uma expessão geal paa, a pati da expessão..5

23 L m..6 Calcula! Paa Cuvado: Cuvatua de. A foça média que age numa única patícula de massa m e caga elética q, que viaja ao longo da dieção do campo magnético cuvado da figua acima, é F cf // m ˆ R c m R // c R c..7

24 Na expessão..7, consideamos R c fixo (logo deve se constante paa uma mesma cuvatua) e a velocidade témica da patícula ao longo da dieção de (velocidade mais povável) igual a //. Agoa, substituindo..7 na expessão geal.1.19, encontaemos a velocidade de deiva do cento guia, devido à cuvatua de Calcula! 1 Fcf m// Rc R q q R c..8 Paa avalia completamente a dinâmica de uma patícula caega em cuvado, devemos considea também o efeito do gadiente de em cuvado, confome mosta a figua abaixo

25 Dieção da Cuvatua e do Gadiente de. amos utilia a lei de Àmpee-Maxwell paa enconta o esultado do gadiente de ao longo da dieção, consideando o seguinte: Ausência de fontes eléticas; Ausência de campo elético vaiável; Resolução em coodenadas cilíndicas. Note também, que o gadiente de é ao longo da dieção e que cuvado é ao longo da dieção poloidal, logo alguns temos do poduto vetoial abaixo, são nulos Calcula!

26 1 ( θ )..9 A solução da expessão..9, consideando a condição de contono paa campo magnético cuvado ou tooidal ( θ ), é Calcula! C θ, C con tan te..1 Agoa, podemos enconta o gadiente de, uma ve que conhecemos θ ˆ C ˆ ˆ..11 Finalmente, paa R c fixado, consideando as definições de ω c e L e substituindo..11 na expessão geal..6, encontaemos a velocidade de deiva do cento guia, devido ao gadiente de em cuvado

27 m R c q Rc..1 Calcula! Potanto, a velocidade de deiva total, deve se a soma das velocidades de deiva devido à cuvatua de e ao gadiente de R m R 1 + c + // q R c..13 A figua abaixo, mosta a dieção da deiva total de uma patícula caegada num campo magnético cuvado ou tooidal // ˆ R c Dieção da Deiva do Cento Guia num Campo Magnético Tooidal.

28 Obsevação: O poblema apesentado acima, é de gande inteesse, pois está elacionado com o confinamento magnético paa fusão temonuclea contolada em TOKAMAK, confome mosta as figuas abaixo Linhas e Supefície de Campo Magnético Tooidal. Deiva devido á Configuação Tooidal das Linhas de Campo Magnético num TOKAMAK.

29 Inteio do TOKAMAK inglês, JET. Paa (Gadiente de ) // : amos considea ao longo da dieção e com simetia axial, isto é, vaiando sua magnitude apenas nas dieções e, confome mosta a figua abaixo Pefil do Campo Magnético e Deiva do Cento Guia.

30 As componentes da equação de movimento paa uma única patícula de massa m e caga elética q, que viaja ao longo do pefil de campo acima, são F Fθ F q ( θ θ ) ( + ) ( ) q q θ θ..14 O sistema..14 deve se eescito, consideando θ (simetia axial) e substituindo a compomente do campo magnético. A pati da lei de Gauss paa o magnetismo, podemos enconta a componente que deve se subsitituida em ( ) A solução de..15 deve se deteminada, assumindo que é conhecido sobe o eixo de simetia, isto é, paa e que sua vaiação seja, apoximadamente pequena com, então

31 ..16 Calcula! Agoa, podemos eesceve o sistema..14 ( ) q F q F q F θ θ θ..17 Analisando o sistema..17, temo a temo, temos q θ e (-q ) dão oigem ao movimento ciclotônico que conhecemos no plano -θ; quando, q dá oigem a uma deiva do cento guia na dieção (ve a pimeia figua acima); -q θ dá oigem a uma desaceleação na dieção de convegência das linhas de campo magnético (cúspide magnética).

32 O temo de maio impotância é F -q θ, pois pemite o confinamento magnético das patículas ente cúspides. Potanto, vamos toma a média da componente F sobe o eixo e duante um peíodo de gio da patícula, consideando também θ ± (± é devido ao sinal da caga q) e L, então F F q θ m..18 Calcula! O movimento de patículas em espelhos magnéticos, possui algumas constantes do movimento: a pimeia é mais impotante delas é o momento magnético µ que é uma gandea escala, definida como µ m..19

33 Potanto, podemos eesceve expessão..18, a pati da definição acima F µ..19 A pati a expessão..19, podemos enconta o veto foça, ao longo da dieção do campo magnético µ.. F // // Toda constante do movimento deve se invaiante, isto é, deve se consevada, neste caso A medida que a patícula se move paa egiões de campo magnético mais fotes ou mais facos, o momento magnético µ, deve se consevado. amos agoa, pova tal invaiância paa o momento magnético µ, paa isso vamos usa um atifício matemático, isto é, multiplica // d/dt ds/dt pela componente da equação do movimento (paalela ao campo magnético)

34 m // d dt d dt // m µ // ds dt µ d ds d dt..1 Calcula! Sabemos que é constante no tempo, no entanto a patícula em sua tajetóia; sente uma vaiação de associado ao seu movimento de ida e d volta ente os espelhos magnéticos, potanto dt. Sabemos também que a enegia mecânica deve se consevada em todo o movimento, vamos então usa esse fato e os esultados acima, paa conclui que o momento magnético µ é invaiante, ou melho, consevado.

35 d dt m // m + d dt m d m // d ( ) dt + µ dt d dµ d µ + + µ dt dt dt dµ µ cons tan te dt // + µ Calcula! Este último esultado, isto é, a invaiância do momento magnético µ, é a base pincipal paa o confinamento de patículas po espelhos magnéticos. A figua abaixo, mosta o confinamento do plasma po espelhos magnéticos. Confimanento Magnético po Espelhos Magnéticos.

36 O confinamento da patícula po espelhos magnéticos, não é pefeito, pois depende dos valoes das velocidades e // na egião ente as cúspides magnéticas, isto é Paa µ F, logo a patícula deve escapa do confinamento; Paa << // 1, se não fo suficientemente gande, a patícula também deve escapa do confinamento; Agoa, conhecido os campos e e conhecidas as velocidades nas egiões ente as cúspides ( e // ) e também nas cúspides ( e //), vamos aplica a invaiância do momento magnético µ, paa enconta um paâmeto paa o confinamento Calcula! µ m m ' cos n tan te.. Usando o fato de que a enegia mecânica deve se consevada, temos

37 // + // +..3 Utiliando as expessões.. e..3 e consideando que a velocidade // é nula na cúspide, temos Calcula!..4 Podemos eesceve a expessão..4, consideando o ângulo α fomado ente o veto velocidade e a sua componente paalela ao campo magnético; Tajetóia da patícula ente Espelhos Magnéticos. a aão de espelho (R), isto é, a aão ente o valo máximo e mínimo do campo magnético

38 , que indica com que eficiência deve ocoe o confinamento R cos n tan te Agoa, podemos eesceve..4 Calcula! 1 sin α R..5 A pati da última expessão, podemos imagina um cone no espaço das velocidades, onde existe um ângulo de abetua máximo (imposto pela aão de espelho) que define, quais patículas seão confinadas ou não (segundo o ângulo fomado pelo veto velocidade de cada patícula com a sua componente paalela ao campo magnético). A figua abaixo, mosta o cone de pedas no espaço das velocidades

39 Impotante! Cone de Pedas no Espaço das elocidades. Obseve que patículas com velocidades no inteio do cone são pedidas, isto é, não são confinadas pois // >, mas aquelas com velocidades foa do cone de pedas são confinadas, uma ve que // <. A figua abaixo, mosta a eflexão de patículas num espelho magnético, cujo veto de velocidade se enconta foa do cone de pedas

40 Reflexão da Patícula no Espelho Magnético. Na natuea, temos váios eventos elacionados com configuação de campo magnético, tipo espelho magnético, confome os exemplos a segui Auoas oeais e Austais Auoa oeal vista do Espaço.

41 Cintuão de an Allen Cintuão de an Allen. Tajetóias de Patículas Confinadas no Cintuão de an Allen. No laboatóio, também podemos simula os espelhos magnéticos natuais, com váias finalidades

42 Populsoes a Plasma Pojeto do Populso paa longas viagens espaciais: ASIMIR. Campo de Espelho Magnético paa Populsão: ASIMIR..

43 Fusão Temonuclea Contolada A maio Máquina de Confinamento Magnético po Espelhos Magnéticos: Tandem Mio, Japão.

44 Pefil de Campo Magnético, Potencial de Plasma e densidade de Plasma, paa o Tandem Mio.