). c) Por três pontos não colineares passam três retas não simultaneamente (P 3

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1 Resolução das atividades complementaes Matemática M7 Geometia p. 6 Sejam tês pontos distintos, e não colineaes no espaço. a) Quantas etas passam po? infinitas b) Quantas etas passam po e po? uma única eta c) Quantas etas passam po, e, não simultaneamente? tês a) Po um ponto passam infinitas etas (P ). b) Po dois pontos passa uma única eta (P ). c) Po tês pontos não colineaes passam tês etas não simultaneamente (P ). ados uma eta e um ponto P sobe a eta, quantas semi-etas podemos obte? om um ponto qualque em uma eta obtemos duas semi-etas (P ). duas É possível uma eta esta contida em dois planos? ê um exemplo em caso afimativo. Sim, é possível. No exemplo abaixo, a eta está contida nos dois planos. P Responda: a) Tês pontos colineaes e distintos podem petence a uma eta? sim b) Tês pontos distintos e colineaes podem petence a um plano? sim a) Sim. Tês pontos colineaes e distintos podem petence a uma eta. b) Sim. Tês pontos distintos e colineaes podem petence a um plano.

2 Po que uma cadeia de quato penas num piso iegula sempe balança? Poque existe mais de um plano deteminado po esses quato pontos. Paa fomamos um plano, pecisamos de tês pontos; então, com quato pontos podemos detemina mais de um plano. 6 Responda: a) que detemina um ponto dividindo uma eta? duas semi-etas b) que fomam dois semiplanos divididos po uma eta? um plano a) Um ponto divide uma eta em duas semi-etas. b) Uma eta divide um plano em dois semiplanos. 7 lassifique em ou confome as sentenças sejam vedadeias ou falsas. a) Uma eta é um conjunto de infinitos pontos. b) Tês pontos distintos deteminam um plano. c) Quato pontos são sempe coplanaes. d) Postulado é uma poposição que pode se demonstada. a) (edadeia) b) (alsa); tês pontos distintos e não colineaes deteminam um plano. c) (alsa); tês pontos não colineaes são sempe coplanaes. d) (alsa); as poposições são aceitas sem demonstação. 8 Sejam quato pontos distintos e não colineaes, tês a tês, no espaço. a) Quantas etas podemos detemina unindo dois desses pontos? seis b) Quantos planos distintos podemos detemina com esses pontos? quato a) Paa detemina uma eta, bastam dois pontos:!,? 6 etas.!?! b) Paa detemina um plano, pecisamos de tês pontos:!, planos.!?!

3 p. 9 9 lassifique em ou confome as sentenças sejam vedadeias ou falsas. a) Se duas etas, e s, são paalelas e distintas, então s. b) uas etas que possuem um ponto em comum são concoentes. c) uas etas que possuem um único ponto em comum são concoentes. d) uas etas que têm pontos em comum são paalelas. e) xistem etas e s que são coplanaes e evesas. f) uas etas paalelas e distintas ou duas etas concoentes são coplanaes. a) (edadeia) b) (alsa); etas coincidentes também possuem pontos em comum. c) (edadeia) d) (alsa); as etas podem se evesas. e) (alsa); etas evesas não são coplanaes. f) (edadeia); duas etas paalelas ou duas etas concoentes fomam um plano. 0 Uma eta é concoente a uma eta s de um plano a. Qual a posição elativa de em elação ao plano a? eta secante ou eta que está contida no plano Uma eta concoente a uma eta de um plano a pode se uma eta secante ao plano ou pode esta contida nesse plano. Se uma eta é paalela a um plano a, qual é a posição elativa ente e uma eta qualque de a? paalela ou evesa Se uma eta é paalela a um plano a, ela pode se paalela ou evesa a uma eta desse plano. bsevando a figua a segui, esponda: a) Qual a posição elativa ente a eta e o plano? b) Qual a posição elativa ente a eta e o plano? c) Qual a posição elativa ente a eta e o plano HIG? d) Qual a posição elativa ente a eta I e o plano I? G I H a) é secante ao plano. b) c) // HIG d) I I

4 onsideando ainda a figua da atividade anteio, detemine: a) um plano secante ao plano I b) uma eta secante ao plano c) um plano paalelo ao plano HIG a) H b) GI c) oloque ou confome as sentenças sejam vedadeias ou falsas. a) Se dois planos são paalelos e distintos, toda eta petencente a um deles é paalela ao outo. b) Se dois planos, a e b, são concoentes, toda eta de a é concoente com o taço. c) Se dois planos, a e b, são secantes a um outo plano, então a // b. d) Se dois planos, a e b, são secantes com o taço t, toda eta paalela a a e a b é paalela a t. a) (edadeia) b) (alsa); existem etas que são paalelas. c) (alsa); a e b podem se concoentes. d) (edadeia) Na figua a segui, e GHIJ são conguentes e HG é um etângulo. G J H ê exemplos de: a) etas pependiculaes b) etas evesas c) etas otogonais Respostas possíveis: a) e b) e JI c) e J I 6 onsideando ainda a figua da atividade anteio, dê exemplos de: a) planos paalelos b) planos secantes a) GH e J b) HI e JI

5 p. 7 lassifique em ou confome as sentenças sejam vedadeias ou falsas. a) Po um ponto P existe uma única eta pependicula a um plano a. b) Se uma eta é pependicula a dois planos distintos, podemos dize que esses planos são paalelos. c) uas etas pependiculaes a um mesmo plano são paalelas. d) Uma eta e um plano são paalelos. Podemos afima que toda eta pependicula a essa eta é pependicula ao plano. a) (edadeia) b) (edadeia) c) (edadeia) d) (alsa); a eta pode se evesa ou concoente ao plano. 8 (UM) onsidee as afimações: I. uas etas no espaço, paalelas a uma teceia, são paalelas ente si. II. Um plano a, pependicula a uma eta de um plano b, é paalelo a b. III. ois planos pependiculaes à mesma eta são paalelos. ntão: a) todas são falsas. c) somente II é falsa. e) somente III é falsa. b) todas são vedadeias. d) somente I é falsa. I. (edadeia) II. (alsa); o plano a é concoente a b. III. (edadeia) 9 Sejam a e b dois planos pependiculaes e o seu taço. onsidee os pontos a e b, e. s etas e são: a) concoentes c) paalelas e) evesas b) pependiculaes d) oblíquas e são etas evesas.

6 0 bseve a figua a segui, composta de um paalelepípedo e uma piâmide. paalelepípedo tem todas as faces etangulaes, e a piâmide possui, no vétice, um tiedo tietangula. Responda: a) eta G é pependicula ao plano GH? sim b) eta I H é pependicula ao plano? não I c) segmento é paalelo ao plano G? sim G d) eta I é pependicula ao plano? sim a) Sim, a eta G é pependicula ao plano GH. b) Não, a eta I não é pependicula ao plano. c) Sim, o segmento é paalelo ao plano HG. d) Sim, a eta I é pependicula ao plano. lassifique em ou confome as sentenças sejam vedadeias ou falsas. a) pojeção otogonal de uma eta no plano é sempe uma eta. b) pojeção otogonal de um segmento sobe um plano pode se um ponto. c) pojeção otogonal de um quadado pode se um segmento de medida maio que a medida do seu lado. d) pojeção otogonal de um ponto sobe um plano é sempe um ponto. a) (alsa); é sempe um ponto. b) (edadeia) c) (edadeia); pode se até a medida da sua diagonal. d) (edadeia) uas etas paalelas são pojetadas otogonalmente sobe o plano a. Qual a posição elativa dessas pojeções? duas etas paalelas, uma única eta ou dois pontos uas etas paalelas pojetadas otogonalmente sobe o plano podem se dois pontos; se as etas foem pependiculaes ao plano, podem se paalelas ou uma única eta, caso estejam em um plano pependicula. Seja um cubo de aesta cm. G etemine as distâncias ente: a) os pontos e cm c) os segmentos e H cm b) o ponto e o segmento H cm d) o ponto e o plano 0 cm H a) () () () () 8 cm b) distância ente o ponto e o segmento H é a aesta, que mede cm. c) distância ente os segmentos e H é a diagonal do quadado, que mede cm. d) [, potanto: 0 cm.

7 onsidee o paalelepípedo a segui, com as medidas 6 cm, 8 cm e 0 cm. 8 etemine as distâncias ente: a) os pontos e 8 cm 6 H b) os pontos e G cm c) o ponto médio de G e o plano H 8 cm 0 G d) o segmento e o plano GH 0 cm a) lado do paalelepípedo 8 cm b) G é a diagonal do etângulo HG, então: (G) (G) () (G) G cm c) distância ente o ponto médio de G e o plano H é a distância de um ponto à eta, que é a medida do lado do etângulo d 8 cm. d) omo é paalelo ao plano GH, a distância de ao plano é a medida do lado G do etângulo d9 0 cm. Uma eta está contida em um plano a. etemine a distância da eta ao plano a. omo a eta está contida no plano, a distância ente e a é Um ponto em um diedo eto dista 6 cm de uma face e 8 cm de outa face. Qual a distância desse ponto à aesta do diedo? 0 cm bsevando este diedo eto pela sua secção nomal, temos: plano 6 cm 8 cm 0 plano () cm

8 p. 7 onsidee o cubo da figua abaixo. G? Qual a distância ente as etas evesas e HG H distância ente as etas evesas e HG é dada pelo segmento G, que é pependicula às duas etas d. 8 Seja o tiedo tietangula da figua abaixo. x x etemine o valo de x paa que o plano deteminado po seja um tiângulo eqüiláteo de cm de lado. cm x x x x 6 x 8 x cm p. 8 9 Na figua a segui, é paalelo a. etemine os ângulos dos vétices e. x 0 0 e 0 x 0 ^ ^ Sendo paalelo a, 80, e a soma dos ângulos intenos do pentágono é 0. ntão: 80 x 0 x x 0 x 0 ^ 0 e 0 ^

9 0 (Unidep-MS) Num losango, a azão ente as medidas das diagonais é igual a, e a distância ente os lados paalelos mede 6 u.c. om base nessa infomação, conclui-se que a áea desse losango mede, em u.a.: a) 60 c) 7 e) 0 b) 6 d) 8 squematizando o poblema, temos: 0 d d d; S d d h plicando o teoema de Pitágoas, temos:, d No tiângulo etângulo, temos: d,, h altua do tiângulo elativa ao lado e, lado do losango. ( ) ( ). Sabendo que d, 0d d, 0 Num tiângulo etângulo,,? h d?. d 0 h? d? d d 0 e 6 0 d 0? 6 0 S 60 (Mackenzie-SP) tiângulo é eqüiláteo e o cículo de cento tem aio. Se a áea do cículo é p, a áea do tiângulo é: a) p d) 9p b) 6 e) 0 c) 8 Se a áea do cículo é p e o aio é, temos: ( ) S p p p,, é altua do tiâng ulo eqüiláteo h,, S S 6 8

10 p. 9 (UJ-MG) Um teeno tem a foma de um tapézio, com ângulos etos nos vétices e, como mosta a figua. Sabe-se que m, 0 m e m. eseja-se constui uma ceca, paalela ao lado, dividindo esse teeno em dois teenos de mesma áea. distância do vétice a essa ceca deve se, em meto, igual a: a) c) 0 e) 6 b) 9 d) e acodo com o enunciado, temos: x x 0 0 x x x ( b)h Stapézio b x h 0 (76 x)0 Stapézio S etângulo b? h 0x S ta pézio ( x x)0 S tapézio S etângulo (76 x)0 0x (8 x)0 0x 80 0x 0x x 9 m (Unifesp-SP) s figuas e epesentam dois etângulos com peímetos iguais a 00 cm, poém com áeas difeentes, iguais a 00 cm e 600 cm, espectivamente. 00 cm 00 cm figua figua figua exibe um etângulo de dimensões (0 x) cm e x cm, com mesmo peímeto que os etângulos das figuas e. 0 x x figua a) etemine a lei, f(x), que expessa a áea do etângulo da figua e exiba os valoes de x que fonecem a áea do etângulo da figua. f (x) x (0 x), com 0, x, 0; 0 cm e 0 cm b) etemine a maio áea possível paa um etângulo nas condições da figua. 6 cm a) f(x) x? (0 x) x 0x, 0, x, 0 Se x 0x 00 x 0x 00 0 x 0x 00 0 (x 0)? (x 0) 0 x 0 cm ou x 0 cm b) S f(x) x 0x evemos detemina o ponto de máximo da função quadática: x b 0 e yv 0 6 cm a? ( ) 0

11 (U-RJ) Seja MNPQ um quadado de lado igual a cm. onsidee o cículo que contém os vétices P e Q do quadado e o ponto médio do lado MN (ponto T). eja a figua ao lado. etemine o aio do cículo., cm Q P Pelo enunciado, temos: Q R R P R S M T N tiângulo PS é etângulo; potanto, aplicando o teoema de Pitágoas, temos: R ( R) R R R R, cm M T N etemine a áea da egião destacada, sabendo que o quadiláteo é um quadado de lado cm. 9(p ) cm S S é a áea do quadado menos da áea do cículo de aio cm. ntão: S 9 ( ) p?? p egião destacada é a áea do quadado menos S, então: 9 S? ( p) 9? ( p ) cm 6 etemine a áea da egião mais escua, sabendo que cm e 8 cm. 6p cm S 8 S S aio do cículo maio é 8 6 cm. S áea do semicículo de aio 6 cm S áea do semicículo de aio cm S áea do semicículo de aio cm S S S S S p6 p p p(6 6) S 6p cm

12 7 etemine a áea da egião coloida, sabendo que os acos são semicículos de aios R cm e 0 cm. S p cm R S pr p p( 00) S p cm 8 (unesp-sp) figua mosta um sistema otativo de iigação sobe uma egião plana, que gia em tono de um eixo vetical pependicula à egião. Se denotamos a medida em adianos do ângulo ^ po, a áea iigada, epesentada pela pate cinza do seto cicula, seá uma função, que dependeá do valo de, com 0 < u < p. Se m e m, detemine: a) a expessão matemática paa a função (u) ( ) b) o valo de u, em gau, se a áea fo de 8 m (Paa facilita os cálculos, use a apoximação p.) 6 m; m a) áea de um seto de ângulo é dada po: S ; b) 8 potanto, a expessão matemática paa a função ( ) é: S eixo vetical m m 6 ad Tansfomando em gaus, temos: 60 p ad x 6 ad 60? 6 x? figua mosta uma cicunfeência de aio e cento, que tangencia intenamente a cicunfeência maio, de aio R e cento. Sabe-se que e são pontos da cicunfeência maio e que o segmento mede 8 e tangencia a cicunfeência meno em T, sendo pependicula à eta que passa po e. áea da egião mais escua é: a) 9p c) p e) p b) p d) 8p R T Seja x a distância ente e R x T ; R x; T x plicando o teoema de Pitágoas no tiângulo T, temos: R ( x) ( x) ( x) 6 8x x 6 8x x 6 8x 8x 6 x R R escua pr p p 6p 9p

13 0 etemine a áea da egião mais escua na figua ao lado, sabendo que o aio da cicunfeência cicunscita é e o polígono inscito é egula. 6p H G H G figua é um octógono; potanto, cada ângulo cental mede 60 8 sen áea do tiângulo? S 8? octógono S p 6p escua. p. etemine o aio da cicunfeência cicunscita ao hexágono egula de lado m. m 6 R a 6 R R 60 Seja o hexágono inscito na cicunfeência de aio R. aio da cicunfeência cicunscita ao hexágono egula é o lado do hexágono, ou seja, m. etemine o lado e o apótema do quadado cicunscito a um cículo de aio cm. a cm e, 6 cm cm aio da cicunfeência é a metade do lado do quadado. a, 6 cm; a cm

14 etemine o apótema do tiângulo eqüiláteo inscito em uma cicunfeência de aio m. m, m a a, m etemine a azão ente os aios de dois cículos, o pimeio inscito em um tiângulo eqüiláteo, e o segundo inscito em um quadado, sendo o peímeto do tiângulo igual ao do quadado. 9 a R a?,?,, ;, R 6 R 8R 9 etemine a áea de um tiângulo eqüiláteo inscito em um cículo de aio cm. om os dados, temos: 7 cm a, a,, ; h 9,?? h S? 9 7 S cm

15 6 (UPel-RS) asil é consideado mundialmente o país do futebol. m opas ou em Jogos límpicos, esse espote está sempe pesente e muito ogulho tem tazido paa nosso povo, ao ecebe títulos significativos como o Pentacampeonato Mundial. basileio, independentemente de classe econômica, desde cedo tem familiaidade com a bola de futebol. Nos cálculos popostos a segui, supoemos uma bola de couo que possui sua supefície cobeta com pentágonos e hexágonos egulaes. aseando-se em seus conhecimentos e consideando que os hexágonos que cobem a bola têm a distância do cento ao ponto médio dos seus lados igual a cm, detemine: a) a áea de cada hexágono 8 cm b) o peímeto de cada pentágono 0 cm Pelo enunciado, temos: a) h h,,,? h? S 6? 6? S 8 cm b) medida do lado do pentágono é a mesma do lado do hexágono: P,?? 0 cm p. 7 etemine o aio do cículo inscito em um hexágono egula de áea 7 m. m Pelos dados, temos: 6 6 a a 6 6 S 7,? h 6??? m

16 8 (UL-PR) Um aquiteto fez um pojeto paa constui canteios de floes na entada de um clube. Nesse pojeto, os canteios têm áeas equivalentes. Um dos canteios tem a foma de um hexágono egula de 60 cm de lado. uto tem a foma de um quadado. Qual a medida do lado desse quadado? a) 0 7 cm c) cm e) 00 cm b) 0 08 cm d) 97 cm 60 cm S 6? 60? cm 00,,? 6? (UM-PR) Um hexágono egula está inscito em uma cicunfeência tigonomética centada na oigem, de tal foma que o vétice coincide com o ponto (, 0) e os demais vétices estão nominados no sentido anti-hoáio. Nessas condições, é coeto afima que: (0) a medida do aco é p (0) a áea do tapézio é (0) a áea do tiângulo é igual à áea do tiângulo (08) o seno do ângulo é maio do que o seno do ângulo (6) a medida do ângulo é 0 () o peímeto do hexágono é igual ao tiplo da medida do diâmeto da cicunfeência sen ^ 60 cos (0) (edadeia); aco 60 ( b)h (0) (alsa); S tapézio ; b ; h ( ) S tapézio (0) (edadeia); ambos possuem base e altua. ^ ^ (08) (alsa); sen e sen. (6) (edadeia); os tiângulos e são eqüiláteos; potanto, ^ () (edadeia); o peímeto do hexágono é 6? 6, e o diâmeto da cicunfeência é. soma:

17 0 (Mackenzie-SP) Na figua, a cicunfeência está inscita no hexágono egula de lado ; adotando p, a áea da egião sombeada é: ( ) c) ( ) e) ( ) ( ) d) 6( ) a) 6 b) áea da egião sombeada é a áea de doze tiângulos eqüiláteos de lado menos a áea de um cículo de aio. S??? ( ) ( ) p 9 S p. 6 etemine a natueza de um pisma que possui 0 faces. 0 ase pisma é octogonal. pisma octogonal Qual a soma de todos os ângulos intenos das faces do pisma da figua abaixo? 600º pisma é hexagonal. S b? (6 )? 80 8? 80 S, 6? 60? 80 S T 0?

18 etemine a natueza de um pisma sabendo que a soma dos ângulos das faces é 008.? (n )? n n n n 760 n 8 Potanto, o pisma é octogonal. pisma octogonal Moste que o númeo de diagonais de um pisma é igual ao dobo do númeo de diagonais de uma de suas bases. númeo de diagonais de um pisma é n? (n ), pois as diagonais possuem uma extemidade numa base e outa extemidade na outa face. n n númeo de diagonais de um polígono é d? ( ). Potanto, d. Maia compou 00 cm de papel adesivo paa cobi a supefície total da caixa abaixo. la conseguiu cobi toda a caixa? m caso afimativo, quanto de papel sobou? onsidee,. Sim. Sobaam 87,08 cm. figua é um pisma de base pentagonal. S lateal?? 8?? 8? 8 96 cm S?? h base ( ), em que h é a altua do tiângulo. h h h, cm S base ( ) 6,9 cm???, S total 96 6,9,9 cm 00,9 87,08 cm Maia conseguiu cobi toda a caixa e ainda sobaam 87,08 cm de papel. 8 G I 8 H J

19 6 etemine a natueza do pisma que possui 88 diagonais. pisma eneagonal n? (n ) 88 n ou 9 n 0 n n 88 n 8 (não convém) pisma é eneagonal. 7 (IT-SP) onsidee um pisma egula em que a soma dos ângulos intenos de todas as faces é númeo de vétices desse pisma é igual a: a) c) 0 e) b) d) 0? (n )? n n n n 7 90 n Se a base do pisma possui lados, então o númeo de vétices é?. 8 Na figua abaixo, é um tiângulo isósceles de base medindo cm e altua medindo 6 cm. pisma é eto, e a aesta lateal mede 8 cm. Qual a áea lateal do pisma? S cm, ( 0 ) 6 8 () cm ( ) cm S,? 8? 0? 8 S,? 0 9

20 9 Uma fábica de televisoes esolveu tanspota suas mecadoias em caixas de madeia paa maio poteção dos apaelhos. ada caixa teá dimensão de 6 cm, cm e cm. fabicante usaá em madeia, paa cada caixa: a) menos de, m c) ente, m e m e),8 dm b) mais de m d) 800 dm S t? (6? 6?? ) S t? cm,790 m p ado um cubo de aesta a cm, detemine: a) a medida da diagonal cm b) a áea lateal 6 cm c) a áea total 96 cm cm cm cm a) a cm b) S,? S, 6 cm c) S t 6? S t 96 cm 6 diagonal de um cubo mede m. aesta do cubo mede: a) cm c) cm e) cm b) cm d) cm a a 6 Um cubo tem áea total de 8 m. Sua diagonal mede: a) 8 m c) 8 m e) 8 m b) 8 m d) 6 m S t 6a 8 m a 6 a 8 m 8 m 0

21 6 etemine a áea total e a diagonal de um paalelepípedo etângulo cujas dimensões são: cm, cm e 6 cm. S 0 cm e 6 8,06 cm t U T R S S t? (?? 6? 6) 0 cm Q P 6 6 8,06 cm d M 6 N 6 uas das dimensões de um paalelepípedo etângulo são m e m. etemine a teceia dimensão sabendo que a diagonal do paalelepípedo é m. m a b c c 9 6 c? 0 c c m 6 alcule a áea total de um paalelepípedo etângulo sabendo que sua diagonal mede m e a soma de suas dimensões é igual a 0 m. 7 m a b c S a b c 0 S t? (ab ac bc) Sabemos que (a b c) a b c? (ab ac bc), então: 0 S t S t 7 m 66 onsidee o sólido abaixo, constuído a pati de um paalelepípedo etângulo de dimensões cm, cm e cm. etemine a áea total do sólido. 8 cm S b? (? ) 8 cm S, 0? 0 S t cm

22 67 (uvest-sp) pati de 6 cubos bancos, todos iguais, foma-se um novo cubo. segui, esse novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vemelho. númeo de cubos menoes que tiveam pelo menos duas de suas faces pintadas de vemelho é: a) c) 8 e) b) 6 d) 0 s cubos que tiveam pelo menos duas de suas faces pintadas de vemelho são: 68 s medidas das dimensões de um paalelepípedo etângulo estão em P de azão. etemine essas dimensões sabendo que a diagonal mede m., e P (x, x, x ) (x ) x (x ) (x ) x (x ) x x x x x x 7 x 9 x x e x Potanto, as dimensões são, e. 69 m um paalelepípedo etângulo, as dimensões são dietamente popocionais a, e. etemine a áea total sabendo que sua diagonal mede 6 cm. 0 cm a b c k a k; b k; c k (k) (k) (k) 6 6 k 6 k, então: k a cm; b 8 cm; c 0 cm S t? (? 8? 0 8? 0) 0 cm