PME 2556 Dinâmica dos Fluidos Computacional. Aula 1 Princípios Fundamentais e Equação de Navier-Stokes

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1 PME 556 Dnâmca dos Fldos Compaconal Ala 1 Pncípos Fndamenas e Eqação de Nave-Sokes

2 1.1 Inodção O escoameno de m fldo é esdado aavés de eqações de consevação paa:. Massa. Qandade de Movmeno. Enega

3 1. Noação ndcal A maoa dos lvos de gadação sobe mecânca dos fldos sa a noação smbólca o veoal. Assm, a velocdade é dada po: k

4 1. Noação ndcal A aceleação é dada po: ( ) z y a Qe esla: z y a

5 1. Noação ndcal As aceleações paa as ês deções do ssema de coodenadas são: z y a z y a y z y a z

6 1. Noação ndcal Na noação ndcal, a velocdade é dada po: Onde o índce pode epesena qalqe ma das ês deções do ssema de coodenadas,y,z.

7 1. Noação ndcal As aceleações são epesenadas po: a 3 1

8 1. Noação ndcal Noe qe, na epessão da aceleação, cada emo advo em m índce solado ( ), chamado índce lve, ndcando a deção da componene, e m dos emos, em qe há ma somaóa, em m índce qe se epee ( ) nma opeação de mlplcação.

9 1. Noação ndcal Na noação ndcal, sa-se a ega de qe o índce epedo na mlplcação deno da somaóa á ndca a necessdade de somaóa. Assm, o snal de somaóa pode se evado: a 3 1

10 1. Noação ndcal Vanagem óbva - ao nvés de esceve: z y a z y a y z y a z Esceve-se apenas: a

11 1. Noação ndcal A noação ndcal é paclamene úl paa esceve eqações gandes, e se elacona deamene com o hábo de faze pogamação sando opeações com índces.

12 1. Noação ndcal E: Eqação de Nave-Sokes paa escoameno ncompessível: 1 ( ) p ν g

13 1. Noação ndcal Isso esla: g z y p z y 1 ν g y z y y p z y 1 ν g z z y z p z y 1 ν

14 1. Noação ndcal As ês eqações são sbsídas po: 1 p ν g

15 1. Noação ndcal Cada emo advo em m índce lve ( ) e dos emos em mlplcações com a epeção de ndcando somaóa.

16 1. Noação ndcal Dealhe: a lea paa o índce lve e paa o epedo podem se sbsídas po qalqe oa lea. Assm, as ês eqações bao são eqvalenes: g p 1 ν k k k k k g p 1 ν k q q k k m k m k g p 1 ν

17 1. Noação ndcal E - Dvegene de m veo: y z O:

18 1. Noação ndcal Teoemas do Gadene e Dvegene d p da p n p d da p n A A d da n d da n A A Tenso de ª odem d da n d da n A A σ σ σ σ

19 1.3 Devada Maeal Dφ Sea φ ma popedade de ma paícla maeal ( velocdade, empeaa, massa específca, ec.). A aa de vaação da popedade φ da paícla é dada po: paícla D lm0 φ pa ( ) φ pa ( ) φ(, ) φ (, ) D φ D φ φ

20 1.4 Taa de Vaação de m Elemeno Volméco 1 d ( ) D d D

21 1.5 Eqação da Conndade A massa de ma paícla maeal elemena é dada po: dm pa d A vaação da massa dessa paícla maeal é dada po: D( dm D pa ) ( ) D D d d D D 0

22 1.5 Eqação da Conndade Aplcando a epessão da aa de vaação do volme elemena: D d D d 0 Isso esla ma foma menos conhecda da eqação da conndade: D D 0

23 1.5 Eqação da Conndade Usalmene, a foma mas conhecda é obda sbsndo a devada maeal da massa específca: 0 Qe, pela ega da cadea, esla: ( ) 0

24 1.5 Eqação da Conndade Emboa a ª foma sea mas conhecda qe a 1ª, esa em ma ldade mao paa concea m escoameno ncompessível. Nm escoameno ncompessível, ma paícla maeal maném massa específca consane, logo: D D 0

25 1.5 Eqação da Conndade Assm, emos: D { D 0 0 Qe esla: 0

26 1.6 eoema do Tanspoe de Reynolds F: popedade de ma cea qandade de massa de fldo(e: qandade de movmeno φ: popedade F po ndade de massa do fldo (e: velocdade) F φ d ()

27 1.6 eoema do Tanspoe de Reynolds A vaação de F é dada po: DF D ( ) Dφ D( d ) d φ D D ( ) Dφ d D Po oo lado, podemos esceve: DF D D ( φ) D( d ) d φ () D D

28 1.6 eoema do Tanspoe de Reynolds Isso esla: DF D ( φ) ( φ ) d d φ () d Qe ambém esla: DF D ( φ ) ( φ ) () d

29 1.6 eoema do Tanspoe de Reynolds Logo: ( ) ( ) ) ( ) ( d d D D D DF φ φ φ Fazendo : d ( ) ( ) D D φ φ φ φ φ

30 1.6 eoema do Tanspoe de Reynolds Spondo qe o volme móvel ocpa nsananeamene m volme de conole fo com spefíce de conole Sc, e aplcando o eoema de Gass: DF D ( ) Dφ d D C ( φ) ( φ ) d C d DF D ( φ) d d ( ) Dφ D C SC φ n da

31 1.7 Foças sobe ma spefíce df df df y z σ da σ da σ y y σ da σ da σ yy σ da σ da σ z yz y y y z zy zz da da z z da z

32 1.7 Foças sobe ma spefíce df σ da Podemos esceve: df da σ da da σ n da

33 1.8 Eqação da Qandade de Movmeno Aplcando a segnda le de neon ao volme móvel: a d Fconao ( ) Isso esla: F campo D d D ( ) S ( ) ( ) n σ da g d Pelo eoema de Gass: D D d σ d ( ) ( ) ( ) g d

34 1.8 Eqação da Qandade de Movmeno Fazendo o volme de paícla ende ao volme elemena: d Obemos a eqação dfeencal: g D D σ Qe pode se esca: ( ) ( ) g σ

35 1.9 Tenso das Tensões paa Fldo Neonano k k S p δ µ µ δ σ 3 Onde o enso aa de defomação é dado po: S 1 E o enso dela de Konecke é dado po: se se 1 0 δ

36 1.10 Eqação de Nave-Sokes Sbsndo o enso das ensões paa m fldo neonano na eqação da qandade de movmeno: ( ) ( ) k k g p µ δ µ δ 3 δ Poém, emos qe: ( ) ( ) k k g p µ µ 3 Logo:

37 1.10 Eqação de Nave-Sokes Se o escoameno fo ncompessível: ( ) ( ) g p µ

38 1.10 Eqação de Nave-Sokes Se além do escoameno se ncompessível, a vscosdade dnâmca fo nfome: ( ) ( ) g p µ µ Como podemos nvee a odem de devação no penúlmo emo: ( ) ( ) g p µ