FÍSICA III - FGE a Prova - Gabarito

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1 FÍICA III - FGE211 1 a Pova - Gabaito 1) Consiee uas cagas +2Q e Q. Calcule o fluxo o campo elético esultante essas uas cagas sobe a supefície esféica e aio R a figua. Resposta: Pela lei e Gauss, o fluxo atavés e uma supefície fechaa epene apenas a soma e toas as cagas intenas a essa supefície. Como ambas as cagas estão foa ela, Φ e = 1

2 2) É ao um anel e aio a, isposto no plano xy como mosta a figua, e caegao com uma ensiae e caga linea constante e positiva λ. (a) Calcule o campo e o potencial eléticos, ciaos po essa istibuição, no ponto P que está a uma istância o plano xy sobe o seu eixo e simetia. (b) Obtenha a expessão o campo elético paa o caso >> a e intepete o seu esultao. Resposta: (a) É mais simples calcula pimeio o potencial elético. V = kq = kλl a2 + = kλaθ 2 a2 + 2 kλa 2π V = V = θ = a2 + 2 one q = λ2πa O campo elético poe se obtio a pati e V kλa2π a2 + 2 = kq a2 + 2, Po agumentos e simetia E ˆk Potanto Ou seja (b) Quano >> a E = V [ ] = kq 2 2(a ) 3/2 kq ˆk (a ) 3/2 (a ) = 3/2 3 ( a2 / 2 + 1) 1 3/2 2, pois a2 / 2 << 1. Potanto E kq ˆk 2 que coespone a lei e Coulomb paa uma caga pontual na oigem o sistema e cooenaas. 2

3 3) Uma esfea isolante e aio a, caegaa positivamente com uma ensiae volumética unifome ρ, é envolta po uma casca conutoa esféica e aio inteno 2a e aio exteno 3a. (a) Qual a ensiae supeficial e cagas nas supefícies intena e extena a casca esféica? Justifique sua esposta. (b) Calcule o campo e o potencial eléticos em too o espaço. (c) Faça gáficos epesentano V e o móulo e E em função a istância ao cento o sistema. () O que mua no poblema quano a casca esféica é ligaa à tea? Resposta: (a) Escolheno como supefície e Gauss uma esfea concêntica as esfeas o poblema com aio tal que 2a < < 3a, então po esta egião coespone a um conuto, o que implica em E(2a < < 3a) =, Φ = E ˆnA = Ou seja, sabeno que em um conuto toa a caga fica na supefície e veno que Φ = Q int ɛ então a caga na supefície e aio 2a tem que te a mesma magnitue e sinal oposto o que a caga a esfea: A istibuição supeficial é obtia então como σ 2a = Q 2a = Q esf = ρ 4 3 πa3 Q 2a 4π(2a) 2 = ρ4 1 3 πa3 4π(2a) 2 Ou seja, σ 2a = ρa 12 Como a caga no conuto ea inicialmente neuta, então E potanto σ 3a = Q 3a = Q 2a = Q esf Q 3a 4π(3a) 2 = ρ4 1 3 πa3 4π(3a) 2, o que implica em σ 3a = ρa 27 (b) Em toas as egiões o espaço, escolho como supefície e Gauss uma esfea e aio concêntica as esfeas o poblema. Po simetia, em toas as egiões o espaço o campo elético seá aial e como ˆn = ˆ, então E ˆn. Além isso, aina po aões e simetia, o campo elético seá sempe constante ao longo a esfea Gaussiana. Assim: Φ = E ˆnA = E A = E A = E A = E 4π 2 Paa pocee com os cálculos, ivio o meu poblema em quato egiões: 3

4 < a a < < 2a 2a < < 3a E 4π 2 = Q int ɛ ρ ˆ E 4π 2 = Q int ɛ = 1 ɛ ρ 4 3 π3 = 1 ɛ ρ 4 3 πa3 ρa3 2 ˆ E 4π 2 = Q int ɛ = > 3a E 4π 2 = Q int ɛ = 1 ɛ (Q esf + Q 2a + Q 3a ) = Q esf ɛ = 1 ɛ ρ 4 3 πa3 ρa3 2 ˆ Assim ρ ˆ, < a 2 ˆ, a < < 2a 2a < < 3a 2 ˆ > 3a A pati o campo elético, calculo o potencial usano a elação Vou efini V B V A = B A V ( ) = Novamente, ivio o meu poblema em quato egiões: E > 3a V = E( > 3a) = ρa3 = ρa3 2 ( 1 ) V ( > 3a) = ρa3 2a < < 3a V V (3a) = E(2a < < 3a) = 3a }{{} = V (2a < < 3a) = V (3a) = ρa2 9ɛ 4

5 a < < 2a V V (2a) = E(a < < 2a) = ρa3 2a 2a = ρa3 ( 1 ) 2 3ɛ 2a ( V ρa2 = ρa3 1 9ɛ 1 ) 2a V = ρa3 ρa2 18ɛ < a V V (a) = E( < a) = ρ a a = ρ ( ) 2 2 a = ρ2 6ɛ + ρa2 6ɛ V 5 ρa 2 = ρ2 + ρa2 18 ɛ 6ɛ 6ɛ V = ρ2 + 4 ρa 2 6ɛ 9 ɛ Potanto, o potencial elético em too o espaço poe se ao po ρ2 6ɛ + 4 ρa 2 9 ɛ < a V = ρa2 18ɛ ρa 2 9ɛ a < < 2a 2a < < 3a > 3a (c) E V () Quano a casca esféica é ligaa a tea, cagas negativas seão inuias paa a supefície intena a casca. O campo e o potencial paa < 2a não sofeão alteação. Mas paa > 2a, o potencial eletostático seá o mesmo a tea (constante) e potanto, o campo elético seá nulo. 5

6 4) Consiee uma placa isolante semi-infinita e espessua 2, centaa no plano xy e peencheno too o espaço ente = e =, como mosta a figua. e a ensiae volumética e cagas na placa é aa po ρ() = ρ Calcule E e V em toos os pontos o espaço. Respota: A figua abaixo ilusta a istibuição e caga em função a istância. ρ Escolho como supefície e Gauss um cilino paalelo ao eixo com compimento e áea a base A. O cilino está isposto com uma e suas bases na oigem e outa em. Resolveei o poblema apenas paa > pois o esultao é simético e poe, em seguia, se expanio paa <. Paa < Φ e = E ˆnA = bases EA = E A = E(A), bases one usei o fato e que, po simetia, o campo na base que se enconta na oigem é nulo Aplicano a lei e Gauss Φ e = Q int = 1 ρ() v ɛ ɛ }{{} = A ρ = A ρ ɛ 2ɛ 2 A Potanto ρ 2 2ɛ ˆk 6

7 Paa >, toos os cálculos se epetem, exceto pela caga intena que se tona Ou seja Assim, Q int = ρ ρ 2ɛ ˆk ρ 2 2ɛ ˆk, ρ 2ɛ ˆk, = ρ 2 < > Paa <, basta toca ˆk ( ˆk). Paa calcula o potencial, efino V ( = ) = Como o potencial é uma ganea escala, e como a istibuição e cagas é simética paa > e <, então posso eui que o potencial paa > seá exatamente o mesmo que o potencial paa <. Faei os cálculos paa >. Assim: < > V = E = ρ 2ɛ 2 = ρ 2ɛ V V () = E ( ) 3 3 = ρ 3 6ɛ V + ρ 2 6ɛ = ρ 2ɛ = ρ ( ) = ρ 2 ρ 2ɛ 2ɛ 2ɛ Finalmente V = V = ρ 2 ρ 2 ρ3 6ɛ, ρ 2ɛ < ρ 2ɛ, > O compotamento e E e V estão mostaos no gáfico abaixo. E V 7