apresentar um resultado sem demonstração. Atendendo a que

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1 Aula Teóica nº 2 LEM-26/27 Equação de ot B Já sabemos que B é um campo não consevativo e, potanto, que existem pontos onde ot B. Queemos agoa calcula este valo: [1] Vamos agoa apesenta um esultado sem demonstação. Atendendo a que µ J A = dv, isto é, 4π A é um integal sobe a densidade J, e que estamos a V considea coente estacionáia, div J =, obtém-se div A =. Isto é, o potencial A é também um campo solenoidal 1 (tal como o campo B, pois div B = ) 2. Então como div A =, tem-se [2] Agoa epae-se nesta analogia, sem fazemos cálculos: Como o potencial A µ J é dado po: A = dv, tem-se paa cada uma das suas 4π V componentes: 1 Ampèe designou o enolamento em hélice de solenóide, um dispositivo com o qual Joseph Heny fez expeiências notáveis e que inovaam as telecomunicações. 2 A demonstação desta passagem pode se vista, paa os alunos mais exigentes, num apêndice de poblemas. 66

2 [3] ot B = µ J Equações Fundamentais do Campo Magnético div B = ot B = µ J i) A pimeia equação diz que o campo é solenoidal, que as l. de f. de B são fechadas e que o campo magnético não tem fontes de fluxo; ao contáio do campo e E, onde e div E = ρ / ε. Não existem potanto cagas magnéticas. ii) A segunda equação diz que o campo B é não consevativo e que tem fontes de ciculação nos pontos onde J ; ao contáio do campo e E, onde e ot E =. Em conclusão: i) ii) divb = otb = µ J e ρ dive = ε e ote = ρ e J são as fontes do campo. Teoema de Ampèe As duas equações anteioes podem esceve-se sob a foma integal: 67

3 [4] A esta segunda elação é chamada Teoema de Ampèe (não confundi com a lei de Ampèe estudada logo no iníio do campo magnético). O Teoema de Ampèe enunciase da seguinte foma: A ciculação do campo B ao longo de um caminho fechado γ é igual ao poduto de µ pela soma das coentes que atavessam uma supefície abeta S que se apoia no contono γ. [5] γ n S As coentes são consideadas positivas ou negativas consoante tenham o mesmo sentido ou sentido contáio da nomal n, elacionada com o sentido da ciculação γ, pela ega do saca-olhas. Ao fim e ao cabo é o teoema de Stokes a funciona. O Teoema de Ampèe desempenha na magnetostática um papel semelhante ao Teoema de Gauss da electostática, pois pemite detemina campos B em poblemas onde seja conhecida a configuação das l. de f. de B em todos os pontos do espaço e a foma de uma l. de f. que passe pelo ponto P sobe a qual seja B = const. Assim, considee-se os seguintes dois poblemas. 68

4 Poblema 121 Fio ectilíneo infinito pecoido po uma coente i. Petende-se calcula o campo B no ponto P. Sabe-se que as l. de f. são ciculaes assentes em planos, pependiculaes ao fio. Se consideamos a ciculação γ sobe a l. de f. que passa pelo ponto P, tem-se [6] µ i E potanto B = uϕ, tatando-se aqui de um método muito mais fácil paa chega a 2π este esultado do que a pati da lei de Biot-Savat. Poblema 136 Seja agoa um conduto cilíndico de aio R, pecoido po uma coente de intensidade i. Vamos supo que a densidade J é unifome sobe a secção do conduto de foma a te-se [7] Num ponto exteio ao conduto o campo i é dado pela mesma expessão da do poblema anteio, visto que neste caso o conduto compota-se como se fosse filifome. Contudo, paa um ponto P 2 (inteio), tal que < R, tem-se: [8] 69

5 Infelizmente o Teoema de Ampèe nem sempe se pode utiliza. Po exemplo, no caso de uma espia cicula de aio R, pecoida pela coente i, tem-se a seguinte configuação de l. de f. [1] Não se pode usa o Teoema de Ampèe no cálculo do campo B, pois não se conhece a foma das l. de f. em todos os pontos do espaço e emboa a l de f. que passe pelo cento da espia seja uma ecta, o módulo B não se mantém constante, diminuindo paa o. Neste caso só se pode calcula o campo B a pati da lei de Biot-Savat. As l. de f. de B são fechadas, como se vê nestas linhas ciadas po dois polos de um íman. 7