Capítulo 5 Trabalho e Energia

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1 Caíulo 5 Tabalho e Enegia 5.1 Imulso Resolvendo a equação fundamenal da dinâmica, aa uma aícula; d F = (5.1) d conhecendo a foça F em função do emo, o inegação, emos; ou d = Fd (5.) = Fd = I (5.3) I chamamos de Imulso, e que significo seguine, "a vaiação da quanidade de movimeno de uma aícula é igual ao Imulso" Como o imulso é a foça mulilicada elo emo, a vaiação na quanidade de movimeno de uma qualque aícula ou coo de massa m, ode se obida ela alicação de uma foça inensa num cuo inevalo de emo ou o uma foça menos inensa num maio inevalo de emo. Po eemlo, a colisão ene dois aseóides imlica numa vaiação muio áida nas suas quanidades de movimeno, mas essa mesma vaiação de quanidade de movimeno, ode ocoe em ambos, ela diminua (mas consane) essão da adiação sola, duane um longo eíodo de emo. Da análise das aneioes eessões, veificamos que odemos obe a osição da aícula em função do emo, fazendo simlesmene; I mv mv = I ou v = v + (5.4) m d e como v =, ( d = v d ) d I d v d m 1 = + ou = + v( ) + I d m (5.5) Teíamos assim esolvido o oblema fomal da dinâmica Física Engenhaia Civil

2 Mas nomalmene a foça alicada sobe uma aícula não é aenas função do emo, mas vaia ambém no esaço (com a osição), vaia com, y e z, iso é, a foça é uma função esácio-emoal, F (, y, z, ). Temos de ecoe a ouas écnicas maemáicas, aa as esoluções dos oblemas, o que nos conduz à inodução e definição de novos conceios físicos: o abalho e a enegia. 5. Tabalho Consideemos a aícula, que se move ao longo de uma ajecóia (cuva) C, sob a acção de uma foça F. Num cuo inevalo de emo d, a aícula move-se de aa ', efecuando um deslocameno ' = d. O abalho elemena (dw) ealizado ela foça F duane o deslocameno é definido elo oduo escala (oduo ineno): dw = F d (5.6) Figua 5.1 Tabalho elemena de uma foça. Se indicamos o módulo de d (a disância ecoida) o ds, odemos enão esceve o abalho elemena dw na foma; dw = Fds cosθ (5.7) sendo θ o ângulo eisene ene as diecções da foça F e do deslocameno d. Da análise da figua 5.1, vemos que F cosθ é a comonene angencial da foça ao longo da ajecóia. Podemos enão esceve; dw = F ds (5.8) T "o abalho é igual ao oduo do deslocameno ela comonene da foça na diecção do deslocameno" De noa que se foça é eendicula ao deslocameno (θ = 9º), o abalho o ela ealizado é nulo. São eemlos disso, os casos das foças nomais ( F N ) no movimeno cuvilíneo e a foça da gavidade mg quando um coo é movido num lano hoizonal (figua 5.). Física Engenhaia Civil

3 Figua 5. Tabalho (nulo) de uma foça eendicula ao movimeno. aneioes eessões dizem unicamene eseio ao abalho elemena, iso é, a um deslocameno infiniesimal. O abalho oal de uma foça sobe uma aícula, no seu ansoe de aa é a soma de odos os abalhos infiniesimais ealizados duane os sucessivos deslocamenos infiniesimais (figua 4.3), iso é; ou W = F W = 1 d1 + F d + F3 d 3 + F d = F T ds... (5.9) (inegal de linha) (5.1) Figua 5.3 Tabalho oal (soma dos inúmeos abalhos infiniesimais). É muias vezes conveniene a eesenação gáfica da foça em função do deslocameno. áea sob a função é a medida do abalho ealizado ela foça no esecivo deslocameno (figua 5.4 a). Figua 5.4 a) Reesenação da foça vesus deslocameno. b) Tabalho de uma foça consane. O caso aicula da foça se consane em módulo, diecção e senido, alicado a uma aícula com movimeno ecilíneo na diecção da foça (figua 5.4 b), dá-nos: W = F d = FT ds = Fds = F ds = Fs (5.11) Física Engenhaia Civil

4 nese caso o abalho ealizado ela foça é simlesmene o oduo da foça ela disância ecoida (o oduo da foça elo deslocameno efecuado). Quando a aícula esá sujeia a váias foças F 1, F, F 3,, o abalho oal (soma dos abalhos ealizados o cada uma) é igual ao abalho ealizado ela foça esulane (soma de odas as foças alicadas), (figua 5.5). dw = dw1 + dw + dw3 +. = F1 d + F d + F3 d +. = ( F1 + F + F3 +.) d = F d (5.1) Figua 5.5 Tabalho oal, das comonenes ou de váias foças alicadas Poência Nas alicações áicas, nomeadamene em engenhaia de máquinas é imoane conhece a aidez com que o abalho é feio. oência insanânea é definida o: dw P = oência média d W P med = (5.13) 5.. Unidades de Tabalho e Poência O abalho é eesso como o oduo de uma unidade de foça o uma unidade de disância. Vem o isso em newon meo (N m), uma unidade a que chamamos joule (J) 1. Um joule é assim o abalho ealizado o uma foça de um newon quando ela desloca o um meo uma aícula na mesma diecção da foça. J = N m = kg m s - oência é eessa como o quociene ene uma unidade de abalho e uma unidade de emo. Vem o isso em joule o segundo, uma unidade chamada wa (W). Um wa é a oência de uma máquina que ealiza abalho com a aidez de um joule a cada segundo. (W = kg m s -3 ) São usados ambém múlilos do wa, kw = 1 3 W e MW = 1 6 W O hose-owe (h) ou cavalo-vao (cv) = 746 W 1 James Pesco Joule, ( ). Cienisa iânico, invesigado na áea da emodinâmica. Física Engenhaia Civil

5 Oua unidade aa eimi o abalho é o quilowa-hoa. O quilowa-hoa é igual ao abalho ealizado duane uma hoa o uma máquina que em a oência de um kw. ssim, o kwh = (1 3 W)(36 s) = 3,6 1 6 J Po definição Enegia é definida como a caacidade de um sisema efecua abalho, (gealmene ese conceio é melho enendido do que definido). 5.3 Enegia Cinéica foça angencial é dv F T = m, oano, d dv ds F T ds = m ds = mdv = mvdv (5.14) d d W 1 1 FT ds = mvdv = mv mv (5.15) = Ese esulado indica que, indeendenemene da foma funcional da foça F e da ajecóia seguida ela aícula, o valo do abalho W ealizado ela foça é seme igual à vaiação da quanidade de mv /, ene o fim e o início da ajecóia. Esa imoane quanidade, chamada de enegia cinéica, é designada o E C. EC = 1 mv E C = (5.16) m "o abalho ealizado sobe uma aícula ela foça esulane é igual à vaiação da sua enegia cinéica" 5.4 Enegia Poencial. Foças Consevaivas Uma foça é dia consevaiva quando a sua deendência com o veco-osição ou com as suas coodenadas, y, z da aícula é al que o abalho W ode se seme eesso como a difeença ene valoes de uma quanidade E P (,y,z) nos onos inicial e final. quanidade E P (,y,z) é chamada Enegia Poencial e é função das coodenadas da aícula. Enão se F é uma Foça Consevaiva, W = F d = E ( ) E ( ) (5.17) iso é o abalho ealizado é igual a E no ono de aida menos E no ono final. "Enegia Poencial é uma função das coodenadas al que a difeença ene os seus valoes na osição inicial e na osição final é igual ao Tabalho ealizado sobe a aícula aa move-la da osição inicial aé à osição final" Física Engenhaia Civil

6 Rigoosamene, a Enegia Poencial E deveia deende das coodenadas da aícula consideada e ambém das coodenadas de odas as ouas aículas do Univeso, que ineagem com ela. Mas sendo uma ealização imossível e como já dissemos, no esudo dinâmico de uma aícula, consideamos o eso do Univeso essencialmene fio. Somene consideamos as coodenadas da aícula em esudo, na E. Enquano a Enegia Cinéica em seme a mesma foma e é seme válida, a foma da função Enegia Poencial E P (,y,z) deende da naueza da foça F, e nem odas as foças saisfazem a eessão aneio. Somene as que a saisfazem são chamadas de Foças Consevaivas. Foça da Gavidade é Consevaiva, e a sua Enegia Poencial devida à gavidade é: (eo da suefície da Tea). E g = mgh (5.18) Enegia Poencial coesondene a uma Foça Consane é (da eessão 5.17): E = F (5.19) Enegia Poencial é seme definida a menos de uma consane abiáia, o eemlo; E g = mgh + C e. Devido a esa abiaiedade, odemos defini o zeo, ou nível de efeência da Enegia Poencial, da maneia que mais nos convenha. Nos oblemas de coos em movimeno juno à suefície da Tea, é usual omamos esa suefície como nível de efeência, e assim sendo a Enegia Poencial devida à gavidade é zeo na suefície da Tea. Paa um saélie (naual ou aificial), o zeo da Enegia Poencial é usualmene definido a uma disância infinia. "o Tabalho ealizado o Foças Consevaivas é indeendene da Tajecóia" Qualque que seja a cuva que una os onos e, a difeença E () - E () emanece a mesma oque deende aenas das coodenadas dos onos e. Em aicula, se a cuva é fechada, iso é, se o ono final coincide com o ono inicial (os onos e são o mesmo), vem que E () = E () e o Tabalho é zeo (W = ). Iso significa que ao longo de ae da ajecóia, o abalho é osiivo e ao longo da esane ae da ajecóia o abalho é negaivo e de mesmo valo absoluo, dando esulado nulo (figua 5.6). = WO = F d = (5.) (um inegal ao longo de uma linha fechada, de um veco V função da osição é chamado ciculação do veco V ) Figua 5.6 Tajecóia (cuva) fechada. Esa úlima eessão ode se adoada como definição de Foça Consevaiva. Física Engenhaia Civil

7 foça consevaiva em de obedece a; F d = de oque enão: (5.1) W = F d = de Como F d = Fds cosθ esceve; = [ E ( ) E ( ) ] = [ E ( ) E ( ) ] (5.), com θ o ângulo ene a foça e o deslocameno, odemos de F cos θ = (5.3) ds Fcos θ é a comonene da foça na diecção do deslocameno ds, oano se conhecemos E P (,y,z), odemos obe a comonene de F em qualque diecção calculando a quanidade -de /ds, que é o negaivo da vaiação da Enegia Poencial com a disância naquela diecção. Esa vaiação é chamada deivada diecional de E P. Quando um veco é al que a sua comonene em qualque diecção é igual à deivada dieccional de uma função naquela diecção, o veco é dio gadiene da função. Dizemos assim, que F é o gadiene negaivo de E P : F E E E = gad E = u u y u z (5.4) y z Se o movimeno esive conido num lano, e usamos as coodenadas olaes (, θ), o deslocameno ao longo do aio veco é d e o deslocameno eendicula ao aio veco é dθ. Consequenemene, as comonenes adiais e ansvesais da foça são: F E = e F θ 1 E = θ Figua 5.7 Comonenes da Foça. Um caso imoane é aquele em que a Enegia Poencial E P deende da disância mas não do ângulo θ, iso é, em vez de E P (,θ) emos E P (). Enão E P / θ = e F θ =. foça não em comonene ansvesal, mas somene adial: é oano conhecida como uma Foça Cenal e a sua linha de acção assa seme elo ceno. Uma Foça Cenal deende seme somene da disância da aícula ao ceno. "a Enegia Poencial associada a uma Foça Cenal deende somene da disância da aícula ao ceno de foças e, eciocamene, a foça associada com uma Enegia Poencial que deende somene da disância da aícula a uma oigem é uma Foça Cenal cuja linha de acção assa o essa oigem" Física Engenhaia Civil

8 5.4.1 Gadiene Consideemos uma função V(,y,z) que deende das ês coodenadas de um ono. Podemos eesena as duas suefícies; V(,y,z) = C 1 e V(,y,z) = C esas suefícies que eibem um deeminado valo consane de oencial (nese caso as suefícies de oencial C 1 e C ) são chamadas de suefícies equioenciais, (figua 5.8). o assamos de um ono sobe C 1 aa qualque ono sobe C, a função V sofe uma vaiação C - C 1. Se C 1 e C difeem o uma quanidade infiniesimal, odemos esceve dv = C - C 1. vaiação em V o unidade de comimeno, ou deivada dieccional de V é: Consideemos o caso em que e esão ao longo de uma nomal N, comum às duas suefícies consideadas. deivada dieccional ao longo da nomal N é dv/dn. Vemos que dn = ds cos θ, enão: dv C C1 = (5.5) ds ds dv ds = dv dn dn ds = dv dn cosθ Figua 5.8 Gadiene de uma função vecoial. que elaciona a deivada dieccional ao longo da nomal, com a deivada dieccional ao longo de qualque oua diecção. Como cos θ é máimo aa θ =, concluímos que dv/dn dá a máima deivada dieccional de V. Inoduzindo o veco uniáio de V o: u n, eendicula à suefície em, definimos o gadiene dv gad V = u n (5.6) dn e assim, o gadiene é um veco eendicula à suefície V(,y,z) = C e, e é igual à máima deivada dieccional de V(,y,z). Podemos enão esceve: dv ds = gad V cosθ (5.7) mosando que a azão de vaiação com o deslocameno na diecção D, ou a deivada dieccional de V(,y,z), é igual à comonene do veco gad V naquela diecção. s linhas ao longo do gadiene são chamadas linhas de foça e são o definição nomais às suefícies equioenciais. Física Engenhaia Civil

9 O oeado difeencial, idenificado elo símbolo (nabla), foi inoduzido aa simlifica a noação, = u + u y + u z (5.8) y z gad V = V 5.5 Consevação da Enegia de uma aícula Quando a foça que age sobe uma aícula é consevaiva, emos enão que: E c () - E c () = E () - E () (5.9) ou (E c + E ) = (E c + E ) (5.3) quanidade E c + E é chamada Enegia Toal da aícula e é designada o E, ou seja, a enegia oal de uma aícula é igual à soma das suas enegias cinéicas e oencial, ou: E = E c + E = ½ mv + E P (,y,z) (5.31) "quando as foças são consevaivas, a Enegia Toal (E) da aícula emanece consane" Enegia da aícula é consevada. No caso de um coo que cai, eo da suefície da Tea, a consevação da Enegia dá: E = ½ mv + mgh = C e (5.3) E que não se esinge ao movimeno veical, é igualmene válida aa o movimeno de um ojécil cuja ajecóia é inclinada em elação à veical. 5.6 Foça Elásica Se consideamos uma mola elásica ideal, sem massa, a qual aós sofe uma defomação esaua a sua foma oiginal, obsevamos que as comessões (ou disensões) sofidas são oocionais à foça nela alicada aa obe essa mesma comessão (ou disensão). ssim, odemos enuncia a lei de Hooke (1678), como; F el = k (5.33) onde F el é a foça elásica que se veifica eisi na mola, e que esaua a osição oiginal e de equilíbio da mesma, aós esa fica live (figua 5.9). O coeficiene k é a chamado consane elásica da mola, cuja unidade no S.I. é Nm -1. Robe Hooke, ( ). Cienisa iânico, físico eeimenal. Física Engenhaia Civil

10 Figua 5.9 Foça elásica de uma mola de consane elásica k, comimida de Massa oscilane numa mola Vamos coninua a considea a não eisência de qualque foça de aio e uma massa m (já eesenada na figua 5.9) ligada à nossa mola elásica. Se o sisema mola e massa fo afasado da osição de equilíbio o alicação de uma foça eena, ealizando um abalho sobe ele (ansfeindo enegia aa o sisema), enão essa enegia adquiida vai emanece consane e a sisema iá oscila indefinidamene no emo ene + e. Figua 5.1 Sisema - mola elásica e massa oscilane. Como a foça elásica da mola esá alicada na massa m, ela lei de Hooke (5.33) e lei fundamenal da dinâmica (caiulo 4, eessão 4.15), emos; F el = k = ma (5.34) como o movimeno ocoe aenas a uma dimensão (no eio dos ), odemos assa a esceve; k = ma (5.35) d k = m d d m + k = d d d k + m = (5.36) que é a equação (difeencial) do movimeno de uma massa oscilane. Física Engenhaia Civil

11 5.6. Enegia Poencial Elásica de Da definição de enegia oencial (5.4), emos enão que Fel = e d F d = de. Inegando em, vamos obe a função Enegia Poencial Elásica. el Fel d = de = E ( ) E E = E ( ) F d Se consideamos = m (osição de equilíbio da mola), vem; E = E () el ( k) d Se consideamos ainda que E = J (a foça elásica é nula em = m), vem; 1 E = k (5,37) Paa uma massa (m) oscilane numa mola de consane elásica (k) e alicando o incíio de consevação da enegia mecânica, emos; E 1 1 = mvma (5.38) E k má cmá má = onde má é a comessão (ou disensão) máima da mola, v ma a velocidade máima da m massa, e má = v k figua 5.11 eesena, aa o sisema em esudo, a enegia oencial elásica e cinéica, ao longo da oscilação ene os eemos e +. Quando a enegia oencial elásica é máima a enegia cinéica é mínima (zeo) e vice-vesa. Esse valo máimo de enegia é dado o (5.38). Figua 5.11 Vaiação de enegia cinéica e oencial elásica, num sisema oscilane. Física Engenhaia Civil