PARTE IV COORDENADAS POLARES

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1 PARTE IV CRDENADAS PLARES Existem váios sistemas de coodenadas planas e espaciais que, dependendo da áea de aplicação, podem ajuda a simplifica e esolve impotantes poblemas geométicos ou físicos. Nesta pate, intoduziemos um novo sistema de coodenadas planas que, paa cetas cuvas e poblemas de luga geomético, apesenta algumas vantagens em elação às coodenadas etangulaes (catesianas), além de facilita, em alguns casos, o cálculo de integais (conteúdo que seá estudado em outa disciplina). Conteúdos Sistema de coodenadas polaes Equações polaes equivalentes Conjunto abangente e igualdade Equação pola vesus equação catesiana Reta e cículo Gáficos de cuvas dadas em polaes Intesecção de cuvas em polaes Execícios de Apendizagem

2 CRDENADAS PLARES No sistema de coodenadas etangulaes a localização de um ponto P do plano é dada atavés da distância de P a duas etas pependiculaes fixas denominadas de eixos coodenados. No sistema de coodenadas polaes, as coodenadas de um ponto consistem de uma distância e da medida de um ângulo, em elação a um ponto fixo e a uma semi-eta fixa. Sistema de coodenadas polaes. Fixados um ponto, denominado pólo ou oigem e uma semi-eta de oigem nesse ponto, denominada de semi-eixo pola podemos localiza qualque ponto P do plano se conhecemos a sua distância ao pólo e o ângulo que o segmento P faz com o semi-eixo pola. P pólo semi-eixo pola Neste sistema, as coodenadas de um ponto P são epesentadas pelo pa P (, ) no qual é denominado aio veto ou aio pola e coesponde à distância de P ao pólo. é denominado ângulo vetoial ou ângulo pola e coesponde ao ângulo de otação do semi-eixo pola até o segmento P. 0 se a otação fo no sentido anti-hoáio. 0 se a otação fo no sentido hoáio. pode se medido em gaus ou adianos. Denominamos eixo pola a eta oientada que contém o semi-eixo pola. eixo a 90º ou eixo otogonal a eta que passa pelo pólo e é otogonal ao eixo pola. PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

3 eixo a 90 P (, ) aio pola eixo pola pólo ângulo pola semi-eixo pola Exemplo Maca os pontos no sistema pola. C A B C D E F,,,90º,0º 5,, A E D F B bseve que podemos considea o aio veto como distância oientada de um ponto P ao pólo da seguinte maneia: Se 0 giamos o semi-eixo pola de ângulo e na semi-eta oposta macamos unidades, a pati do pólo. Como os pontos D, 0º e F,. Conjunto abangente. bseve o seguinte exemplo epesentamos no sistema pola os 7 5 seguintes pontos: P, ; P, ; P, e P,. PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

4 P P 0 0 P P 0 0 Po este exemplo, podemos obseva que um mesmo ponto P pode se obtido po váios paes de coodenadas polaes. PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

5 De um modo geal, conhecidas as coodenadas de um ponto P (, ), e em adianos, P também pode se epesentado po, n ou, n que esulta na única expessão ( ) n, n, n. A menos que P seja o pólo, esta expessão epesenta todas as possíveis coodenadas polaes de P. Definimos como abangente ao conjunto de todas as cuvas equivalentes de a uma dada cuva C : f(, ) 0, ou seja, E( C) f ( ), n, n. n bseve que em coodenadas polaes não existe uma coespondência biunívoca ente paes e pontos, como no caso das coodenadas catesianas. É justamente este fato que leva a esultados que, em alguns casos, difeem dos obtidos no sistema etangula. Igualdade de dois pontos em coodenadas polaes. Dados P, e P, então P P 0 ou n tal que ( ) n e n. Note que se P é o pólo, então 0, epesenta P qualque que seja. Pa pincipal (ou conjunto pincipal). Ente os infinitos paes de coodenadas polaes de um ponto P difeente do pólo, existe um único pa com aio veto 0 e 0,. A este pa, tal que 0 e 0 denominamos pa ou conjunto pincipal de coodenadas polaes do ponto P. Convencionamos que o pa pincipal do pólo é P (0,0). Exemplos Dado o ponto, detemine mais tês paes de coodenadas polaes que o epesente: 5 7 a) P,. Solução. P, ; P, ; P,. b) Q,. Solução. Q,0 ; Q, ; Q,. c) R,0 Detemine o pa pincipal de coodenadas polaes dos pontos dados: a) A, 870 PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN 5

6 Solução. pa pincipal A, onde devemos te e 0. 0 Fazendo , sabemos que 50 coesponde a 0. Logo, as coodenadas pincipais do ponto são,0. b) B 5, c) C, 50 Equações polaes equivalentes. Uma equação pola é uma equação dada em coodenadas polaes, isto é, que contém como vaiáveis os paâmetos que epesentam o aio e o ângulo vetoial do sistema pola. Assim, uma equação pola é escita na foma f (, ) 0. luga geomético deteminado po uma equação pola f (, ) 0 é fomado po todos os pontos e somente aqueles que tiveem pelo menos um pa de coodenadas polaes que satisfaça a equação pola. Assim, é possível que um ponto P, esteja no luga 0 0 geomético sem que suas coodenadas satisfaçam a equação. bseve os exemplos seguintes. A equação pola coesponde à cicunfeência de cento no pólo e aio. ponto P, petence à cicunfeência, mas não satisfaz a equação. Este mesmo ponto pode se dado nas coodenadas, que satisfaz a equação. Po outo lado, a equação epesenta a mesma cicunfeência. As equações e são ditas equivalentes.. A equação 0 é a equação do eixo pola. As equações n, n são equações equivalentes do eixo pola. PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

7 Equação pola equação catesiana. Dado um ponto P do plano tendo como coodenadas polaes P (, ) e coodenadas catesianas P( x, y ), podemos utiliza a figua abaixo paa obte elações ente as vaiáveis coodenadas x, y, e. y P x y cos sen x tg x y y x Exemplos Detemine o conjunto pincipal de coodenadas polaes paa o ponto P,. Solução. Das coodenadas catesianas do ponto, temos x e y. Então, e 5 tg actg Logo, o conjunto pincipal de coodenadas polaes do ponto P é 5,.. Esceva as coodenadas catesianas do ponto A,. Solução. ponto foi dado em coodenadas polaes, potanto, e x y cos cos sen sen. Então, Logo, o ponto A tem coodenadas catesianas,. Detemine uma equação pola paa as cuvas que tem equações catesianas dadas: a) y x Solução. b) x y PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN 7

8 Solução. Usando que x cos e y sen e substituindo na equação catesiana, temos cos sen que nos dá e, equações polaes equivalentes da cicunfeência de cento na oigem e aio. c) y x d) x y x Detemine uma equação catesiana das cuvas cuja equação na foma pola é dada po: a) sen( ) Solução. x y e sen( ) sen cos implicam em x y xy x y sen cos x y xy. x y x y x y b) sen Solução. sen x y y, ou seja, a equação sen pocuada é dada po x 5y y. Equação de algumas cuvas em coodenadas polaes. Reta. Reta que passa pelo pólo A eta que passa pelo pólo é o luga geomético dos pontos P (, ) cujo ângulo vetoial é constante. Potanto, a equação k onde k é uma constante, epesenta uma eta que passa pelo pólo. k PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN 8

9 . Caso geal eta que não passa pelo pólo Seja uma eta e tacemos do pólo até a nomal N, sendo N (, ) o ponto de intesecção de com a eta N de modo que o P (, ) tiângulo NP seja etângulo em N. Assim, cos( ), logo, se P (, ) é um ponto sobe então a equação pola da eta é dada po cos( ) N(, ) ou xcos y sen 0. Casos paticulaes Reta pependicula ao eixo pola cos, 0 Reta à dieita do pólo. cos, 0 Reta à esqueda do pólo. Reta pependicula ao eixo a 90 sen, 0 Reta acima do eixo pola. sen, 0 Reta abaixo do eixo pola. Exemplos Esceva a equação catesiana de cada eta dada em sua foma pola: a) b) cos sen c) sen. Cículo PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN 9

10 . Cículo com cento no pólo A equação pola do cículo com cento no pólo e aio a é dada po: a ou a. a. Cículo com cento C, e aio a. 0 0 P (, ) Usando a lei dos cossenos temos a a cos( ) (I) que é chamada equação padão do cículo. ( 0 ) 0 C Casos paticulaes 0 Cículo que passa pelo pólo e tem cento no eixo pola. Neste caso C a,0, a 0. Substituindo em (I): a cos. Uma vez que, paa 0 o ponto é o pólo, que petence à cicunfeência, podemos simplifica e obte a cos a cos. a cos C C Cento à dieita do pólo Cento à esqueda do polo Cículo que passa pelo pólo e tem cento no eixo a 90. Neste caso C a,90, a 0. Substituindo em (I) temos petence à cicunfeência podemos simplifica e obte a sen. Uma vez que paa 0 o ponto é o pólo que a sen. a sen a sen C C PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN 0

11 Cento acima do eixo pola Cento abaixo do eixo pola. Algumas cuvas clássicas em coodenadas polaes.) cos (cadióide). ) cos( ) (osácea).) cos( ) (lemniscata).) (espial de Aquimedes) Exemplos de gáficos de cuvas em coodenadas polaes Cicunfeências. Consideando a. a a cos a sen PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

12 Limaçons. Consideando a e b ( a b ). a b cos a b cos a b sen a b sen Consideando a e b ( a b ). a b cos a b cos a b sen a b sen PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

13 Consideando a. a cos a cos a sen a sen Rosáceas. Consideando a, n, n ímpa. a cos( n ) a sen( n ) Consideando a, n, n pa. PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

14 a cos( n ) a sen( n ) Espiais. Consideando a. a ( 0) a ( 0) a e ( a 0,) a, a PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

15 Intesecção de cuvas em polaes. Dadas duas cuvas em coodenadas polaes, C :, ) 0 e C : g (, ) 0. Paa detemina os pontos de intesecção dessas cuvas devemos i) bte o conjunto abangente de uma das cuvas; ii) Resolve todos os sistemas fomados po uma das equações fixadas e cada uma das equações do conjunto abangente; iii) Veifica se o pólo está na intesecção. Exemplos Paa cada pa de cuvas dadas, detemina o conjunto de pontos da intesecção: a) C : cos( ) (osácea de quato pétalas) e C : (cículo de cento em (0,0) e aio ). C : cos( ) Solução. Consideando os conjuntos abangentes de C e C, espectivamente, dados po E( C ) cos( ), cos( ) e C : E( C ), A pati de EC ( ) e EC ( ), os possíveis sistemas fomados e suas espectivas soluções são: cos( ) De S : tem-se que cos( ) cos( ) ou ou. Logo, os pontos P, e P, petencem a C C. De S : cos( ) tem-se P, e P,. De S : cos( ) tem-se P 5, e P,. De S : cos( ) tem-se P 7, e P,. 8 Então, C C,,,,,,,,,,,,,,,. b) C : ( cos ) (cadióide) e C : (eta passando pelo pólo). PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN 5

16 EXERCÍCIS DE APRENDIZAGEM CRDENADAS PLARES Utilizando um papel de coodenadas polaes, posicione os pontos no plano, dadas suas coodenadas polaes: A, B, C 5, D, E, F, 5 G, H, I,5 5 Dados os pontos: P, P, 0 P, Detemine: P, 5 P 5 0,5 P 0, e P 7,... a epesentação gáfica de cada um desses pontos no plano pola;.. tês outos conjuntos de coodenadas polaes paa os pontos P e P ;.. as coodenadas etangulaes dos pontos P, P 5 e P ; 7.. quais desses pontos coincidem com o ponto P,0? Identifique e faça o gáfico do luga geomético geado pelo ponto P : a) que se move de maneia que, paa todos os valoes de seu ângulo vetoial, seu aio veto pemanece constante e igual a ; b) que se move de maneia que, paa todos os valoes de seu aio veto, seu ângulo vetoial pemanece constante e igual a 5. Um tiângulo eqüiláteo possui como vétices o pólo e o ponto A (,0). Detemina as coodenadas do outo vétice. (obseve que são dois casos). 5 Um quadado com cento na oigem tem como um dos vétices o ponto A, 0. Detemina as medidas dos lados e as coodenadas dos outos vétices. Veifique se o ponto P petence à cuva C, quando: PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN

17 a) P, e C : cos( ) 0 b) P, e C : sen c) P, e C : sen( ) d) P 0, e C : cos sen 0 7 Tansfome a equação etangula (catesiana) dada em sua foma pola: a) x y 0 b) c) xy d) x y y 0 x y 8 Tansfome a equação pola dada em sua foma etangula (catesiana): a) cos 0 b) cos c) sec d) cos( ) 9 Detemine os pontos do eixo pola distando 5 unidades do ponto P,. 0 Detemine a equação pola da eta que passa pelo ponto P,0, sabendo que o segmento P é nomal à eta. Detemine a equação pola da eta que passa ponto P,0 e que: a) é paalela ao eixo a 90º. b) é pependicula ao eixo pola. c) é paalela à eta s :. d) é pependicula à eta e) passa pelo ponto Q, 0. f) passa pelo ponto R,0. t : cos sen. Detemine uma equação pola do cículo concêntico com o cículo C : cos sen 7 0 e cujo aio é o dobo do aio de C. PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN 7

18 Esboce o gáfico das cuvas cujas equações polaes são: a) sec b) sen( ) c) cos d) sen e) 8 cos( ) f) sen( ) g) h) sen i) cos( ) j) e / Detemine as intesecções do pa de cuvas C e C dadas abaixo: a) C : cos e C :. b) C : e C : sen( ). c) C : sen e C : sen. 5 Sejam F e F dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distancia de F a F. luga geomético dos pontos P do plano tais que PF PF k denomina-se lemniscata de focos F e F. a) Tomando-se ( k,0) (,0), detemine a equação, em coodenadas catesianas da lemniscata; b) Passe paa coodenadas polaes a equação obtida no ítem a) tomando paa pólo a oigem e x como eixo pola. Equação pola das cônicas PARTE IV CRDENADAS PLARES ERN 8