Introdução ao Método de Elementos Finitos

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1 Intodução ao Método de Elementos Finitos Jaime Atuo Ramíe Unidade 1 1 Método de Elementos Finitos Apesentação do cuso O que se estuda aqui? O que é peciso sabe? O que amos fae? 2

2 Apesentação do cuso O que se estuda neste cuso?? Aplicação do método de elementos finitos ao estudo de poblemas de contono, pincipalmente de Eletomagnetismo. Poblemas de contono??? 3 Poblemas de Contono? 4

3 Aplicações Pojeto e análise de dispositios eletomagnéticos, como máquinas eléticas, tansfomadoes, fonos de indução, sondas de ensaios não destutios, dispositios de micoondas, antenas, guias de onda, equipamentos médicos, dispositios semicondutoes, equipamentos de alta tensão, etc... 5 O que pecisa?? Conceitos matemáticos básicos (eisaemos, apidamente); Eletomagnetismo básico (eisaemos apidamente) Pogamação Oientada a Objetos - (não eisaemos!!) 6

4 Conceitos Básicos Cálculo etoial, opeadoes difeenciais e teoemas integais básicos Equações de Mawell Uma isão do método de elementos finitos, «do ponto de ista do usuáio» 7 Áea de OPAC Definição do objeto modelado (Pé-pocessamento) Geometia / Modelo; Paâmetos / Condições de contono / caacteísticas dos mateiais; Adiciona infomações ao modelo automaticamente. Eemplo: malha de elementos finitos. PAC - Pojeto Assistido po Computado (gaduação) Geometia Computacional (pós-gaduação) Pocessamento do Modelo Método de elementos finitos Métodos de equações integais Pós-pocessamento (Etação de infomações a pati dos dados indos do Pocessamento do modelo) Visualiação (PAC); Gandeas de Engenhaia (Elementos finitos / equações integais); Análise de sensibilidade (Otimiação); Otimiação Métodos deteminísticos (Otimiação); Métodos estocásticos (Algoitmos genéticos); 8

5 Cálculo etoial, opeadoes difeenciais e teoemas integais básicos Ref.: Annita Macedo, Eletomagnetismo, Capítulo 1 Reisão das opeações básicas com etoes: poduto escala, poduto etoial, definição e significado físico; Opeadoes difeenciais de pimeia odem: gadiente, diegente e otacional - definição e significado físico; Teoemas integais básicos: Teoema da Diegência e teoema de tokes; Opeadoes difeenciais de segunda odem: definição e inte-elação. 9 Poduto escala a. b a.b + a.b + a.b a. b a b cos(θ) Resultado: um escala. Nulo, quando os dois etoes são otogonais; Módulo máimo, quando os dois etoes estão na mesma dieção. b θ a 10

6 Poduto etoial i j k a b a b a b a b (a b a b ) i + (a b b a b ) j + (a b a b ) k a b a b sen (θ) Resultado: um eto Nulo, quando os dois etoes estão na mesma dieção; Módulo máimo, quando os dois etoes são pependiculaes Pependicula ao plano definido pelos dois etoes θ a 11 Opeado i + j + k Um eto que é apenas um opeado matemático, sem significado físico O significado físico apaece quando o aplicado a outas gandeas... 12

7 Gadiente eja f(,, ) um função escala contínua, com deiadas contínuas até odem 1 Gadiente de f: f f i + ignificado físico: f j + f o gadiente é um eto; o gadiente aponta na dieção de máima aiação de uma função; o gadiente é pependicula às supefícies f(,,) c (c constante). k 13 eja (,, ) (,,)i + (,,)j + (,,)k um campo etoial contínuo, com deiadas contínuas até odem 1 Diegente de :. + + ignificado físico: Diegente poduto escala de e o diegente é um escala; outos significados após emos o teoema da diegência 14

8 Teoema da diegência. dv. d V. nd 15 Diegente: intepetação física. dv. d V. nd uponha que amos eduindo V até que ele se tone um ponto Diegente difeente de 0 Diegente igual a 0 Fluo difeente de 0 Fluo 0 16

9 17 eja (,, ) (,,)i + (,,)j + (,,)k Rotacional de : ignificado físico: poduto etoial de e o otacional é um eto; outos significados após emos o teoema de tokes Rotacional k j i k j i Teoema de tokes C dl nd d... dl

10 Rotacional: intepetação física. d. nd uponha que amos eduindo até que ela se tone um ponto Rotacional igual a 0 Rotacional difeente de 0 C. dl C C Ciculação 0 Ciculação difeente de eo 19 Opeadoes de segunda odem f f. f f f 0 e E 0 2 f + 2 Laplaciano Laplaciano etoial Rotacional de um gadiente é nulo E V 20

11 Opeadoes de segunda odem. 0 e. B 0 Diegente de um otacional é nulo B A Outos opeadoes de segunda odem:. ot-ot gad-di Relação ente eles: Gandeas: Equações de Mawell Capítulo 2, Annita Macedo Gandeas enolidas: Campo elético, E (V/m) Densidade de fluo elético ou indução elética, D (C/m 2 ) Campo magnético, H (A/m) Indução magnética, ou densidade de fluo magnético, B (T, ou Wb/m 2 ) Densidade de coente elética, J (A/m 2 ) Densidade olumética de caga, ρ (C/m 3 ) 22

12 Gandeas: Equações de Mawell Caacteísticas de mateiais (popiedades constitutias): Pemeabilidade magnética, µ (H/m) Pemissiidade elética, ε (F/m) Condutiidade elética, σ (1/(Ω.m)) 23 Gandeas: Equações de Mawell Caga: Coente: Q V ρ dv I dq dt C A 24

13 Gandeas: Equações de Mawell Outas elações: J I ρ Φ J. d B. d 2 A/ m A Wb 25 E Equações de Mawell B t. D ρ H J + D t. B 0 26

14 D Equações constitutias []E ε B [ µ ]H J [ σ ]E Os tensoes se eduem a escalaes em meios isotópicos. As popiedades constitutias podem se dependentes dos campos 27 Intepetação física das equações de Mawell. D ρ + ρ V. D dv ρ dv D. d Q V Lei de Gauss 28

15 Intepetação física das equações de Mawell. B 0 + ρ m 0 V. B dv B. d 0 0 Lei de Gauss do Magnetismo B é um eto solenoidal: suas linhas de campo são fechadas 29 Intepetação física das equações de Mawell H J + D t Hd J + D d t H J + D t C H. dl I Lei de Ampée H 30

16 Intepetação física das equações de Mawell E B t C Ed dφ E. dl dt B d t E Lei de Faada N B t 31 Condições de inteface Equações de Mawell são álidas nos "pontos odináios" do domínio. Um ponto odináio é aquele em que as caacteísticas físicas dos mateiais são contínuas. Nos pontos não odináios Componentes nomais de B, D e J, contínuos Componentes tangenciais de H e E contínuos 32

17 Poblemas que podem se esolidos com as equações de Mawell Poblema dieto: dadas as fontes do campo e as caacteísticas dos mateiais em todos os pontos e em todos os instantes, detemina os campos oiginados; Poblema ineso: dado o campo em todo o espaço e todo o tempo, detemina as fontes; Poblema de pós-pocessamento: dado o campo eletomagnético em todo espaço e tempo e dadas cetas distibuições de caga e coentes, enconta paâmetos integais (foças, conjugados, indutâncias, fluos magnéticos, tensões, etc.). 33 Uma isão do método de elementos finitos, do ponto de ista do usuáio Um pogama baseado no método de elementos finitos obtém uma apoimação paa a solução das equações de Mawell em uma egião do espaço; No pogama FEMM, ao inés de soluciona as equações dietamente em temos dos campos, elas são escitas em temos do potencial etoial magnético:. B 0 B A 34

18 35 Potencial etoial - Poblema magnetostático J A µ 1 t D J H + Poblema estático A B H B µ A H µ 1 36 Poblema magnetostático - 2-D J A µ 1 J k J j H i H H j B i B B + + k J J k A A

19 Magnetostática 2D Após substituições (desenolidas em aula): A ν + A ν J Equação de Poisson da Magnetostática 2-D Qual a intepetação física do potencial etoial em 2-D? 37 Veto potencial : intepetação física Linhas equipotenciais tubos de fluo magnético ; A 2 -A 1 Φ / L,, onde L é o compimento em. Taçado das linhas equipotenciais fonece uma idéia da distibuição do fluo magnético. 38

20 Veto potencial : intepetação física Linhas equipotenciais tubos de fluo magnético ; 39 Condições de contono Condições de contono: Diichlet. A A 0 > Tubo de fluo > B n 0. Neumann. A A. Gealmente c n 0 n > H pependicula à fonteia (fonteia com um mateial de alta pemeabilidade magnética, ou simetia...) No FEMM, se nenhuma condição de contono é eplicitada, a condição de Neumann homogênea é imposta po default. 40

21 O método de elementos finitos Apesa das equações que desceem o poblema seem simples (uma equação difeencial pacial de segunda odem, mais condições de contono), sua solução paa o caso genéico não é > método de elementos finitos. A idéia do método o diidi o poblema em um gande númeo de egiões com geometia simples 41 O método de elementos finitos Nestas egiões, a solução paa A é apoimada po uma função simples. e um númeo suficiente de egiões fo utiliado, o alo apoimado ai se quase igual ao alo eato. Esta é uma isão bastante simplificada do pocesso de apoimação, que ai se detalhado posteiomente. 42

22 Passos paa esole o poblema no FEMM Enta com a geometia; Enta com as popiedades dos mateiais; Enta com as condições de contono (obs: default condições de contono de Neumann); Gea a malha de Elementos finitos; Resole o poblema; Eploa os esultados Eemplos de cálculo no FEMM 1 -Eletoímã A: Pemeabilidade 1 Tubo de fluo Aconst0 Feo. Pemeabilidade 1000 imetia J1MA/m 2 Pemeabilidade 1 H t 0 > Neumann > Calcula somente a metade de cima c/ as cond. contono indicadas 44

23 1.3. Eemplos de cálculos no FEMM imetia A constante 0 H t 0 Neumann J+1MA/m 2 Pemeabilidade1 J-1MA/m 2 Pemeabilidade1 Pemeabilidade 1000 > 1/4 do poblema pode se simulado no FEMM. 45 E Poblemas eletostáticos B t Estático... E 0 E V D ρ D εe. ( ε V ) ρ. 2D V ε + V ε ρ 46

24 Condições de contono - eletostática Condições de contono: Diichlet. V V 0 > E pependicula à fonteia Neumann. V c. Gealmente n V n 0 > E tangente à fonteia (simetia...) No FEMM, se nenhuma condição de contono é eplicitada, a condição de Neumann homogênea é imposta po default. 47 Eemplo: Capacito quadado 0 V A 0 V 1 V 0 V 0 V 48

25 Podemos edui o domínio de cálculo > simetia 0 V 1/4 do poblema! A 0 V 1 V 0 V 0 V 49 Poblema a se simulado Neumann: Campo tangente! V 0V (Diichlet) V 1V (Diichlet) imetia Neumann: Campo tangente! 50

26 Neumann: Campo tangente! Poblema a se simulado V 0V (Diichlet) A V 1V (Diichlet) imetia 1 cm 1 cm Neumann: Campo tangente! 51 Resolução po elementos finitos Pode-se calcula com 1/4 da geometia Malha de elementos finitos 52

27 Distibuição de Potencial 53 Distibuição de campo Elético 54

28 Eecícios Busque o FEMM e instale-o em seu computado: Ente e calcule os eemplos dados e faça os eecícios das páginas seguintes; Estude o manual: Help -> Help Topics; Outas fomulações, como o caso hamônico no tempo (quase estático); Outas condições de contono e seu significado; Os métodos numéicos utiliados (item 6) 55 Eecício no FEMM V 100 V Nlon Teflon 2 cm 1 cm V 0 V 3 cm Capacito cilíndico com dois dieléticos Teflon -> ε 2.1. Nlon -> ε 3.8 Considee a simetia Vaie a densidade da 56malha Toque o Teflon po a

29 10 V Eecício no FEMM (2) A Neumann Gemânio 1 mm 5 mm 0 V 5 mm 57