Matemática D Intensivo V. 2

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1 Intensivo V. Execícios 0) Note que o lado ( ) do tetaedo é a diagonal da face do cubo de aesta, sendo assim: D 0) 0) 0) C 05) Segue que a áea da face do tetaedo é: l ( ).. Soma das aestas é dada po: S a a a cm Volume: V a 7 57 m³ Seja o númeo de aestas e F o númeo de faces. 5.F (aestas total) V 0 (aestas visiveis) Potanto, o númeo de aestas não visíveis é dado po: V Númeos de aestas.f Relação de Eule: V + F + V V 0 V Temos que o númeo de faces paa um pisma exagonal são faces. Note que o novo pisma teá um acéscimo de faces no mesmo númeo de vétices do pisma exagonal, como o númeo de vétices são, então o númeo de faces do novo polígono é + 0 faces. 0) 07) Temos 0 e F 0. Relação de Eule: V + F + V V 0 V 0) 7 Potanto, incoeto. 0. Vedadeio. F + + n + n n + n V Relação de Eulle: + + n + n n + n + (7 + n) + n + + n 0 + n 0 n n n 0. Vedadeio. F + + n + n n 0 0. Falso. Temos que:. f 5 +. f +. f5, em que f é o númeo de faces do tiângulo, f o númeo de faces do quadiláteo e f 5 o númeo de faces do pentágono. Relação de Eulle: f + f + 5f 5 (V + + n ) n + V + n + n + V n n + V n + V n + Paa n V 9, como o númeo de vétices tem que se um númeo inteio positivo, n é incoeto.

2 0. Vedadeio. Soma dos ângulos intenos de um polígono: S i 0 (n ). Pentágono: (5 )0 50 Quadiláteo: ( )0 0 Tiângulo: ( )0 0 Então a soma dos ângulos das faces é: 0n n 00 (00 + 0) 0n 00 n 00 0 n. Coeto. f + f + 5f 5 n n + 50 n n n 0) E 0. Vedadeio. Temos que (V ). Relação de Eulle: V + F (V ) + V + F V + V + F V F V. Vedadeio. (V ) 0 (V ) 0 V 0 + V V V V E 09) 0. Vedadeio. S (V ). 0 S (7 ). 0 S 5. 0 S Coeto. Númeo de aestas é dado po: + b, em que é o númeo de aestas lateais e b é o númeo de aestas da base. Note que b, então b e, potanto, o númeo total de aestas é pa. 0. Vedadeio. Temos que: (V ) V + V V + Relação de Eulle: ( + ) + + F Temos que a áea de EDC é dada po: E. C 0 cm² Segue: E C H V.. Pismas ) D C cm³ Temos que o peímeto da base p. Logo, o volume é dado po: V l V.. 5 V 9

3 ) D ) V... 9 m³ 0% do volume: 0,. 9 7, m³ figua epesenta a vista supeio da embalagem do cocolate dividida em 7 tiângulos equiláteos. 7 m 700 cm 0, m 0 cm 0, m 0 cm V cm³ , cm 0, 0 g y cm Multiplicando cuzado, temos: 9 0,. 0 y 5, y 0,. 0 9 cm³ 0 áea total T da embalagem coesponde a áea lateal com o dobo da áea da base. áea latea mede o peímeto da base multiplicado pela medida da altua do pisma, e a áea da base é 7 vezes a áea de um tiângulo equiláteo. Potanto, T + 9 0, númeo de lingotes 0,5. 0² númeo de lingotes 50 5) C Como se pode obseva na figua, o peímeto da base é igual a 70 cm. áea do tiângulo equiláteo T é dada po: T l x x x ssim: T ,7. 0² T T 955 cm² 0,095 ) C Como m² de papelão custa R$0,00, o custo da embalagem seá apoximadamente R$0,95. V x. x. x x³ x³ x³ x Logo, devemos cota. (. ) cm² paa faze a caixina., milões de latas po dia 0 latas 000 g, 0 latas x Multiplicando cuzado, temos:, 0. 0 x 0 x 0,. 0 9 gamas

4 ) 0. Cilindos 9) km cm,5 km km 0³ m km 0 9 m³ x 0 m m³ km 9 0 m³ m³ km 0 km³ Volume de óleo V,5 km. km. x 00,5x km² km³ x km 5, km,. 0 0 km x, cm,. 0 5 cm 7) cm πr. π R. R. R. 0 R 0 R 0, Razão ente o aio da taqueia contaido com a taqueia em epouso é: 0, 0, 0% Potanto, teá uma edução de 0%. 0) E cm ) D V x(0 x)( x) x(0 0x x + x²) V x(0 x + x²) x³ x² + 0x O total de cubos utilizados seá dado po:.. cubos O mínimo paa completa seá: N 5 cubos V V 0 cm Seja V 0 o volume inicial e V o volume após a submesão do objeto. V 0 πr². π². π. V πr². ( + ) π()². ( + ) π. ( + ) O volume do objeto é dado po: V V V 0 π. ( + ) π. π +. π π. π.., 50,7 5 cm³

5 ) Como a escala é :00, então cm e cm. 0. Vedadeio. V π()². 0 0π V π()². 7π ΔV 0π 7π π m³ Daí, V πr². π (00)². 900 π π m V 9. 0.,,. 0 cm³,. 0 0 V, m³ ) D ) O equilóbio idostático dos cinco pimeios cilindos ocoeá na altua média dos 5 pimeios. CDE Como essa é a altua média da válvula que liga o quinto (E) com o sexto (F) cilindo, nenum líquido escoaá paa o sexto cilindo. ) 09 Potanto, o sexto pemaneceá com dm de altua H 0 s dimensões da nova caixa são: : edução de 5% do R 0,75. m H: aumento de 0% de 0 m,0. 0 m 0. Vedadeio. πr² π()² π m² π()² 9π Δ π 9π 7π m² 0. Falso. V π². 0 0π 0. 0 m² V π². 9. π 7π 7. π 5 m ΔV V V m³ > Falso. πr. π..0 0π m² π(). 7π m² Δ 0π 7π π m² 5) E,7,7,7.,7 +,7, +,7 5, 7, 5, 0,5 V (0,5)². π. 0 0,5.,. 0 7,75 m³, logo: V T. 7,75,5 l Como o peímeto do exágono é dado po p 7, então 7 cm. Segue que: l l 5

6 ) D O volume é dada po: V π( )². π.. cm² V 570. t (t). πr² 570. t,570 t (t) 57, t (função linea) π Paa (t),57 m (altua máxima),57 57, π t,57. π,57t 57,. π t 57, t., t,5 7) C Logo, 0 t,5. V(t) 0 t Temos que o volume total do esevatóio é: V π(,5)². 5 5, 0% do V T 0,. 5,, Então:, t,. 000 t 0 t,. 00 s t s t 0 min t 7 min O volume da figua é: V π. ². 5π Como V V, temos: π. 5π 5, 7, cm 9) E V k +. b + b Temos que:. l b. l.. m³.,7 0,. 7,,55 m² Segue: V , +,., +, V,75 +, 0,75 + 5, 7,5 m³ V 7, ) D cm cm Figua cm Figua O volume da figua é: V π. ². π.

7 ) D 5 5 Volume: V πr. g ) D V π V 75 π V,5π cm³ plicando teoema de Pitágoas no Δ C. ( ) + (R ) 9 + R R + 9 R R + 0 R R Resolvendo a equação temos: Δ b ac Δ ( ).. 5 Δ 0 R b ± ( ) ± a. 0 R R + 5 ± R" R" não seve, caso contáio o aio maio é meno que o aio meno. Cálculo de g: Teoema de Tales: R g 5g 5 g 5 (x ) g 5 g 5 Vamos calcula H. g + R (teoema de Pitágoas) ) C Volume da gaafa de vino: V G π. + π.. 5 V G π + 0π V G π Volume da taça: V T π.. 9. π π O númeo de taça que uma gaafa seve é: VG π 5,5 taças V π T Potanto o númeo máximo de taças ceia que uma gaafa seve é 5. Seja, V T : volume do tonco de cone. V : volume do gelo deetido (água). Temos que: V 0,5V T 0,097π litos 0,5 V T (lito 0 cm ) 0,097π. 0 0,5 V T 97π 0,5 V T V T 97 π π 05, Como V T π ( + R + ), temos: π. (R + R. + 9) π (R + R. + 9) R + R R R 0 Resolvendo a equação, obteemos: R' R" (não seve, aio negativo) 7

8 ) C Teoema de Tales: x y D y E x Deseno x C x... 9 Logo o aio (R') do novo cículo é dado po: R" 9 + plicando teoema de Pitágoas no Δ C. 0 + x x 00 x x cm Logo o aio do cículo fomado pela água é + cm. Teoema de Pitágoas no Δ DEC. 0 + y y 00 y y cm Logo, o aio maio (R) é dado po: + + cm Volume do tonco V T π (R + R. + ) V T π ( +. + ) V T π cm³ Volume do tonco fomado pela água. V π ( +. + ) V π cm³ Potanto, V T V ltenativa Falsa. V t V t t π t π s. ltenativa Vedadeia. 5) Volume do novo cone: V N π ( +. + ) V N 5π cm ltenativa Vedadeia. Volume do cone V π. 0 0 π 90% do volume equivale a: 0,9. 0 π Áea cicula supeio do queijo é: π π π Temos que a áea do seto cicula é dada po: S πrα 0, então πr α π 0 R α 0 α 0 α 5

9 ) 7) D V V g 5 k O O R p π π π π 9 cm Geatiz: g cm plicando teoema de Pitágoas no Δ VO, temos: (5) Volume do cone: V π R. V π 9. V π. V.. π V π cm Áea total do cone: T l + b l πrg π π b πr π. 9 π Logo, T 5 π + π T π cm² π V cubo π. No tiângulo VO, temos: + R. + R 9 + R R R R. R cm π. (acionalização) π π cm V cone maio π R π. π π. cm 9 9 Po semelança, temos: π π 9 7 π 9. π 7 7 9

10 Logo, 9) E ) 0 k cm F 5 cone equiláteo tiângulo equiláteo C 5 l (acionalização). Como o volume máximo é 7π cm, temos que: V π. D No tiângulo GF temos que (tiângulo pitagóico). quantidade de papel gasta é dada po: l + b + onde l é a áea do tapézio e b e áea dos quadados meno e maio epectivamente. Segue, l ( ) cm b. cm. cm 50) E Potanto, a quantidade total gasta é: cm² y E V π. 7 π 7 cm 5 5 Potanto x cm V π. V π. 5 V. 5π V 5., V 7, Potanto, o volume do cone de evolução é 7. 0

11 5) 5) V C g H O 0, Coeto. Po semelança: x,5 x 0 x 5 O lado da secção tansvesal é: 5 l x. 5 Logo, a áea é dada po: cm 0. Coeto. V b. V. 0. V cm 0. Coeto. V tonco k ( +. b + b) 0. Coeto. Volume do tonco: π ( +. 0,5 + (0,5) V V π ( + + 0,5) V 0,5π V 0,5., V. 97 cm³ 0. Incoeto. No tiângulo C, temos: g + (,5) g +,5 g,5 g, 5, Áea do tonco: l πg (R + ) l,.,( + 0,5) l,59 cm 0. Coeto. 0 cm³,5 V tonco ( ) V tonco (00 + 0, 5 + 5) V tonco 50 cm³ 0,5 Segue, que a azão ente o volume do tonco do volume da piâmide é: Vtonco V Coeto. b Coeto. Calculado o ítem 0. Po semelança: ( 0,5),5

12 ,5,5 5,,5 5) D V Logo, o volume do tonco de cone com a metade da altua do funil é dado po: V π (,5 +,5 0,5 + (0,5) ) V π.,75 V,.,75 V 7,5 cm 0. Incoeto. 0 cm. 0,5 Po semelança: + 0,5 0,5,5 5, Logo, H + + cm. Incoeto. maio π π 05, 05, meno l l Q 0 a F Temos que Δ OV Δ VQS, então: l l l l Po semelança: b, onde b e são áeas da base meno e maio espectivamente. b 0 b 00 b 5 cm Volume do tonco da piâmide: V tonco V tonco ( ) V tonco 50 cm Volume da piâmide meno: V M cm Logo, o volume da egião acuada é dada po: V V tonco V M cm O R C S D 5) C Seja k altua do tonco da piâmide pocuada. V k ( +. + ) 5 k ( + + ) 5 7 k. 5 k. 7 5 k 5 7 5

13 Po semelança: H k + k k 5 Potanto, H + k H ) V π ( +. + ) V π( + + ) V 0π cm 5) Volume do tonco: V T π (R + R + ) Volume do cone: R Segue, V T V c V c V T V c π (R + R + ) R² + R + R² + R + 0 R² + R 0 R + R² 0 π V c π.

14 57) E V g G E 5 F 0 R R G g 5 nalizando Δ V, temos: V E 5 g F G 0 Δ C Δ EFC, temos: 5 G 5 g g g g g g g + 0 g 0 cm Logo, G cm Potanto, 0 cm e R 0 cm 5 5) E Seja o aio da esfea. Volume da esfea inicial: V i π Se aumentamos o aio em 0% obteemos um novo aio R,. Novo volume da esfea: V f πr V f π(, ) V f,7. π Logo, Vf 7., π., 7 Vi. π. ssim, a pocentagem do novo volume em elação ao volume inicial é de 7,%. Potanto novo volume teve um aumento de 7,%.

15 59) D Volume da esfea: V E. π. V E.. V E 5 cm Volume do cubo V c cm Volume do pota-jóia V V c V E V V 7 cm Temos que d m V, então: 0,5 m 7 m 7. 0,5 m, Potanto a massa é apoximadamente g. 0) 0. Coeto. Supefície da esfea: S π S π cm Áea do cubo: cm Segue, S 0. Incoeto. π π R R O. π. R π π. R π R R R 0. Incoeto. Seja a aesta do cubo. Sabemos que o diâmeto da esfea é igual a diagonal do cubo, sendo assim: a a. a (acionalização) plicando teoema de pitágoas no Δ O, temos: R Coeto. esta do cubo inscito (a i ) a i cm (calculado o item 0) Volume: a i cm esta do cubo cicunscito (a c ) a c R a c. a c cm 5

16 ) Volume: V c cm Segue, que a azão é dada po: Vc Vi Vc V i ( ) ( ) Vc V i. Coeto. V π V 5 π cm. C Temos que: Vc VE Vcone H H } R H R H. ( ). (acionalização) 0. Incoeto. V c V cone π. π. H c. c. c c c (acionalização) c Como >, temos que > c. 0. Coeto. V cone V E π. H πr. H R. R R R (extaindo a aiz quadada em ambos os lados) R 0. Incoeto. V c V E π. c π R. c R (i) Do item 0, temos: c c (acionalização) c. Como R, temos que c R Substituindo a equação acima em (i), obtemos:. R. R 9 R. R R R 0. Incoeto.

17 Áea da base do cilindo b π c Áea da supefície da esfea E πr (i) Do item 0, temos a seguinte igualdade. c (elevando ambos os lados ao quadado) c 9.. c.. R c.. R R. c (ii) Substituindo (ii) em (i), teemos: c E π E π c E b. Coeto. C ) D me. ye + my c c ycm Como d E d c, temos me mc VE Vc me mc 5 π π5. 0 me mc π 5 π 5 me mc () i m c m (ii) E Substituindo (ii) em (i), obteemos: me me. 5 yem me +. me y CM ) E R 5 g 5 R O R (item 0) 5 plicando teoena de Pitágoas no Δ C, temos: g ( 5) + ( 5) g g 5 g 5 g 5 Áea da secção πr π π No tiângulo O, temos: R + (teoema de Pitágoas) R + R 9 + R 5 R 5 7

18 ) Volume da esfea: V π. 5 V π. 5 V 500 π cm³ 0. Incoeto. Quanto maio a cicunfeência, meno o ângulo (latitude) fomado ente a lina do equado e o segmento fomado ente o cento da tea e um ponto qualque da cicunfeência. 0. Incoeto. Caso contáio estava andando sobe a tea paalelamente à lina do equado. 0. Coeto. áea da água é dada po 0,7. T 0,7. π(00) km² 0. Incoeto. d πr πr² d π(00) d πkm N ) Como R, temos C p π R C p πr Segue, C R π C C p Áea da cúpula: R π c c πr c π(5) c π. 5 c 50π c 50., c 95 Custo da estauação: C C,. 0 eais C, milões de eais 7) C S O 5) D. Coeto. Os paalelos de maio aio é a lina do equado e potanto altenativa coeta. Compimento do meidiano C M πr C M πr Temos que: C C C M C R π Compimento do paalelo: C p πr No tiângulo O, temos: cm

19 ) C V E. (,) V E,07 cm³ R 0. Incoeto. πr. (,)², cm² Volume da egião (R) pocuada é dada pela difeença do volume da semi-esfea (V E ) pelo volume do cone (V c ). Volume da semi-esfea πr R R V π π E. V E π π cm 70) D 0. Coeto. V V c V E V 7,., 07 V 7, 5, V, cm³. Incoeto. l πr. l..,. 5, l 9,5 cm a Volume do cone: V c πr. V c π. a V c π cm³ a a Logo, V V E Vc π cm³ 9) 9, cm 0. Coeto. V c πr. V c (,). 5, V c 7, cm³ 0. Incoeto. V E πr V E. (,) plicando teoema de Pitágoas no tiângulo acuado, temos: a + a a + a. a + a 9 a a a a m 9

20 7) a Volume da esfea V E πr.., V E,0 cm³ Volume ente os sólidos V V c V E V,0 V 0,9 cm 0,9. 0 l a Volume do cubo V c ³ cm³ a Fazendo lito 0, 09 97, Potanto, podemos ence 9 peças. 7) D V V C H C F a figua O figua Vamos calcula a altua do tetaedo. H a. ( da altua do tiângulo equiláteo) a 9 + H (teoema de Pitágoas) H H F O 0

21 Na figua, temos que Δ VO Δ VC, então: 7) E Potanto, o volume do cilindo é: V π. V π. 9 V π cm³ a) () Logo, o volume do pisma é: V. V. V 9 dm b) Obsevando que se tata de um cilindo de aio da base dm e altua (x) seu volume é π dm quando: π. (x) π (x) x 5x + x 0 Como x é uma solução da equação, pelo método do algaismo de iot Ruffini: 5 0 7) E 75) D x O x V P 0 potema PM da base dessa piâmide, em centímetos, mede: 0. 5 potema VM da base dessa piâmide mede, em centímetos: + 5 Da semelança ente os tiângulos TOV e PMV, temos: OT VO PM VM ssim, sendo x o aio da esfea, em centímeto, temos: x x 5 x 0 x 0 Vista supeio dos sólidos x 5 T M ssim, x 5x + x 0 (x )(x x + ) 0 Resolvendo a equação x x + 0 obtemos as aizes x e x. l l Logo, os possíveis valoes de x paa quais o volume do cilindo é π dm são dm e dm. l

22 . l l l Áea da base b l b ( ). b b Volume do pisma V b. V. V. 7) a) 50 cm³ 77) b) ( apótema) a) Cálculo do aio da bola π π 575 V bolas π π V bolas O volume não ocupado pelas bolas é igual a: cm b) V V bolas l. π π. 0. Coeto. R a 0. 0 a a 7) Diâmeto da esfea: D R a D D D D. 0 0 D 0. 0 m 0. Incoeto. a. b sen α sen(09, 5 ). 0. 0,9 0, m² 0. Eo no enunciado que é de quimica. 0. Eo no enunciado.. Eo no enunciado. D 5 x S E T No tiângulo Δ DE, temos: 5 + x (teoema de Pitágoas) 5 x 5 x x x 9 Áea do tabalo S + T S 9. 5 m T. 9. m Segue, m Potanto, seá captado. litos de água e assim, 9 litos. C

23 79) C 5 0) Faces pentagonais: Faces exagonais:0 esta:. f f onde f 5, f são os númeos de lados do pentágono e exágono espectivamente Relação de Eule: V + F + V V 9 V 0 Potanto, o númeo de átomo de cabono é 0.