Caro cursista, Todas as dúvidas deste curso podem ser esclarecidas através do nosso plantão de atendimento ao cursista.

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1 Cao cusista, Todas as dúvidas deste cuso podem se esclaecidas atavés do nosso plantão de atendimento ao cusista. Plantão de Atendimento Hoáio: quatas e quintas-feias das 14:00 às 15:30 MSN: lizado@if.uff.b Telefones: Endeeço: (21) Fundação CECIERJ Extensão em Física Rua Visconde de Niteói, 1364 Mangueia - Rio de Janeio CEP: Se você enconta eos ou tive sugestões paa melhoa a qualidade das aulas do cuso, po favo, nos mande uma mensagem atavés do link: // Texto atualizado em 21 de Junho de 2007

2 Aula 5. Aplicações das leis de Newton II Aula 5 Aplicações das leis de Newton II Na aula anteio nós estudamos algumas aplicações das leis de Newton em situações envolvendo movimento linea. Agoa nós discutiemos o movimento que é pouco mais complicado. Po exemplo, nós aplicaemos as leis de Newton a objetos pecoendo caminhos ciculaes. 5.1 Movimento cicula Confome vimos no cuso de cinemática, uma patícula com velocidade unifome v em um caminho cicula de aio expeimenta uma aceleação que tem um magnitude a c = v2 (5.1) A aceleação é chamada aceleação centípeta devido ao fato de a c está diigida em dieção ao cento do cículo. Além disso, a c é sempe pependicula a v, se existisse uma componente de aceleação paalela a v, a velocidade da patícula estaia mudando. Vamos considea uma bola de massa m que está pessa a uma coda de compimento e que está sendo giada em velocidade constante em um caminho cicula hoizontal, como ilustado na figua abaixo. Seu peso é balanceado po uma mesa cuja supefície não tem ficção. Façamos então a seguinte pegunta: O que faz com que a bola se mova em um cículo? De acodo com a pimeia lei de Newton, a bola tende a se move em uma linha eta; no entanto, a coda evita o movimento ao longo de uma linha eta, execendo sobe a bola uma foça adial de F que faz ela segui o caminho cicula. Está foça é diigida ao longo da coda em dieção ao cento do cículo, como mostado na figua acima. página 44

3 Dinâmica Figua 5.1: O movimento cicula. Se nós aplicamos a segunda lei de Newton ao longo da dieção adial, nós encontamos que a foça total causando a aceelação centipeta pode se calculada da seguinte foma: F = ma c = m v2. (5.2) Uma foça causando a aceleação centípeta aponta na dieção ao cento do caminho cicula e causa uma mudança na dieção do veto velocidade. Se, po acaso, esta foça se anulasse, o objeto podeia não mais movê-se em seu caminho cicula; ao invés disso, ele iia se move ao longo de um caminho em linha eta tangente ao cículo. Esta idéia é ilustada na figua abaixo paa a bola giando no extemo de uma coda em um plano hoizontal. Se a coda queba em algum instante, a bola iá se move ao longo de um caminho em linha eta tangente ao cículo no ponto onde a coda se patiu. De foma a exemplifica as idéias expostas acima, vamos considea duas patículas, de massas espectivamente iguais a m 1 e m 2, que estão ligadas po meio de um fio ideal de compimento l, que passa po um pequeno buaco na supefície lisa de uma mesa. Suponha que a pimeia patícula se movimente, sem nunca pede o contato com a supefície da mesa, e que desceva um MCU de aio, enquanto a segunda pemanece em epouso, a uma distância l abaixo do buaco da mesa, como indica a figua abaixo. Desejamos aqui esponde às seguintes questões: página 45

4 m 1 g + N 1 + T 1 = m 1 a 1 (5.3) Aula 5. Aplicações das leis de Newton II Figua 5.2: A linha tangente ao cículo. quais são os módulos das foças de vínculo que atuam no sistema? qual é a elação ente o módulo da velocidade da pimeia patícula que designaemos po (v 1 ), o aio de sua tajetóia cicula () e o módulo da aceleação da gavidade (g), paa que a situação que acabamos de desceve seja vedadeia? Antes de tudo, obseve que há tês foças de vínculo nesse poblema. São elas: a eação nomal que a supefície da mesa exece sobe a pimeia patícula; a foça que o fio faz sobe essa mesma patícula e a foça que o fio exece sobe a segunda patícula. Emboa os efeitos das foças de vínculo sejam conhecidos (po exemplo, a eação nomal execida pela mesa sobe a pimeia patícula não deixa que ela penete na supefície da mesa), tais foças não são conhecidas a pioi, mas deveão se encontadas duante a solução do poblema. Vamos aplica a Segunda Lei de Newton a cada patícula do sistema: m 2 g + T 2 = 0 página 46

5 Dinâmica Figua 5.3: O poblema da mesa. em que T 1 é a foça que o fio exece sobe m 1, T 2 é a foça que o fio exece sobe m 2, N 1 é a eação nomal que a supefície da mesa exece sobe m 1 e a 1 é a aceleação dessa patícula. Note que, po se tata de um fio ideal, T 1 = T 2 := T. Escolhendo os eixos catesianos, de modo que a supefície da mesa coincida com o plano OXY, que o eixo OZ aponte paa cima e a oigem esteja localizada no buaco da mesa, podemos esceve (N 1 m 1 g)û z T û = m 1 v 2 1 û (T m 2 g)û z = 0 (5.4) em que û é o unitáio na dieção adial e N 1 = N 1. Usando, então, a independência linea ente û z e û, concluímos: N 1 g = m 1 g T = m 1 v 2 1 (5.5) T = m 2 g Nesse poblema, as foças de vínculo têm módulos constantes, dados pela pimeia e última equações escitas na Equação (5.5). Paa obte a elação desejada ente v 1, e g, basta utiliza as duas últimas equações: m 2 m 1 g = v 2 1. (5.6) Note que quanto maio a massa m 2 e, potanto, maio a tensão no fio, maio deveá se a velocidade da pimeia patícula, paa que ela desceva um MCU com o mesmo aio. página 47

6 Aula 5. Aplicações das leis de Newton II Vamos considea agoa um outo poblema. Um cao se movimenta ao longo de uma pista cicula, cuja supefície está inclinada de θ em elação ao plano hoizontal. Ele desceve um MCU cujo aio de cuvatua vale, como indica a figua abaixo. Figua 5.4: Pista inclinada. Suponha que exista atito ente os pneus e a pista, sendo?e o coeficiente de atito estático coespondente. No entanto, considee que a foça de atito não possua componente ao longo da dieção do movimento do cao, isto é, suponha que a foça de atito sobe os pneus seja paalela à supefície da pista e pependicula à velocidade do cao. Essa hipótese é bastante azoável, pois, como o cao se movimenta com MCU, o módulo de sua velocidade pemanece constante (se o motoista apetasse o aceleado ou o feio, apaeceia uma componente da foça de atito ao longo da dieção do movimento do cao). Desejamos analisa aqui algumas situações inteessantes. Mais especificamente, gostaíamos de esponde às seguintes peguntas: 1. qual deve se o módulo da velocidade do cao, paa que a foça de atito sobe os pneus seja nula? 2. qual é o valo cítico paa o módulo da velocidade do cao, acima do qual ele começa a deapa? Como pimeio comentáio, devemos dize que, emboa o cao não seja um sistema ígido (os pneus giam em elação ao eixo etc.), vamos tatá-lo apoximadamente como tal. Paa esponde ao pimeio item, basta aplica a Segunda Lei de Newton, e lemba que o cao não possui componente vetical de aceleação, mas possui uma componente centípeta não-nula, uma vez que desceve um MCU. Sendo v 0 o módulo da velocidade do cao, temos, então: { N cosθ = mg, N + m g = m a N sinθ = m v2 0. (5.7) página 48

7 Dinâmica Dividindo a equação de baixo pela de cima, obtemos: v 2 0 = g tanθ. (5.8) A pati da equação anteio, vemos, po exemplo, que quanto mais veloz estive o cao, mais inclinada deveá se a pista, paa que ele desceva um MCU com o mesmo aio R sem o auxílio da foça de atito execida pela pista sobe os pneus. Em contapatida, paa uma mesma inclinação da pista em elação à hoizontal, quanto maio fo a velocidade maio seá o aio do MCU descito pelo cao. Potanto, se um cao enta numa cuva cicula de aio com uma velocidade maio do que v 0 = g tanθ, ele tendeá a deapa paa cima, a não se que a foça de atito estática seja gande o suficiente paa mantê-lo na cuva de aio. Suponhamos, então, que isso aconteça, isto é, que o cao esteja com uma velocidade de módulo v > v 0 mas que, mesmo assim, devido ao atito ente os pneus e a supefície da pista, ele desceva um MCU de aio. Calculemos, nesse caso, o módulo da foça de atito em temos de v, θ, m, g e. Como o cao tende a deapa, deslizando paa cima da pista, a foça de atito, que é tangente às supefícies em contato, aponta paa baixo. Da Segunda Lei de Newton, temos: { N cosθ fat sinθ mg = 0, N + f at + m g = m a N sinθ + f at cosθ = m v2, (5.9) Obtemos, assim, um sistema de duas equações e duas incógnitas, ( N e f at ). Da pimeia delas, escevemos: N = mg + f at sinθ cosθ (5.10) A substituição da Equação (5.10) na segunda equação do sistema anteio nos leva a: mg + f at sinθ sinθ + f at cosθ = m v2 (5.11) cosθ e, conseqüentemente, ao esultado f at = m v2 cosθ mgsinθ (5.12) Note que essa última equação é consistente com o esultado escito na Equação (5.8), pois, se substituimos na equação anteio v = v 0, com v 0 dado pela Equação (5.8), obteemos um valo nulo paa fat, como espeado. Paa obte o valo de N, devemos substitui na Equação (5.10) o valo de f at, dado pela Equação (5.12). Com isso, obtemos que: N = mgcosθ + m v2 sinθ. (5.13) página 49

8 Aula 5. Aplicações das leis de Newton II (Veifique como execício!) Analisando a Equação (5.12), vemos que se v cesce a pati do valo v 0 = g tanθ, o módulo da foça de atito f at cesce a pati do valo nulo. No entanto, f at não pode aumenta indefinidamente, pois, como sabemos, existe um valo máximo paa o módulo da foça de atito ente duas supefícies em contato, dado po µ e N. Potanto, existe um valo máximo paa v, que designaemos v max, acima do qual o cao deapaá sobe a pista, no sentido paa cima. Paa descobimos o valo de v max, basta substitui na Equação (5.12) o valo máximo do módulo da foça de atito, ou seja, basta esceve f at = µ e N, com N dada pela Equação (5.13). Seguindo esse pocedimento, obtemos: ou seja, µ e (mgcosθ + m v2 max sinθ) = m v2 max v 2 max = g (sinθ + µ e cosθ) (cosθ µ e sinθ) cosθ mgsinθ, (5.14) (5.15) Como último comentáio a espeito desse exemplo, note que, se v decesce a pati do valo v 0 = g tanθ, o módulo da foça de atito também aumenta a pati do valo nulo, poém com uma difeença impotante em elação ao caso que acabamos de tata: a foça de atito sobe os pneus do cao aponta paa cima, pois o cao tende a deapa paa baixo. Supondo que a inclinação da pista em elação à hoizontal seja maio do que o ângulo cítico θ c = actan µ e, haveá um valo mínimo v min paa o módulo da velocidade do cao, abaixo do qual ele iá deapa paa baixo na pista. 5.2 Roldanas Vamos agoa aplica as leis de Newton no estudo de um sistema análogo a um fio de massa despezível, que é um polia de massa despezível. Seja uma polia de aio R suspensa de um supote e capaz de gia, sem atito, em tono de um eixo que passa pelo seu cento O. Não podemos epesenta a polia como uma patícula poque suas váias pates se movem de difeentes maneias. Paa contona esse poblema de uma foma pática, isto é, vamos admiti que a massa da polia é despezível em elação às massas dos outos copos do sistema. Se T e T são duas foças aplicadas aos dois lados do fio que passa pela polia, então, no caso em que a massa da polia é despezível, temos T = T = T, onde T é a tensão do fio. O efeito da polia é altea a dieção da foça aplicada ao fio, sem altea o seu módulo. Ao mesmo tempo, paa que a polia pemaneça em equilíbio, a esultante das foças a ela aplicadas deve anula-se. Vamos considea o seguinte exemplo: duas massas m 1 e m 2 suspensas po um sistema de duas polias e de fios, todas de massa despezível, página 50

9 Dinâmica da foma indicada na figua abaixo. Qual é o movimento do sistema? As pates móveis do sistema são duas, delineadas na figua po linhas fechadas inteompidas: a massa m 1 e o sistema fomado pela massa m 2 pessa à polia 2, que se movem solidaiamente. m 1 m 2 Figua 5.5: Polia, inteelacionando as massas m 1 e m 2. Chamamos de T a tensão do fio, que de acodo com a nossa discussão acima, é a mesma dos dois lados da polia 2, e é também a mesma com a qual a polia 1 age sobe a massa m 1. Seja a aceleação da massa m 1, tomada positivamente quando diigida paa cima ( os movimentos são todos na vetical ). A equação de movimento da massa m 1 é então T m 1 g = m 1 a. (5.16) Qual é a aceleação da massa m 2? Se l 1 e l 2 são os compimentos das poções de fio indicadas na figua, vemos pela figua que l 1 + 2l 2 = constante, (5.17) ou seja, se a massa m 1 sobe ou desce, vaiando l 1 de l 1, devemos te l l 2 = 0 l 2 = l 1 2 (5.18) Logo, se m 1 sobe de uma ceta distância, m 2 desce de metade dessa distância, mostando que a aceleação de m 2 é igual a a/2, potanto a página 51

10 Aula 5. Aplicações das leis de Newton II Equação (5.17), funciona como um vínculo. A equação de movimento da outa pate do sistema é então: 2T m 2 g = m 2a 2 (5.19) Resolvendo as duas Equações (5.16) e (5.17) em elação às duas incógnitas a e T, obtemos: a = 2(m 2 2m 1 ) 4m 1 + m 2 g (5.20) e T = 3m 1m 2 4m 1 + m 2 g (5.21) Em paticula, temos equilíbio (a = 0) paa m 1 = m 2 2 (5.22) ou seja, o sistema de polias eduz à metade o peso (ou foça) necessáio paa equiliba um dado peso m 2 g, popocionando assim uma vantagem mecânica. Potanto, em um sistema análogo com 2n polias, teíamos a elação Em paticula, temos equilíbio (a = 0) paa m 1 = m 2 2n (5.23) Note também que a > 0 na Equação (5.20) quando m 2 > 2m 1, confome deveia se: uma massa m 2 maio que a de equilíbio faz subi a massa m 1. O estudo de polias tem ampla aplicação na vida cotidiana em conseqüência do fato dela eduzi o esfoço no levantamento de divesos copos. página 52

11 Céditos Texto adaptado po Calos Magno da Conceição da Apostila Física 1A - v.2 de Calos Faina de Souza, Macus Venicius C. Pinto e Paulo Cailho Soaes Filho Revisão: Mônica dos Santos Dahmouche Ilustação: Equipe CEDERJ Logotipo da Extensão em Física ciado po Andé Nogueia