Circunferência e círculo

Transcrição

1 Cicunfeência e cículo evolução da humanidade foi aceleada po algumas descobetas e invenções. Ente elas, podemos cita a impensa de Johannes Gutenbeg ( ), na lemanha, po volta de 1450, que pemitiu a disseminação dos conhecimentos em maio escala, po intemédio dos livos. Outas invenções, tais como a bússola, que facilitou as Gande Navegações, e a máquina a vapo, que pemitiu a incementação das feovias, possibilitaam uma consideável evolução do conhecimento humano.

2 Cicunfeência Se O é um ponto do plano e um númeo eal positivo, chama-se cicunfeência de cento O e aio o luga geomético dos pontos do plano que estão à distância do ponto O. P O C E D

3 Elementos P O O Q Coda PQ C= 2π Diâmeto D = 2

4 Elementos co M N M co N

5 cos e ângulos aco completo aco nulo

6 cos e ângulos O co de meia volta (Semicicunfeência)

7 Cículo O conjunto constituído po uma cicunfeência e pelos pontos inteioes a ela é chamado cículo ou disco. O

8 Áea do Cículo Áea: é dada po: S = πr 2 => R 2πR S = 2 πr.r => S = πr 2 2

9 Posições elativas de ponto e cicunfeências P O ponto é inteno à cicunfeência d O < O O ponto petence à cicunfeência d O = O ponto P é exteio à cicunfeência d OP >

10 Posições elativas de eta e cicunfeências O é tangente à cicunfeência d OP = P e a cicunfeência têm um único ponto comum.

11 Posições elativas de eta e cicunfeências s O P s é secante à cicunfeência d OP < s e a cicunfeência têm dois pontos comuns.

12 Posições elativas de eta e cicunfeências O t é exteio à cicunfeência d OP > P t e a cicunfeência não têm ponto comum. t

13 Popiedades da eta tangente à cicunfeência P O Uma eta é tangente a uma cicunfeência se, e somente se, ela é pependicula ao aio no ponto de tangência. Po um ponto de uma cicunfeência, podese taça uma única tangente a essa cicunfeência.

14 Popiedade da eta secante à cicunfeência s O Uma eta secante que passa pelo cento da cicunfeência é pependicula a uma coda se, e somente se, divide essa coda ao meio. M s po O M = M

15 Consequência C Um diâmeto pependicula a uma coda divide essa coda ao meio. O M D CD po O M = M

16 Posições elativas de duas cicunfeências C 1 C 2 R C 1 é extena C 2 Todos os pontos de C 1 são extenos a C 2 d > + R

17 Posições elativas de duas cicunfeências C 1 C 2 P R C 1 e C 2 são tangentes extenamente em P C 1 e C 2 têm um só ponto comum e não têm ponto inteio comum d = + R

18 Posições elativas de duas cicunfeências C 1 C 2 R C 1 e C 2 são secantes Têm dois pontos comuns R < d < R +

19 Posições elativas de duas cicunfeências C 1 C 2 P Têm um só ponto comum e os demais pontos de C 1 são inteioes a C 2 C 1 e C 2 são tangentes intenamente em P d = R

20 Posições elativas de duas cicunfeências C 1 C 2 C 1 é intena a C 2 Todos os pontos de C 1 são inteioes a C 2 0 d < R

21 Ângulos na cicunfeência

22 Ângulo cental Chama-se de ângulo cental de uma cicunfeência todo ângulo que tem como vétice o seu cento. C D β O γ α cada ângulo cental coesponde um aco, inteseção do ângulo com a cicunfeência. E F

23 Ângulo cental Um ângulo cental tem a mesma medida do aco coespondente. O α Ô é ângulo cental m(ô) = m() = α

24 Unidade de ângulo e aco Repesentação Medida em gaus co completo co de meia volta co de ¼ de volta 360º 180º 90º co nulo 0º

25 Ângulo Inscito Chama-se ângulo em uma cicunfeência todo ângulo cujo vétice é um de seus pontos e cujos lados são secantes a ele. P é ângulo inscito P α O m(p) = α = 2

26 Ângulo Inscito - Popiedade Ângulos inscitos em um mesmo aco são conguentes. P Q R Os ângulos inscitos de vétices P, Q e R são conguentes m(p) = m(q) = m(r) = 2

27 Ângulo Inscito - Popiedade Todo ângulo inscito numa semicicunfeência é eto. M N diâmeto da cicunfeência, os ângulos de vétices M, N e P são etos, poque o aco mede 180 o. P

28 Ângulo Inscito - Popiedade Todo tiangulo inscito numa semicicunfeência e etângulo. M Como conseqüência a mediana elativa a hipotenusa tem medida igual a metade da hipotenusa.

29 Conexão

30 Paa você faze p. 45 áea cicula da paça é de S =πr² = 3,14. 35² = 3846,5 m². Como a cada m deveiam esta quato pessoas, podemos multiplica a áea cicula da paça po 4 paa obte uma estimativa da quantidade de pessoas pesentes sobe a áea cicula: 3846,5. 4 = Logo, apoximadamente pessoas estaiam pesentes à apesentação e sobe a áea cicula.

31 Paa você faze p. 46 Em um cículo de cento O e aio medindo 4 cm, considee um seto cicula de 30º e um tiângulo O: set π set set 2 Áea do seto cicula(s áea ângulo 4 360º S 30º 16π 360º = S 30º 4π 2 S = cm 3 seg) Áeado tiângulo(s S S S ti ti ti ti 1 = OOsen.. ( Ô) 2 1 = 4.4. sen(30º) 2 2 = 4cm ) Áea do segmento cicula(s ) S = Sset Sti 4π 4π 12 S = 4 S = seg seg seg seg seg seg π 12 4( π 3) S = S = S = ( π 3) cm 3

32 Paa você faze p. 49 α α = 2β β = 2 α 160º β = 5θ = º 5θ = 80º θ = 5 θ = 16º

33 Paa você faze p. 49 Paa cada dois pontos escolhidos como vétices do tiângulo, que são também extemidades de um mesmo diâmeto, existem quato opções de escolha. Po exemplo, se escolhemos os pontos M e N como dois dos tês vétices do tiângulo etângulo (MN seá a hipotenusa), existem quato opções paa escolhe o teceio vétice:,, C ou D. Mas podemos escolhe a hipotenusa de tês maneias difeentes (, CD ou MN). Se paa cada escolha da hipotenusa existem possibilidades, podemos escolhe o teceio vétice de quato maneias difeentes. Então existem 3 x 4 = 12 tiângulos etângulos que podem se constuídos com vétices nos pontos destacados.