OPÇÕES FINANCEIRAS - Exame

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1 OPÇÕES FINANCEIRAS - Exame (esolução) /4/6

2 . (a) Aendendo a que e aplicando o lema de Iô a ln S, enão ST ln q S ds ( q) S d + S d ~ W ; Z T + d W ~ u ; () sendo : T. Na medida de pobabilidade Q, o valo desconado (à axa de juo sem isco ) da opção é um maingale e, poano, V e (T ) E Q (V T j F ) e ST E Q ln S n ln ST S > o F Viso que o inegal de Iô R T d W ~ u possui uma disibuição nomal com média zeo e vaiância igual a, as equações () e () podem se combinadas da seguine foma: Z V e w q + w p exp dw e Z e w q p + p w exp dw e Z e w w q + p ( ) exp dw e e w q + p ( ) exp e e p q p ( ) e e p q + p : (b) Aplicando o lema de Iô a () X : S ; () dx S ds + d hs; Si ( q) S d + S d ~ W + S d ( q) + X d + X d ~ W : (4) Com base na equação (4) e aplicando novamene o lema de Iô, enão d ln X dx + d hx; Xi X X ( q) + d + d ~ W d ( q) d + d ~ W :

3 Poano, ln X T ln X ( q) Z T (T ) + d W ~ u ; e uilizando a equação (): ST S exp Z T ( q) (T ) + d W ~ u : (5) Consequenemene, E Q ST F S exp ( q) Z T (T ) E Q exp d W ~ u F S exp ( q) (T ) + 4 (T ) S exp ( q) + (T ) : (c) A coação fowad da acção no momeno paa enega n momeno T é igual a F S exp [( q) (T )] : (6) Enão Uilizando a equação (), E Q (F T j F ) E Q (S T j F ) : (7) Z T E Q (F T j F ) S exp q (T ) E Q exp d W ~ u F S exp q (T ) + (T ) S exp [( q) (T )] F (a) Paa pé- xa um cona-valo em USD máximo, a esaégia naual (mais simples) consise em compa 4 (4M/M) calls sobe a axa de câmbio EUR/USD e com vencimeno a 6 meses. Despezando desfazamenos empoais, o execício das calls pemie xa um peço de compa (máximo) de cada EUR igual a (K c + c), com um cuso de cobeua igual a c po EUR: Long Kc call Kc c Kc+c $. $.95 $.95 $. $.9 $.9 $. $.4 $.4

4 O sike de $. pemie xa um peço de compa máximo po EUR não supeio a $.5. Todavia, o cuso de cobeua po é supeio a $.5 po EUR. Paa eduzi o cuso da cobeua, é necessáio vende 4 pus com sike infeio ao peço de execicio das calls. Ou seja, é necessáio consui um sho ange fowad: Long Kc call + Sho Kp pu Kc Kp c p -c+p Kc+c-p $. $. $.9 $.5 -$.4 $.4 $. $. $.4 $.5 $. $.99 $. $. $.4 $.8 $. $.67 Poano, a compa de 4 calls com sike $. e a venda de 4 pus com sike $. pemie xa um peço de compa máximo igual a $.4 (<$.5) com um cuso de cobeua de apenas $.5 (<$.5) po EUR. O cona-valo máximo, po EUR, popocionado po al esaégia é igual a e4m $:4. (b) O objecivo é vende USD daqui a 6 meses, o que é equivalene a compa EUR. Gaani um peço de venda minimo paa USD é equivalene a gaani um peço de compa máximo paa EUR. Paa o efeio, é necessáio compa calls EUR/USD. Designando po CS EUR o conac size das calls e despesando desfazamenos empoais, o execicio das mesmas implica os seguines uxos nanceios (na ópica da empesa ACN): ecebimeno do conac size CS EUR ; pagameno de CS EUR (K c + c). Poano, paa vende a oalidade dos US$M daqui a 6 meses é necessáio de ni um conac size igual a CS EUR al que CS EUR (K c + c) US$M. Kc c Kc+c $M/(Kc+c) $. $.95 $.95 8,7,645.7 $. $.9 $.9 8,7,68.4 $. $.4 $.4 7,665, Em esumo, a compa de uma call EUR/USD com conac size igual a e8,7,645.7 e sike igual a $. pemie oca, daqui a 6 meses, os $M po mais de e8,,. (c) A esaégia long saddle consise na assumpção das seguines posições: long K pu e long K call. Consequenemene, as alenaivas disponiveis limiam-se a: K c p K-c-p K+c+p c+p $. $.95 $.5 $. $. $. $. $.9 $.8 $. $.67 $.67 $. $.4 $. $.84 $.46 $.6 A esaégia a escolhe consise em selecciona K$., pois a mesma possui um cuso de implemenação (po EUR) igual a $.67 (<$.8). Os ponos de beakeven são dados po: i. K-p-c $.; e

5 ii. K+p+c $.67. (a) Modelo de Meon: p (S; K; T ) S e q ( d + ) + e K ( d ) : Taxa de juo sem isco em egime de capialização conínua: ln + :4% :9%: Volailidade (anualizada) do índice DAX: 4:6% p 5 %: i. Poano, p 6; 5exp () ( d + )+6; 4exp sendo: e d + ln S K ln :4 + q + 6;5 6;4 p + :9% % + : q : d d + p :4 : :84: Uilizando uma abela da nomal eduzida, e ( d + ) ( :) :59 :4 ( d ) ( :8) 4 :59 :468: :9% ( d ) ;

6 Em suma, p 6; 5 :4 + 6; 4 exp :6: :9% :468 I.e. :6 e e; 6. (b) Valo do conao daqui a dias: V T e fst <Kg; sendo S T a coação do DAX daqui a dias e K 6; 4. Usando isk-neual valuaion, o valo acual do conao é igual a V e exp :9% E Q fst <Kg F e exp :9% Q (S T < Kj F ) : Paa calcula a pobabilidade Q (S T < Kj F ), consideemos a solução associada ao geomeic Bownian moion assumido pelo modelo de Meon: S T 6; 5 exp :9% % : Z T + : d W ~ u : Poano, Q (S T < Kj F ) Q 6; 5 exp :9% % : Z T + : d W ~ u < 6; 4 F 8 9 < Z 6;4 T Q d W : ~ ln :9% % : 6;5 u < : F ; : R T Viso que d ~ W u em uma disibuição nomal com média zeo e vaiância igual a, enão Q (S T < Kj F ) 8 < ln : ( d ) :468: 6;4 6;5 :9% % : q : 9 ; Em esumo, V e exp e46:4: 5 :9% :468

7 (c) S ;? d 5;96:77 6;5 Qual é o sike K? C ;? :97. Poano, n C ; max 6; 5 6; 4; exp S ; 5; 96:77 :97 5; 466:7: ; 8:4 8; 48:4 K ) K 6; 4 C ; (7; 88: 6; 4) + 688:: :9% Uma vez que não exisem dividendos, exp :9% :97 q (:97) :97 :4944: o [q 85:8 + ( q) 67:6]. Em suma, C ; max ; exp max (; 496:) 496:: :9% [: :8 + ( :4944) 67:6] (d) Uilizando a equação (5) dos handous, i. (; ) N o de cei cados de depósio a compa/vende: 85:8 67:6 7; 88: 5; 96:77 :595: É enão necessáio compa :595 59:5 cei cados. Conai um nanciameno no valo de B 59:5 6; 5 EUR 496: EUR EUR; 55; : ii. (; ) Posição a assumi sobe os cei cados de depósio: ; 47: 9: 7; 79: 6; 5: :899: 6

8 É enão necessáio compa mais (:899 :595) 7:4 cei cados. Passamos assim a dee uma posição longa sobe um oal de :899 89:9 cei cados. Refoça o nanciameno aé ao valo de B EUR; 55; exp :9% EUR4; 976; 9:: iii. (; ) Posição a assumi sobe os cei cados de depósio: 688: : 7; 88: 5; 96:77 :6: + 7:4 7; 88: EUR É enão necessáio vende (:899 :6) 9:6 cei- cados. Passamos assim a dee uma posição longa sobe um oal de :6 6: cei cados. Reduzi o nanciameno aé ao valo de B EUR4; 976; 9: exp :9% 9:6 6; 5 EUR EUR; 67; 757:94: iv. (; ) Uma vez que a call emina ITM (S ; 7; 88: > K), é necessáio compa mais ( :6) 89:7 cei cados. Tal implica um invesimeno adicional de 89:7 7; 88: EUR EUR; 76; 97:5, o que associado ao eembolso do nanciameno pefaz um cash-ou ow oal de EUR; 67; 757:94 exp :9% EU R6; 4; 6:7: + EUR; 76; 97:5 Ese pagameno é cobeo (salvo aedondamenos) via ecebimeno do sike, i.e. 6; 4 EUR EUR6; 4;. 7